2025年人教版七年级数学下册同步复习：一次方程（组）中整体思想的应用（解析版）

第07讲专题3一次方程（组）中整体思想的应用

类型一：不解方程（组）求式子的值

类型二：利用整体代入法求方程组的解

类型三：整体换元法求未知数的值

类型一：不解方程（组）求式子的值

1.己知…为二元一次方程组卜寸1的解，则…=1.

3x-y=3

【分析】两式相减即可得出答案.

【解答】解：卜4y"幺，

[3x-y=3②

②-①，得2r-2.y=2,

则x-y=1.

故答案为：1.

2.若，”1,是关于x和丫的二元一次方程〃a+〃丫=3的解，则2〃?・4〃的值等于（）

ly=-2

A.3B.6C.-1D.-2

【分析】把x与），的值代入方程计算即可求出，〃-2〃=3,把所求式子因式分解后代人计算即可.

Y=1

【解答】解：将•代入方程尔+〃y=3得：〃?-2〃=3,

ly=-2

/.2m~4n=2（m-2〃）=2X3=6.

故选：B.

Y=3

3.若1__2是二元一次方程a.x+by=-1的一个解，则3a・2b+2025的值为2024.

【分析】先将方程的解代入方程办+勿，=-1，求出3a-2b=-l,再整体代入求值即可.

f=3

【解答】解：将（x代入方程如+圾=-।可得，3〃-2。=-I,

.••原式=-1+2025

=2024：

故答案为：2024.

Y=9

4.已知,:是方程心+〃尸5的解，则代数式乐+6〃-1的值为9.

【分析】把｛言代入方程〃"=5得出2〃汁3〃=5,变形后代入，即可求出答案.

【解答】解:把代入方程〃a+〃y=5得：

2〃?+3〃=5,

所以4〃?+6〃-1=2（2m+3n）-1=2X5-1=9.

故答案为：9.

5.如果＜是方程2x-3y=202（）的一组解，那么代数式2024-2/〃+3〃=4

y=n

【分析】先根据方程解的定义求出2〃?-3〃的值，再整体代入求值.

【解答】解：•••（“:111是方程缄-3），=2（）20的一和解.

Iy=n

：.2m-3n=2020.

・••代数式2024-2勿+3〃=2024-（2m-3〃）=2024-2020=4.

故答案为：4.

6.若（圻3是二元一次方程依+办=-1的一个解，则%-2〃的值为-1.

ly=-2

【分析】把解代入二元一次方程中，可得结论.

【解答】解：・・・（尸3是二元一次方程-1的一个解，

ly=-2

：.3a-2b=-1.

故答案为：-1.

7.已知x、y是二元一次方程组13x-y=l°的解，那么X-），的值是（）

x-3y=-2

A.2B.-2C.3D.-3

【分析】将方程两式相加得，4x-4），=8,即可求出答案.

【解答】解：将方程两式相加得，

4x-4y=8,

••x-y=2,

故选:A.

8.己知x、y满足方程组卜"yX2,则的值为（）

3x-y=4

A.-4B.4C.-2D.2

【分析】直接把两式相加即可得出结论.

【解答】解:卜*尸呼

l3x-y=4（2）

①+②得，4x+4y=16,解得x+y=4.

故选:B.

9.已知二元一次方程组门山-2n=3,则，〃+〃的值是（）

4m-n-6

A.9B.3C.-3D.-9

【分析】②-①得：，/〃=3.

【解答】解：f3m_2n=30,

4nrn=6②

②-①得：〃+z〃=3.

故选：B.

10.如果关于x,y的方程组（x=4与1丫=3的解相同，则的值为（）

（by-ax=5|bx+ay=2

A.IB.2C.-1D.0

【分析】把（x=4代入方程组，>x+ay=2,得到一个关于小匕的方程组，将方程组的两个方程左右两边

y=3（by+ax=5

分别相加，整理即可得出a+b的值.

【解答】解：把卜"代入方程组卜叱2,

y=3by+ax=5

得.[4b+3d=2①

i3b+4a=5②’

①+②，得：7Ca+b）=7,

则a+b=1.

故选:A.

类型二：利用整体代入法求方程组的解

/x+1=

H.解方程组：一―了

I2（x+l）-y=10

【分析】方程组利用代入消元法求解即可.

[也=*）

【解答】解：｛3〜，

2（x+l）-y=10②

由①得x=3y-1③，

把③代入②，得6y-），=10,

解得）=2,

把），=2代入③，解得x=5,

.x=5

••<•

ly=2

12.解方程组.......①…时，可把①代入②得：3X8+4V=20,求得），=・1,从而进一步

[3（3x-2y）+4y=20-.②--

求得（圻2这种解法为“整体代入法”，请用这样的方法解下列方程组（2x-3y=12

y=-13（2x-3y）+5y=26

解得x=§，

3

故原方程组的解是：（x节.

y=3

14.先阅读材料，然后解方程组：

材料：解方程组卜4y=4®_

l3（X4y）4y=14（2）

在本题中，先将x+），看作一个整体，将①整体代入②，得3义4+），=14,解得y=2.

Y=9

把），=2代入①得x=2,所以1x」

ly=2

这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此法解答，请用这种方法解方程组

x-y-l=O①

4（x-y）-y=5②

【分析】根据阅读材料中的方法求出方程组的解即可.

【解答】解：由①得：x-y=l③，

把③代入②得：4-y=5,即y=-\,

把），=-1代入③得：x=0,

则方程组的解为（圻0.

ly=-l

15.整体代入就是把某些部分看成一个整体，则能使复杂的问题简单化.例如在解方程组/

I4（x-y）-y=50

时，把①变形：x-），=l③，把③代入②中，求得x=0,v=1；利用整体代入思想，己知

22

f3x-2xy+12y=47mi|.2「

\,则尸+4胃=17.

l2x2+xy+8y=36

【分析】将x-），=l代入4（厂），）-），=5即可求得工，1y的值；给21+与叶8『=36两边同乘以2得到方

程@49+2昼+16y=72,然后方程①3/-Ziy+12），2=47力口方程③47+2Vly+16）?=72即可解答.

【解答】解：把x-y=l代入4（x-），）-y=5,

解得y=-I,

故答案为：0,1：

f3x2-2xy+12y2=47（l）

（2x2+xy+8y2=360

②X2得：4/+29+16）2=72③，

③+①得：4?+2xy+16y2+3.r-2xv+12y2=47+72,

/.7?+28r=H9,

A7（7+4/）=||9,

.•・/+4）?=17,

故答案为：17.

16.阅读材料：小强同学在解方程组（2x+5y=3①时，采用了一种，，整体代换，，解法：

4x+lly=52②

解：将方程②变形：4x+10y+y=5＞即2（2x+5y）+y=5…③，把方程①代入③得：2X3+y=5即y=-1,

把y=-1代入方程①，得x=4,所以方程组的解为（"=4.

y=-l

请你解决以下问题

（1）模仿小强同学的“整体代换”法解方程组（3"+5丫=16；

]6x+lly=35

f9o

2x-Xv+3Y=24

（2）已知x.y满足方程组｛YI;

6x2+4xy+9y2=51

（i）求盯的值；

（//）求出这个方程组的所有整数解.

【分析】（1）把3工+5），看做一个整体，求出3x+5y的值，进而可得出结论；

（2）将①代入方程②求出外。勺值，再由x与），是整数求出符合条件的x,3，的对应值即可.

【解答】解：⑴（3x+5y=16®,

16x+lly=35②

将方程②变形：6vHOy+），=35,

即2（3x+5j）+y=35③，

把方程①代入③得：2X16+），=35,

解得y=3,

把）=3代入方程①，得x=J，

所以方程组的解为《“方；

y=3

2x2-xy+3y2=24（1）

（2）⑴原方程组化为,丫y产,

3（2x2-xy+3y2）+7xy=510

将①代入方程②得：72+7冲=51,

••xy--3；

（/7）由（i）得xy=-3,

•・・x与y是整数，

Y=-1x=3.x=l

,X加或・或

y=3y=-iy=ly=-3

rh(/)可求得2?+3y2=21,

x=3符合题意,

和

y=ly=-i

胃或］x=3

故原方程组的所有整数解是

y=-l

类型三：整体换元法求未知数的值

31

---+--=8

x+yx-y

17.用换元法解方程组如果」-二v，那么原方程组化为关于〃、-的方程组是

21x+yx-y

=7

x打x-y

3u+v=8

,2u-v=7-

【分析】结合已知条件，利用换元法将原二元一次方程组进行换元即可.

31

---+----=8

x+yx-y

【解答】解:已知•

2____L

=7

x打x-y

设——=u,—

x+yx-y

3u+v=8

那么原方程组化为：

2u-v=7

j3u+v=8

故答案为:

12u-v=7

x+y,x-y

—T—+-=6

18.解方程组〈23

4（x+y）-5（x-y）=2

【分析1先把方程组化简后，再用适当的方法进行求解.

5x+y=36(1)

【解答】解：原方程组可化为:

-x+9y=2(2)

(2)X5+⑴得：46)，=46,

y=1,

把y=l代入（1）得：x=7.

x=7

y=l

2ax+3y=18（其中小是常数）的解为x=3,则方程组,r2a(x-^)+3(x-y)=18

19.关于工，），的方程组.h

-x+5by=17y=4(x+y)-5b(x-y)=-17

的解为()

Afx=3Dfx=7

y=4y=-l

Pp=3.5x=3.5

(y=-0.5(y=0.5

【分析】由原方程组的解及两方程组的特点知，x+y、x-y分别相当于原方程组中的X、)，，据此列出方

程组，解之可得.

【解答】解：由题意知，卜3=3©

x-y=4②

①+②，得：2x=7,x=3.5,

①-②，得：2y=-1,y=~0.5»

所以方程组的解为5,

ly=-0.5

故选：C.

20.阅读材料，解答问题：

材料:解方程组(3(x+y)-(x-y)=2,我们可以设计产小1一),=从则原方程组可以变形为偿-b=2,

［5(x+y)+3(x-y)=8(5a+3b=8

解得将火人转化为，、弓尸1,再解这个方程组得［xl.这种解方程的过程，就是把某个式子看

Ib=l(x-y=1Iy=0

作一个整体，用一个字母代替他，这种解方程组得方法叫做换元法.

请用换元法解方程组：('('⑺-2(x-y)=1.

I(x+y)+(x-y)=7

【分析】设x+.v=mx・.v=/3则原方程组可以变形为I%-2b=1,用加减消元法解得［-3,再解方程

la+b=7Ib=4

组卜4y=3即可求解

Ix-y=4

【解答】解：设x+)，=〃，X-)，=/?,则原方程组可以变形为(力-2b=1,

la+b=7

用加减消元法解得，A，

lb=4

再将4、人转化为卜〜3,

x-y=4

21.阅读下列材料，解答问题:

材料：解方程组(5(x5-3(x-y)=2,若设a……_尸〃，则原方程组可变形为(5nr3n=2,用

2(x+y)+4(x-y)=62m+4n=6

加减消元法得所以在解这个方程组得[x=l,由此可以看出，上述解方程组过程中，

In=l[x-y=1y=0

把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把解这个方程组的方法叫换元法.

'x+y_x-y

问题：请你用上述方法解方程解2二3

2(x+y)-Rx+Ry=26

【分析】设x+y=4,x-y=B,方程变形后，利用加减消元法求出A与8的值，进而确定出x与)，的值

即可.

【解答】解：设x+y=A,x-y=8,

A』

方程组变形得：｛5W,

2A-3B=25

整理得:13A-2B=0①,

2A-3B=25②

①X3-②X2得：5A=-50,即4=-10,

把人=-10代入①得：B=-15,

x+y=-10

x-y=-15

fx=-12.5

解得:

ly=2.5

22.阅读探索：

材料一：解方程组((a-D+ZT+Z)就时，采用了一种，，换元法，，的解法，解法如下：

l2(a-l)+(b+2)=6

解：设a・l=x,H2=y,原方程组可化为卜+2丫=6,

2x+y=6

解得卜",即1T=2,解得卜=3

y=2b+2=2Ib=0

材料二：解方程组,4x+i0y;6Q时，采用了--种“整体代换”的解法，解法如下：

18x+22y=10②

解：将方程②8x+20y+2)，=10,变形为2(4x+10y)+2y=10@,把方程①代入③得，2X6+2)，=10,则y

r=4

=-1;把)，=-1代入①得，/=4,所以方程组的解为：IXx'.