河北省容城博奥学校2025-2026学年高二上数学期末质量检测模拟试题含解析

河北省容城博奥学校2025-2026学年高二上数学期末质量检测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（）A.虚轴长为4 B.焦距为C.焦点到渐近线的距离为4 D.渐近线方程为2．在四面体OABC中，，，，则与AC所成角的大小为（）A.30° B.60°C.120° D.150°3．已知数列满足：对任意的均有成立，且，，则该数列的前2022项和（）A0 B.1C.3 D.44．已知的周长为，顶点、的坐标分别为、，则点的轨迹方程为（）A. B.C. D.5．已知平面的一个法向量为，则x轴与平面所成角的大小为（）A. B.C. D.6．已知，，，，则下列不等关系正确的是()A. B.C. D.7．的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（）A. B.C. D.8．若，则与的大小关系是（）A. B.C. D.不能确定9．已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（）A.30 B.29C.28 D.2710．在中，B=30°，BC=2，AB=，则边AC的长等于（）A. B.1C. D.211．已知向量，，则等于（）A. B.C. D.12．《九章算术》与《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》卷五商功篇中介绍了羡除（此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体）体积的求法.在如图所示的羡除中，平面是铅垂面，下宽，上宽，深，平面BDEC是水平面，末端宽，无深，长（直线到的距离），则该羡除的体积为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知双曲线的两个焦点分别为，，为双曲线上一点，且，则的值为________14．已知圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于、两点，且，则圆的方程为_________15．执行如图所示的程序框图，则输出的结果________16．已知数列满足，，若，则_______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）2021年7月29日，中国游泳队获得了女子米自由泳接力决赛冠军并打破世界纪录.受奥运精神的鼓舞，某游泳俱乐部组织100名游泳爱好者进行自由泳1500米测试，并记录他们的时间（单位：分钟），将所得数据分成5组：，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）求出直方图中m的值；（2）利用样本估计总体的思想，估计这100位游泳爱好者1500米自由泳测试时间的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）.18．（12分）在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，分别是棱，的中点（1）证明：平面；（2）若，且四棱锥的体积是6，求三棱锥的体积19．（12分）如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC是以AC为底的等腰直角三角形，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点.（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且，求平面MAP与平面CAP所成角的大小.20．（12分）已知数列为等差数列，公差，前项和为，，且成等比数列（1）求数列的通项公式（2）设，求数列的前项和21．（12分）已知数列{}满足a1＝1，a3＋a7＝18，且（n≥2）（1）求数列{}的通项公式；（2）若＝·，求数列的前n项和22．（10分）设或，（1）若时，p是q的什么条件？（2）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据双曲线的性质逐一判断即可.【详解】在双曲线中，焦点在轴上，，，，所以虚轴长为6，故A错误；焦距为，故B错误；渐近线方程为，故D正确；焦点到渐近线的距离为，故C错误；故选：D.2、B【解析】以为空间的一个基底，求出空间向量求的夹角即可判断作答.【详解】在四面体OABC中，不共面，则，令，依题意，，设与AC所成角的大小为，则，而，解得，所以与AC所成角的大小为.故选：B3、A【解析】根据可知，数列具有周期性，即可解出【详解】因为，所以，即，所以数列中的项具有周期性，，由，，依次对赋值可得，，一个周期内项的和为零，而，所以数列的前2022项和故选：A4、D【解析】分析可知点的轨迹是除去长轴端点的椭圆，求出、的值，结合椭圆焦点的位置可得出顶点的轨迹方程.【详解】由已知可得，，且、、三点不共线，故点的轨迹是以、为焦点，且除去长轴端点的椭圆，由已知可得，得，，则，因此，点的轨迹方程为.故选：D.5、C【解析】依题意可得轴的方向向量可以为，再利用空间向量法求出线面角的正弦值，即可得解；【详解】解：依题意轴的方向向量可以为，设x轴与平面所成角为，则，因为，所以，故选：C6、C【解析】不等式性质相关的题型，可以通过举反例的方式判断正误.【详解】若、均为负数，因为，则，故A错.若、，则，故B错.由不等式的性质可知，因为，所以，故C对.若，因为，所以，故D错.故选：C.7、D【解析】利用正弦定理边化角，角化边计算即可.【详解】由正弦定理边化角得，，再由正弦定理角化边得，即故选：D.8、B【解析】由题知，进而研究的符号即可得答案.详解】解：，所以，即.故选：B9、B【解析】由等差数列的求和公式与等差数列的性质求解即可【详解】奇数项共有项，其和为，∴偶数项共有n项，其和为，∴故选：B10、B【解析】利用余弦定理即得【详解】由余弦定理，得，解得AC=1故选：B.11、C【解析】根据题意，结合空间向量的坐标运算，即可求解.【详解】由，，得，因此.故选：C.12、C【解析】在，上分别取点，，使得，连接，，，把几何体分割成一个三棱柱和一个四棱锥，然后由棱柱、棱锥体积公式计算【详解】如图，在，上分别取点，，使得，连接，，，则三棱柱是斜三棱柱，该羡除的体积三棱柱四棱锥.故选：C【点睛】思路点睛：本题考查求空间几何体的体积，解题思路是观察几何体的结构特征，合理分割，将不规则几何体体积的计算转化为锥体、柱体体积的计算．考查了空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】求得双曲线的a，b，c，不妨设P为双曲线右支上的点，|PF1|＝m，|PF2|＝n，利用双曲线的定义、余弦定理列出方程组，求出mn即可.【详解】双曲线的a＝2，b＝1，c＝，不妨设P为双曲线右支上的点，|PF1|＝m，|PF2|＝n，则，①由余弦定理可得，②联立①②可得故答案为：214、【解析】利用对称条件求出圆心C的坐标，借助直线被圆所截弦长求出圆半径即可写出圆的方程.【详解】设圆的圆心，依题意，，解得，即圆心，点C到直线的距离，因圆截直线所得弦AB长为6，于是得圆C的半径所以圆的方程为：.故答案为：15、132【解析】根据程序框图模拟程序运行，确定变量值的变化可得结论【详解】程序运行时，变量值变化如下：，判断循环条件，满足，，；判断循环条件，满足，，；判断循环条件，不满足，输出故答案为：13216、【解析】由递推式，结合依次求出、即可.【详解】由，可得：，又，可得：.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2），【解析】（1）利用频率之和也即各矩形的面积和为1即可求解.（2）利用平均数和中位数的计算方法求解即可.【小问1详解】由，可得.【小问2详解】平均数为：，设中位数为，则，解得.18、（1）证明见解析.（2）2.【解析】（1）取的中点，连接，．运用面面平行的判定和性质可得证；（2）过点作，垂足为，连接，，设点到平面的距离为，根据棱锥的体积求得，再利用三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，可求得答案.【小问1详解】证明：如图，取的中点，连接，因为，分别是棱，的中点，所以，又平面，平面，所以平面因为，且，分别是棱，的中点，所以，又平面，平面，所以平面因为平面，且，所以平面平面因为平面，所以平面【小问2详解】解：过点作，垂足为，连接，，则四边形是正方形，从而因为，所以，则，从而直角梯形的面积设点到平面的距离为，则四棱锥的体积，解得因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，所以三棱锥的体积因为平面，所以三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，所以三棱锥的体积为219、（1）证明见解析（2）【解析】（1）接BO，由是等边三角形得，由得出，再利用线面垂直的判断定理可得平面；（2）建立以为坐标原点，分别为轴的空间直角坐标系，求出平面的法向量、平面的法向量，利用二面角的向量求法可得答案.【小问1详解】连接BO，由已知△ABC是以AC为底的等腰直角三角形，且PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点，则是等边三角形，，，在中，，满足，即是直角三角形，则，又，平面，所以平面.【小问2详解】建立以为坐标原点，分别为轴的空间直角坐标系如图所示，则，，，，则平面的法向量为，由已知，得到点坐标，，设平面的法向量则，令，则，即，设平面MAP与平面CAP所成角为，则，则平面MAP与平面CAP所成角为.20、（1）；（2）【解析】（1）根据成等比数列，有，即求解.（2）由（1）可得，，∴，再利用裂项相消法求和.【详解】（1）由成等比数列，得，即，整理得，∵，∴，∴，即（2）由（1）可得，，∴，故【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算和裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21、（1）；（2）【解析】（1）由等差中项可知数列是等差数列，根据已知可求得其公差，从而可得其通项公式；（2）分析可知应用错位相减法求数列的和【详解】（1）由知，数列是等差数列，设其公差为，则，所以，，即数列的通项公式为（2），，，两式相减得：，整理得：，所以22、（1）充要条件；（2）.【解析】（1）