2025年大学《应用统计学》专业题库- 马尔可夫链在市场预测中的应用

2025年大学《应用统计学》专业题库——马尔可夫链在市场预测中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题2分，共10分。请将正确选项的字母填在题后的括号内。）1.一个马尔可夫链，如果对于任意的状态i和j，从状态i出发，不管经过多长时间，最终到达状态j的概率总是存在且不依赖于初始时刻，则称该马尔可夫链具有（）。A.平稳性B.无后效性C.时间齐次性D.可数性2.设马尔可夫链的状态空间为{1,2,3}，转移概率矩阵为P=[[0.5,0.2,0.3],[0.4,0.3,0.3],[0.2,0.5,0.3]]，则从状态1出发，一步转移到状态2的概率为（）。A.0.5B.0.2C.0.3D.0.73.设马尔可夫链的状态空间为有限集，且存在一个状态，从该状态出发，可以到达其他所有状态，则该马尔可夫链一定（）。A.是遍历链B.是常返链C.是正常返链D.是零常返链4.设马尔可夫链的平稳分布为π=[π₁,π₂,...,π_n]，则以下哪个说法是错误的？（）A.πᵀP=πB.Σπᵢ=1C.πᵢ≥0(对所有i)D.πᵢ表示系统处于状态i的概率5.在市场预测中，马尔可夫链模型可以用来预测（）。A.产品的销售量B.市场占有率C.顾客的购买频率D.以上都是二、填空题（每小题2分，共10分。请将答案填在题后的横线上。）1.若马尔可夫链的状态空间为{1,2,3,4}，转移概率矩阵为P，则P中位于第2行第3列的元素表示从状态2出发，一步转移到状态3的概率，记为p₂₃，则p₂₃∈[,]。2.设马尔可夫链的转移概率矩阵为P=[[0.6,0.4],[0.3,0.7]]，则该马尔可夫链是齐次马尔可夫链，且该链是遍历的，其平稳分布π=[,]。3.设马尔可夫链的状态空间为{1,2}，初始状态分布为π₀=[0.5,0.5]，转移概率矩阵为P=[[0.8,0.2],[0.3,0.7]]，则该马尔可夫链在两步后的状态分布为π₂=[,]。4.若一个马尔可夫链是正常返链，则其平稳分布是存在的，且该平稳分布是唯一的。5.利用马尔可夫链模型进行市场预测时，需要估计状态转移概率，常用的方法有市场调查法和.三、计算题（每小题10分，共30分。）1.设马尔可夫链的状态空间为{1,2,3}，转移概率矩阵为P=[[0.5,0.2,0.3],[0.4,0.3,0.3],[0.2,0.5,0.3]]，初始状态分布为π₀=[0.3,0.4,0.3]。(1)计算该马尔可夫链的一步转移概率矩阵。(2)计算该马尔可夫链的平稳分布。2.某公司对其产品的市场占有率进行预测，假设市场只由该公司和其竞争对手构成，即状态空间为{1,2}。根据市场调查，该公司产品的市场占有率在最近三年内分别为60%,50%和55%。假设市场占有率的变化可以用马尔可夫链模型来描述，且转移概率矩阵为P=[[0.8,0.2],[0.3,0.7]]。(1)估计该马尔可夫链的状态转移概率矩阵。(2)预测该公司未来一年的市场占有率。3.某银行对其客户的流失情况进行研究，发现客户流失的原因主要有两个：服务质量差和价格高。假设客户的状态空间为{1,2,3}，其中1表示未流失客户，2表示因服务质量差而流失的客户，3表示因价格高而流失的客户。根据银行记录，状态转移概率矩阵为P=[[0.9,0.05,0.05],[0,0.8,0.2],[0,0.1,0.9]]。假设目前该银行的客户中有80%的未流失客户，15%的因服务质量差而流失的客户和5%的因价格高而流失的客户。(1)计算该银行客户在一个月后的状态分布。(2)分析该银行的客户流失情况。四、应用题（每小题15分，共30分。）1.某零售市场有两家超市A和B，顾客可以在两家超市之间自由流动。根据市场调查，顾客从超市A流向超市B的概率为0.3，从超市B流向超市A的概率为0.4，其余顾客保持原有选择。假设市场中的顾客总数保持不变，且顾客的选择只受前一次选择的影响。(1)建立马尔可夫链模型来描述该零售市场的竞争情况。(2)分析该马尔可夫链的平稳分布，并解释其经济意义。2.某公司对其产品的品牌忠诚度进行研究，发现顾客的忠诚度分为三个等级：高度忠诚、中度忠诚和低度忠诚。假设顾客的忠诚度变化可以用马尔可夫链模型来描述，且状态转移概率矩阵为P=[[0.8,0.1,0.1],[0.2,0.7,0.1],[0.1,0.2,0.7]]。假设目前该公司的顾客中有50%的高度忠诚顾客，30%的中度忠诚顾客和20%的低度忠诚顾客。(1)计算该公司的顾客在一年后的忠诚度分布。(2)分析该公司的品牌忠诚度情况，并提出相应的营销策略建议。试卷答案一、选择题1.B解析：无后效性是指马尔可夫链的未来状态只依赖于当前状态，与过去状态无关。2.B解析：根据转移概率矩阵P，从状态1出发，一步转移到状态2的概率为P(1,2)=0.2。3.A解析：根据遍历链的定义，如果存在一个状态可以从其他所有状态到达，则该马尔可夫链一定是遍历链。4.D解析：πᵢ表示系统处于状态i的概率，而不是时间。5.D解析：马尔可夫链模型可以用来预测产品的销售量、市场占有率和顾客的购买频率等市场相关指标。二、填空题1.0,1解析：转移概率是状态之间的转移可能性，值域在0到1之间。2.[2/7,5/7]解析：根据转移概率矩阵P，计算其行和可知该链是遍历的，然后解方程πP=π且Σπᵢ=1可得平稳分布。3.[0.57,0.35]解析：π₂=π₀P=[0.5,0.5]*[[0.8,0.2],[0.3,0.7]]。4.正确解析：根据正常返链的定义，其平稳分布是存在的且唯一的。5.时间序列分析法三、计算题1.(1)P=[[0.5,0.2,0.3],[0.4,0.3,0.3],[0.2,0.5,0.3]]解析：题目已给出一步转移概率矩阵。(2)π=[4/15,5/15,6/15]解析：解方程πP=π且Σπᵢ=1可得平稳分布。2.(1)P=[[0.8,0.2],[0.3,0.7]]解析：题目已给出转移概率矩阵。(2)π₁=0.58解析：利用π₁=0.8π₁+0.3(1-π₁)求解，其中π₁表示一年后的市场占有率。3.(1)[0.78,0.115,0.105]解析：π₁=0.9*0.8+0.3*0.15+0.1*0.05，π₂=0.05*0.8+0.8*0.15+0.1*0.05，π₃=0.05*0.15+0.2*0.15+0.9*0.05。(2)该银行客户流失情况较为严重，特别是因服务质量差而流失的客户比例较高。解析：分析计算结果中状态2和状态3的概率，状态2的概率较高，说明客户流失问题比较突出。四、应用题1.(1)状态空间为{A,B}，转移概率矩阵P=[[0.7,0.3],[0.4,0.6]]。解析：根据题意，顾客从超市A流向超市B的概率为0.3，从超市B流向超市A的概率为0.4，则顾客保持在超市A的概率为1-0.3=0.7，保持在超市B的概率为1-0.4=0.6。(2)π=[2/5,3/5]解析：解方程πP=π且Σπᵢ=1可得平稳分布，该平稳分布表示长期来看，超市A和B的顾客比例分别为2/5和3/5。2.(1)[0