2025年大学《数理基础科学》专业题库-数理基础科学中的编码理论知识

2025年大学《数理基础科学》专业题库——数理基础科学中的编码理论知识考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（请将正确选项的字母填在括号内）1.设信源发出符号A、B、C的概率分别为1/2、1/4、1/4，则该信源的信息熵为（）。A.1bit/symbolB.1.5bits/symbolC.2bits/symbolD.2.5bits/symbol2.在离散无记忆信道中，若信道转移概率矩阵为P=[[1/2,1/4],[1/4,1/2]]，则该信道的不确定性（散度）D(P||Q)取最小值当且仅当（）。A.Q=PB.Q=[[1/2,1/2],[1/2,1/2]]C.Q=[[1,0],[0,1]]D.Q=[[1/3,2/3],[2/3,1/3]]3.下列编码中，属于线性分组码的是（）。A.香农编码B.费诺编码C.汉明码D.霍夫曼编码4.一个(n,k,d)线性分组码，其最小距离d决定了该码最多能纠正多少个比特错误？（）A.d/2B.d-1C.dD.2d-15.若G是(15,7,2)线性分组码的一个生成矩阵，则该码的生成多项式g(x)的阶数是（）。A.2B.7C.15D.326.循环码的译码通常基于（）。A.有限几何B.有限域运算C.线性代数空间D.状态图7.Viterbi译码算法主要用于对哪种码的译码？（）A.线性分组码B.循环码C.卷积码D.霍夫曼码8.在F₂【4】（即GF(16)）上，多项式x⁴+x+1是（）。A.可约多项式B.不可约多项式C.既可约又不可约D.零多项式9.设X是均值为E[X]=2，方差为Var(X)=1的随机变量，Y=aX+b，其中a=2,b=-3。则Y的均值E[Y]和方差Var(Y)分别为（）。A.-1,2B.1,4C.4,1D.-1,110.根据香农信道编码定理，对于容量为C的信道，存在一种编码方案，使得在有噪声的信道上传输信息，其错误概率Perror可以（）。A.任意小，但码率必须小于CB.任意小，且码率可以大于CC.保持固定，码率必须小于CD.保持固定，码率可以大于C二、填空题（请将答案填在横线上）1.对于一个离散无记忆信源，其输出符号的概率分布为p₁,p₂,...,pₖ，则该信源的平均不确定性（熵）H(X)的定义是__________。2.设有一个(7,4)汉明码，其生成矩阵G和监督矩阵H分别为G=[I₄|P]和H=[Pᵀ|I₃]（其中I₄和I₃是4阶和3阶单位矩阵，P是生成矩阵的生成元部分）。若接收到的码字为r=[1,0,1,1,1,0,1]，则计算出的伴随式s=rHᵀ=__________。3.一个(n,k)线性码，其最小距离d是码字集合中任意两个不同码字之间汉明距离的最小值，它决定了该码的__________能力。4.卷积码的编码过程可以看作是对当前输入符号及其过去k-1个输入符号进行线性组合，其输出不仅依赖于当前输入，还依赖于编码器状态。描述卷积码编码特性的关键参数是__________、约束度（或约束长度）和生成多项式。5.在有限域GF(q)上，一个(n,k)线性分组码的生成多项式g(x)必须整除xⁿ-1。当n是2的幂时，xⁿ-1可以分解为__________个互素的既约多项式的乘积。6.互信息I(X;Y)衡量的是随机变量X和Y之间的__________量，它既依赖于X的分布，也依赖于Y的分布。7.根据香农第一基本定理，对于任何满足R<C的码率R，都存在一种编码方案，使得其错误概率Perror可以小于某个正数ε，且编码效率η=R/C>0。这里的C是指信道的__________。8.对于一个码长为n，距离为d的线性分组码，其最大错误纠正数t=⌊(d-1)/2⌋。当发送码字为c，接收码字为r，若伴随式s=rHᵀ≠0，则译码器需要找到能使s+cHᵀ最小的码字，这个过程通常称为__________译码。9.在BCH码的构造中，若要纠正t个错误，则码长n必须满足n≥2t+mₓ-1，其中mₓ是GF(q)上最小的满足xᵐₓ≡1(modxⁿ-1)的整数，通常称为__________。10.将原始消息符号序列直接映射为比特序列的过程称为__________编码；将信源输出的比特序列经过编码变成具有纠错能力的码字序列的过程称为__________编码。三、计算题1.设有一个离散无记忆信源，其符号集合为{A,B,C,D}，各符号出现的概率分别为P(A)=1/2,P(B)=1/4,P(C)=1/8,P(D)=1/8。请计算该信源的理论熵H(X)，并构造一个霍夫曼编码，求出每个符号的编码长度和编码效率（平均码长除以熵）。2.考虑一个(15,7)线性分组码，其生成矩阵G=[1001011;0101110;0010111;0001010;1001100;0100101;0011001]（列重为1）。请计算该码的最小距离d。若发送码字为c=[1,0,1,1,0,1,0]，而接收到的码字为r=[1,1,1,1,0,1,0]，假设信道引入的错误位构成一个错误图样e，求e。然后利用此码的监督矩阵H（可自行推导或假设）进行译码，找出最可能的发送码字。3.设GF(2)上的一个(7,4)循环码的生成多项式为g(x)=x³+x+1。请写出该码的生成矩阵G和监督矩阵H。若发送信息比特为m=[1,0,1,1]，求发送的码字c。若接收到的码字为r=[1,0,0,1,1,0,1]，请采用大数逻辑译码法（或捕错译码）求出最可能的发送码字c。4.已知一个(2,1,3)卷积码的生成多项式为(g₀(x),g₁(x))=(x⁺¹+x²,x⁺¹)。请画出该卷积码的状态图。假设输入序列为u=[1,0,1,1,0,0,1]，请根据状态图计算输出的码序列。四、证明题1.证明：对于任何线性分组码，若码字c₀=[0,0,...,0]（全零码字）是码字集合中的一个码字，则该码的最小距离d至少为1。2.设X和Y是两个随机变量，证明：互信息I(X;Y)满足非负性，即I(X;Y)≥0。3.设G是(15,7)线性分组码的生成矩阵。证明：若向量v₁,v₂,...,vₖ是G的列向量，则对于任意消息向量m∈GF(2)⁷，编码输出c=Gm也是一个码字，即c∈C。试卷答案一、选择题1.B2.A3.C4.A5.A6.B7.C8.B9.B10.A二、填空题1.∑ᵢpᵢlog₂(1/pᵢ)（其中求和范围是i从1到k）2.[1,1,0]3.纠错4.编码速率（或码率k/n）5.(n-1)/2（当n是2的幂时）6.相关性7.容量8.伴随式9.生成多项式度数10.信源，信道三、计算题1.熵计算:H(X)=-(1/2)log₂(1/2)-(1/4)log₂(1/4)-(1/8)log₂(1/8)-(1/8)log₂(1/8)=1.75bits/symbol霍夫曼编码:符号概率及合并:A(1/2),B(1/4),C(1/8),D(1/8)合并A+B(1/4),C(1/8),D(1/8)->A(1/4),C(1/8),D(1/8)合并A(1/4),C(1/8),D(1/8)->A(1/4),CD(1/8)合并A(1/4),CD(1/8)->A(1/4),CD(1/8)分配编码:A=0,B=10,C=110,D=111编码长度:A:1,B:2,C:3,D:3平均码长:Lavg=(1/2)*1+(1/4)*2+(1/8)*3+(1/8)*3=1.625bits/symbol编码效率:η=H(X)/Lavg=1.75/1.625≈1.0769≈107.7%2.最小距离:计算所有非零码字间的汉明距离，例如Gm'(m'为任意非零消息向量)与其他码字的距离，找到最小值。计算过程繁琐，但结果为d=3。错误图样:e=r-c=[0,0,0,0,0,0,0]-[1,0,1,1,0,1,0]=[1,0,0,0,0,0,0]。或通过s=rHᵀ=[1,1,0]来定位错误位，对应列索引1和3，即e=[0,1,0,0,0,0,0]。译码:假设监督矩阵H=[[1,0,1,1,1,0,0],[0,1,1,1,0,1,0],[1,1,1,0,0,0,1]]。sHᵀ=[0,0,0]，说明接收字是码字。最可能发送码字为c=[1,0,1,1,0,1,0]。3.生成矩阵和监督矩阵:g(x)=x³+x+1对应的生成矩阵G=[1011;0111;0011;1100]监督矩阵H=[1101000;1010100;0110010;0011001]编码:c=mG=[1011][1011;0111;0011;1100]ᵀ=[111011]ᵀ译码:r=[1001101],s=rHᵀ=[0100]ᵀ。查找H，sᵀ对应的列，如第二列[1,0,1,0]ᵀ。假设错误发生在第二位，发送字可能为c'=[0,0,1,1,1,0,1]。检验c'Hᵀ=[0,1,0,0]ᵀ=sᵀ，找到最匹配的码字c'=[0,0,1,1,1,0,1]。4.状态图:/1\---(00)---/0\||||0---(10)---11---(10)---0||||\1/---(01)---/1/编码:u=[1,0,1,1,0,0,1]状态序列:00->10->01->11->00->10->11输出序列:11010110四、证明题1.证明:设码字集合为C，最小距离为d。若存在两个不同的码字c₁,c₂∈C，使得d=d(c₁,c₂)=0，即c₁+c₂=0（在全0码字下）。则对于任意消息向量m，编码后c=Gm。若c₁,c₂是不同码字，则存在m₁,m₂使得c₁=Gm₁,c₂=Gm₂且m₁≠m₂。此时c₁+c₂=0，说明c₁和c₂的线性组合（除了全0向量）也是全0向量，这与c₁,c₂是不同码字矛盾。因此，假设不成立，最小距离d必须至少为1。2.证明:证明I(X;Y)≥0。方法一：利用互信息的定义I(X;Y)=H(X)-H(X|Y)。由条件期望的性质，H(X|Y)≤H(X)。因为H(X|Y)是在给定Y的情况下X的条件熵，必然小于等于X的无条件熵。所以I(X;Y)=H(X)-H(X|Y)≥H(X)-H(X)=0。方法二：利用联合熵性质H(X,Y)≤H(X)+H(Y)。两边取对数（以2为底）log₂(H(X,Y))≤log₂(H(X))+log₂