高考物理一轮复习 知识点30：万有引力定律及其应用（考虑星球自转）（解析版）（基础版）

知识点30：万有引力定律及其应用（考虑星球自转）【知识思维方法技巧】考虑星球自转，万有引力和重力及向心力的关系:地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向。地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力.（1）在空中：天体环绕运动时，F向＝万有引力，宇宙飞船中物体处于完全失重状态．（2）在赤道上：地球赤道上的物体，随地球自转需要向心力，F向＝mω2R＝Geq\f(Mm,R2)—mg1。（3）在两极上：F向＝0，地球两极上的物体Geq\f(Mm,R2)＝mg0。（4）在地球一般位置：万有引力Geq\f(Mm,R2)等于重力mg与向心力F向的矢量和。考点一：考虑星球自转中心天体万有引力与重力的关系题型一：中心天体万有引力与重力及向心力的关系【典例1基础题】某类地天体可视为质量分布均匀的球体，由于自转的原因，其表面“赤道”处的重力加速度为g1，“极点”处的重力加速度为g2，若已知自转周期为T，则该天体的半径为()A.eq\f(4π2,g1T2) B.eq\f(4π2,g2T2)C.eq\f(g2－g1T2,4π2) D.eq\f(g1＋g2T2,4π2)【典例1基础题】【答案】C【解析】在“极点”处：mg2＝eq\f(GMm,R2)；在其表面“赤道”处：eq\f(GMm,R2)－mg1＝m(eq\f(2π,T))2R；解得：R＝eq\f(g2－g1T2,4π2)，故选C.题型二：中心天体自转周期及维稳密度的计算【知识思维方法技巧】自转周期是天体绕自身某轴线转动一周所需的时间，取决于天体自身转动的快慢。（2）当星球自转越来越快时，星球对赤道上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，其临界条件是eq\f(GMm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R.【典例2基础题】宇航员在某星球上为了探测其自转周期做了如下实验：在该星球两极点，用弹簧秤测得质量为M的砝码所受重力为F，在赤道测得该砝码所受重力为F′。他还发现探测器绕该星球表面做匀速圆周运动的周期为T。假设该星球可视为质量分布均匀的球体，则其自转周期为()A．Teq\r(\a\vs4\al(\f(F′,F)))B．Teq\r(\f(F,F′))C．Teq\r(\a\vs4\al(\f(F－F′,F))) D．Teq\r(\f(F,F－F′))【典例2基础题】【答案】D【解析】设星球和探测器质量分别为m、m′，在两极点，有：Geq\f(Mm,R2)＝F，在赤道，有：Geq\f(Mm,R2)－F′＝MReq\f(4π2,T自2)，探测器绕该星球表面做匀速圆周运动的周期为T，则有：Geq\f(mm′,R2)＝m′Req\f(4π2,T2)；联立以上三式解得T自＝Teq\r(\f(F,F－F′))。故D正确，A、B、C错误。考点二：考虑地球自转地球万有引力与重力的关系题型一：地球万有引力与重力及向心力的关系【典例1基础题】(多选)质量为m的小物块静止在赤道处，下列关于小物块所受引力和重力的说法正确的是()A．小物块所受重力的方向一定指向地心B．小物块所受引力的方向一定指向地心C．若地球自转加快，小物块所受重力变小D．若地球自转加快，小物块所受引力变小【典例1基础题】【答案】ABC【解析】重力的方向竖直向下，而赤道处竖直向下和指向地心重合，则赤道位置的重力指向地心，则A项正确；物体受到地球的万有引力方向沿物体和地球的球心连线而指向地心，故B项正确；对赤道位置的物体分析可知，所受万有引力产生两分力效果，一是重力，二是自转向心力，且三者的方向都指向地心，满足：Geq\f(Mm,R2)＝mRω2＋mg赤，则自转加快即角速度ω增大，所需向心力变大，而引力不变，故重力变小，故C项正确；物体所受万有引力大小Geq\f(Mm,R2)，与自转快慢无关，则地球自转加快时小物块所受的引力不变，故D项错误．【典例1基础题对应练习】假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G。地球的密度为()A．eq\f(3πg0－g,GT2g0)B．eq\f(3πg0,GT2g0－g)C．eq\f(3π,GT2) D．eq\f(3πg0,GT2g)【典例1基础题对应练习】【答案】B【解析】物体在地球的两极时，mg0＝Geq\f(Mm,R2)，物体在赤道上时，mg＋meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2R＝Geq\f(Mm,R2)，M＝ρ·eq\f(4,3)πR3，解得地球的密度ρ＝eq\f(3πg0,GT2g0－g)。故选项B正确，A、C、D错误。题型二：地球赤道上的物体与人造卫星运行参量的比较及计算【知识思维方法技巧】地球同步卫星、近地卫星、地球赤道上物体圆周运动各运行参量的特点：近地卫星(r1、ω1、v1、a1)同步卫星(r2、ω2、v2、a2)赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3)向心力来源万有引力万有引力万有引力的一个分力线速度由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))，故v1＞v2由v＝rω得v2＞v3v1＞v2＞v3向心加速度由Geq\f(Mm,r2)＝ma得a＝eq\f(GM,r2)，故a1＞a2由a＝ω2r得a2＞a3a1＞a2＞a3轨道半径r2＞r3＝r1角速度由Geq\f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，故ω1＞ω2同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，故ω2＝ω3ω1＞ω2＝ω3【典例2基础题】国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”，1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440km，远地点高度约为2060km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35786km的地球同步轨道上。设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为()A.a2>a1>a3B.a3>a2>a1C.a3>a1>a2 D.a1>a2>a3【典例2