高考物理一轮复习 知识点32：宇宙速度（拔尖解析版）

知识点32：宇宙速度【知识思维方法技巧】（1）运行速度是指卫星在进入运行轨道后绕地球做匀速圆周运动的线速度，满足v＝eq\r(\f(GM,r))，其大小随轨道半径的增大而减小，当r为地球半径（近地卫星）时，对应的速度有最大值v＝7.9km/s。（2）发射速度是指卫星在地面附近离开发射装置的初速度（相对地球），第一、二、三宇宙速度都是指卫星相对于地球的不同发射速度，卫星在发射过程中要克服地球引力做功，发射越远所需发射速度越大，最小发射速度为第一宇宙速度v＝7.9km/s。（3）发射速度越大，卫星运行的圆周轨道半径越大，卫星的运行速度越小，当v发＝11.2km/s时，卫星可挣脱地球引力的束缚；当v发＝16.7km/s时，卫星可挣脱太阳引力的束缚。考点一：第一宇宙速度题型一：地球第一宇宙速度【知识思维方法技巧】地球第一宇宙速度的特点：（1）地球第一宇宙速度是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动时的速度，地球第一宇宙速度为7.9km/s。由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v\o\al(12),R)，得v1＝eq\r(\f(GM,R))＝eq\r(\f(6.67×10－11×5.98×1024,6.4×106))m/s＝7.9km/s由mg＝meq\f(v\o\al(12),R)，得v1＝eq\r(gR)＝eq\r(9.8×6.4×106)m/s＝7.9km/s。（2）地球第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，也是人造地球卫星的最大环绕速度。【典例1拔尖题】地球赤道上有一物体随地球自转，所需的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)，所需的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球的同步卫星所需的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3；地球表面的重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则()A.F1＝F2>F3 B.a1＝a2＝g>a3C.v1＝v2＝v>v3 D.ω1＝ω3<ω2【典例1拔尖题】【答案】D【解析】地球同步卫星的运动周期与地球自转周期相同，角速度相同，即ω1＝ω3，根据关系式v＝ωr和a＝ω2r可知，v1<v3，a1<a3；人造卫星和地球同步卫星都围绕地球转动，它们受到的万有引力提供向心力，即G＝mω2r＝＝ma，可得v＝，a＝G，ω＝，可见，轨道半径大的线速度、向心加速度和角速度均小，即v2>v3，a2>a3，ω2>ω3；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)的线速度就是第一宇宙速度，即v2＝v，其向心加速度等于重力加速度，即a2＝g；所以v＝v2>v3>v1，g＝a2>a3>a1，ω2>ω3＝ω1，又因为F＝ma，所以F2>F3>F1.由以上分析可知，选项A、B、C错误，D正确．题型二：某星球第一宇宙速度【知识思维方法技巧】某星球第一宇宙速度是物体在某星球附近绕某星球做匀速圆周运动时的速度。（1）由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v\o\al(12),R)，得v1＝eq\r(\f(GM,R))，R是某星球的半径。（2）由mg＝meq\f(v\o\al(12),R)，得v1＝eq\r(gR)，g是某星球表面的重力加速度。【典例2拔尖题】某天文爱好者在观测某行星时，测得绕该行星的卫星做圆周运动的半径r的三次方与运动周期T的平方满足如图所示的关系，图中a、b、R已知，且R为该行星的半径．(1)求该行星的第一宇宙速度；(2)若在该行星上高为h处水平抛出一个物体，水平位移也为h，则抛出的初速度为多大？【典例2拔尖题】【答案】(1)2π(2)【解析】(1)卫星运行时，由万有引力提供向心力得G＝mr()2；由题图可知＝，设第一宇宙速度为v1，由万有引力提供向心力得G＝m解得v1＝2π.(2)设该行星表面的重力加速度为g，则G＝mg，解得g＝，设平抛运动的初速度为v0，根据平抛运动规律有h＝gt2，h＝v0t，解得v0＝.【典例2拔尖题对应练习】(多选)如图甲所示，假设某星球表面上有一倾角为θ的固定斜面，一质量为m的小物块从斜面底端沿斜面向上运动，其速度—时间图像如图乙所示．已知小物块与斜面间的动摩擦因数为μ＝eq\f(\r(3),9)，该星球半径为R＝6×104km，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，π取3.14，则下列说法正确的是()A．该星球的第一宇宙速度v1＝3.0×104m/sB．该星球的质量M＝8.1×1026kgC．该星球的自转周期T＝1.3×104sD．该星球的密度ρ＝896kg/m3【典例2拔尖题对应练习】【答案】ABD【解析】物块上滑过程中，根据牛顿第二定律，在沿斜面方向上有μmgcosθ＋mgsinθ＝ma1，下滑过程中，在沿斜面方向上有mgsinθ－μmgcosθ＝ma2，又知v­t图像的斜率表示加速度，则上滑和下滑过程中物块的加速度大小分别为a1＝eq\f(6－0,0.6)m/s2＝10m/s2，a2＝eq\f(2,0.4)m/s2＝5m/s2，联立解得g＝15m/s2，该星球的第一宇宙速度为v1＝eq\r(gR)＝eq\r(15×6×104×103)m/s＝3.0×104m/s，故选项A正确；根据黄金代换式GM＝gR2可得该星球的质量为M＝eq\f(gR2,G)＝eq\f(15×（6×104×103）2,6.67×10－11)kg＝8.1×1026kg，故选项B正确；根据所给条件无法计算出该星球的自转周期，故选项C错误；该星球的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(8.1×1026kg,\f(4,3)×π×R3)＝896kg/m3，故选项D正确．考点二：第二宇宙速度（脱离速度）【知识思维方法技巧】第二宇宙速度（脱离速度）的特点：（1）地球第二宇宙速度(脱离速度)为第一宇宙速度的eq\r(2)倍，v2＝11.2km/s，也是使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。（2）某星球第二宇宙速度(脱离速度)是使物体挣脱某星球引力束缚的最小发射速度。（3）黑洞的逃逸速度为光速c，即黑洞的第二宇宙速度，是黑洞第一宇宙速度的eq\r(2)倍。题型一：地球第二宇宙速度【典例1拔尖题】近年来，我国的航天事业飞速发展，2019年1月3号“嫦娥奔月”掀起高潮。“嫦娥四号”进行人类历史上的第一次月球背面登陆。若“嫦娥四号”在月球附近轨道上运行的示意图如图所示，“嫦娥四号”先在圆轨道上做圆周运动，运动到A点时变轨为椭圆轨道，B点是近月点，则下列有关“嫦娥四号”的说法正确的是()A．“嫦娥四号”的发射速度应大于地球的第二宇宙速度B．“嫦娥四号”要想从圆轨道进入椭圆轨道必须在A点加速C．“嫦娥四号”在椭圆轨道上运行的周期比圆轨道上运行的周期要长D．“嫦娥四号”运行至B点时的速率大于月球的第一宇宙速度【典例1拔尖题】【答案】D【解析】“嫦娥四号”的发射速度应大于地球的第一宇宙速度7.9km/s，小于地球的第二宇宙速度11.2km/s，故A错误；“嫦娥四号”要想从圆轨道变轨到椭圆轨道，必须在A点进行减速，故B错误；由开普勒第三定律知eq\f(r3,T\o\al(2,1))＝eq\f(a3,T\o\al(2,2))，由题图可知，圆轨道的半径r大于椭圆轨道的半长轴a，故“嫦娥四号”在圆轨道上运行的周期T1大于在椭圆轨道上运行的周期T2，所以C错误；“嫦娥四号”要想实现软着陆，运行至B点时必须减速才能变为环月轨道，故在B点时的速率大于在环月轨道上运行的最大速率，即大于月球的第一宇宙速度，故D正确。题型二：某星球第二宇宙速度【典例2拔尖题】宇航员在一行星上以速度v0竖直上抛一质量为m的物体，不计空气阻力，经2t后落回手中，已知该星球半径为R.求：(1)该星球的第一宇宙速度的大小；(2)该星球的第二宇宙速度的大小．已知取无穷远处引力势能为零，物体距星球球心距离为r时的引力势能Ep＝－Geq\f(mM,r).(G为万有引力常量)【典例2拔尖题】【答案】(1)eq\r(\f(v0R,t))(2)eq\r(\f(2v0R,t))【解析】(1)由题意可知星球表面重力加速度为g＝eq\f(v0,t)；由万有引力定律知mg＝meq\f(v\o\al(12),R)解得v1＝eq\r(gR)＝eq\r(\f(v0R,t)).(2)由星球表面万有引力等于物体重力知eq\f(GMm,R2)＝mg，又Ep＝－Geq\f(mM,R)，解得Ep＝－eq\f(mv0R,t)由机械能守恒有eq\f(1,2)mv22－eq\f(mv0R,t)＝0；解得v2＝eq\r(\f(2v0R,t)).【典例2拔尖题对应练习】牛顿说：“我们必须普遍地承认，一切物体，不论是什么，都被赋予了相互引力的原理”。任何两个物体间存在的相互作用的引力，都可以用万有引力定律计算，而且任何两个物体之间都存在引力势能，若规定物体处于无穷远处时的势能为零，则二者之间引力势能的大小为，其中m1、m2为两个物体的质量，r为两个质点间的距离（对于质量分布均匀的球体，指的是两个球心之间的距离），G为引力常量。设有一个质量分布均匀的星球，质量为M，半径为R。（1）该星球的第一宇宙速度是多少？（2）为了描述电场的强弱，引入了电场强度的概念，请写出电场强度的定义式。类比电场强度的定义，请在引力场中建立“引力场强度”的概念，并计算该星球表面处的引力场强度是多大？（3）该星球的第二宇宙速度是多少？（4）如图所示是一个均匀带电实心球的剖面图，其总电荷量为+Q（该带电实心球可看作电荷集中在球心处的点电荷），半径为R，P为球外一点，与球心间的距离为r，静电力常量为k。现将一个点电荷-q（该点电荷对实心球周围电场的影响可以忽略）从球面附近移动到p点，请参考引力势能的概念，求电场力所做的功。【典例2拔尖题对应练习】【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】(1)设靠近该星球表面做匀速圆周运动的卫星的速度大小为，万有引力提供卫星做圆周运动的向心力；解得：；(2)电场强度的定义式；设质量为m的质点距离星球中心的距离为r，质点受到该星球的万有引力，质点所在处的引力场强度，得该星球表面处的引力场强度(3)设该星球表面一物体以初速度向外抛出，恰好能飞到无穷远，根据能量守恒定律解得：；(4)点电荷-q在带电实心球表面处的电势能点电荷-q在P点的电势能；点电荷-q从球面附近移动到P点，电场力所做的功解得：。考点三：宇宙速度与运动轨迹的关系【知识思维方法技巧】宇宙速度与运动轨迹的关系：（1）v发＜7.9km/s时，被发射物体最终仍将落回地面。（2）v发＝7.9km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动。（3）7.9km/s<v发<11.2km/s（地球第二宇宙速度脱离速度)，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。（4）11.2km/s≤v发＜16.7（地球第三宇宙速度逃逸速度）km/s，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆。（5）v发≥16.7km/s（地球第三宇宙速度逃逸速度），卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。题型一：在地球表面发射物体类型一：物体成为地球卫星模型【典例1a拔尖题】(多选)如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先从发射点P进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则()A．该卫星在P点的速度大于7.9km/s，且小于11.2km/sB．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于7.9km/sC．在轨道Ⅰ上，卫星在P点的速度大于在Q点的速度D．卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ【典例1a拔尖题】【答案】ACD【解析】地球卫星的发射速度应大于7.9km/s且小于11.2km/s，故A正确；环绕地球做圆周运动的人造卫星，最大的运行速度是7.9km/s，故B错误；P点比Q点离地球近些，故在轨道Ⅰ上，卫星在P点的速度大于在Q点的速度，C正确；卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，故D正确。类型二：物体成为月球（火星）卫星模型【典例1b拔尖题】2020年7月22日，中国火星探测工程正式对外发布“中国首次火星探测任务宇宙飞船天问一号着陆平台和火星车”。7月23日，宇宙飞船天问一号探测器在中国文昌航天发射基地发射升空。宇宙飞船天问一号从地球上发射到与火星会合，运动轨迹如图中椭圆所示。飞向火星过程中，只考虑太阳对宇宙飞船天问一号的引力。下列说法正确的是()A.宇宙飞船天问一号椭圆运动的周期小于地球公转的周期B.在与火星会合前，宇宙飞船天问一号的加速度小于火星公转的向心加速度C.宇宙飞船天问一号在无动力飞行飞向火星的过程中，引力势能增大，动能减少，机械能守恒D.宇宙飞船天问一号在地球上的发射速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间【典例1b拔尖题】【答案】C【解析】宇宙飞船天问一号椭圆轨道半长轴大于地球公转半径，由开普勒第三定律可知，宇宙飞船天问一号椭圆轨道的周期大于地球公转的周期，故A项错误；宇宙飞船天问一号位于火星与地球之间，距太阳的距离小于火星距太阳的距离，由Geq\f(Mm,r2)＝ma解得a＝eq\f(GM,r2)，宇宙飞船天问一号的向心加速度大于火星公转的向心加速度，故B项错误；当天问一号飞向火星过程中，即在椭圆轨道上，万有引力做负功，引力势能增大，动能减小，机械能守恒，故C项正确；宇宙飞船天问一号从地球上发射，需要脱离地球的吸引，绕太阳运动，即发射速度大于第二宇宙速度，故D项错误。【典例1b拔尖题对应练习】“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号（）A．发射速度介于7.9km/s与11.2km/s之间 B．从P点转移到Q点的时间小于6个月 C．在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小 D．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度【典例1b拔尖题对应练习】【答案】C【解析】天问一号需要脱离地球引力的束缚，第二宇宙速度11.2km/s为脱离地球的引力，在地球发射天问一号的速度要大于第二宇宙速度，故A错误。地球公转周期为12个月，根据开普勒第三定律可知，＝k，天问一号在地火转移轨道的轨道半径大于地球公转半径，则运行周期大于12个月，从P点转移到Q点的时间大于6个月，故B错误；同理，环绕火星的停泊轨道半径小于调相轨道半径，则在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，故C正确；天问一号在Q点点火加速进入火星轨道，则在地火转移轨道运动时，Q点的速度小于火星轨道的速度，根据万有引力提供向心力可知，，解得线速度：v＝，地球公转半径小于火星公转半径，则地球绕太阳的速度大于火星绕太阳的速度，则在地火转移轨道运动时，Q点的速度小于地球绕太阳的速度，故D错误。题型二：在某星球表面发射物体【典例2拔尖题】(多选)地球位于太阳和行星之间且三者几乎排成一条直线的现象，天文学上称为“行星冲日”。火星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动。不考虑火星与地球的自转，且假设火星和地球的轨道平面在同一个平面上，相关数据见下表。则根据提供的数据可知()质量半径与太阳间距离地球mRr火星约0.1m约0.5R约1.5rA.在火星表面附近发射飞行器的速度至少为7.9km/sB.理论上计算可知，相邻两次“火星冲日”的时间间隔大约为1年C.火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之