高考物理一轮复习 知识点32：宇宙速度（提高解析版）

知识点32：宇宙速度【知识思维方法技巧】（1）运行速度是指卫星在进入运行轨道后绕地球做匀速圆周运动的线速度，满足v＝eq\r(\f(GM,r))，其大小随轨道半径的增大而减小，当r为地球半径（近地卫星）时，对应的速度有最大值v＝7.9km/s。（2）发射速度是指卫星在地面附近离开发射装置的初速度（相对地球），第一、二、三宇宙速度都是指卫星相对于地球的不同发射速度，卫星在发射过程中要克服地球引力做功，发射越远所需发射速度越大，最小发射速度为第一宇宙速度v＝7.9km/s。（3）发射速度越大，卫星运行的圆周轨道半径越大，卫星的运行速度越小，当v发＝11.2km/s时，卫星可挣脱地球引力的束缚；当v发＝16.7km/s时，卫星可挣脱太阳引力的束缚。考点一：第一宇宙速度题型一：地球第一宇宙速度【知识思维方法技巧】地球第一宇宙速度的特点：（1）地球第一宇宙速度是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动时的速度，地球第一宇宙速度为7.9km/s。由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v\o\al(12),R)，得v1＝eq\r(\f(GM,R))＝eq\r(\f(6.67×10－11×5.98×1024,6.4×106))m/s＝7.9km/s由mg＝meq\f(v\o\al(12),R)，得v1＝eq\r(gR)＝eq\r(9.8×6.4×106)m/s＝7.9km/s。（2）地球第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，也是人造地球卫星的最大环绕速度。【典例1提高题】2020年6月30日，北斗三号全球卫星导航系统最后一颗组网卫星、第三颗地球静止轨道卫星有效载荷完成开通．这颗卫星是北斗全球卫星导航系统提供定位导航授时、短报文通信、星基增强、精密单位定位等服务的关键卫星．卫星发射升空后，先后经过5次变轨、3次定点捕获，成功定点到东经110.5°工作轨道．已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，地球自转周期为T.下列说法正确的是()A．该卫星质量与第一、第二颗地球同步卫星质量一定相等B．该卫星距离地面高度为eq\r(3,\f(gR2T2,4π2))C．该卫星的线速度大于第一宇宙速度D．该卫星的线速度大于在地球赤道上随地球自转的物体速度【典例1提高题】【答案】D【解析】该卫星质量与第一、第二颗地球同步卫星质量不一定相等，选项A错误；根据Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋h)其中Geq\f(Mm′,R2)＝m′g，解得该卫星距离地面高度为h＝eq\r(3,\f(gR2T2,4π2))－R，选项B错误；根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)可得v＝eq\r(\f(GM,r))，可知该卫星的线速度小于第一宇宙速度，选项C错误；该卫星的周期和角速度等于地球自转的周期和角速度，根据v＝ωr可知，该卫星的线速度大于在地球赤道上随地球自转的物体速度，选项D正确．【典例1提高题对应练习】(多选)如图，同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2。第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列比值正确的是()A.eq\f(a1,a2)＝eq\f(r,R)B．eq\f(a1,a2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,r)))2C.eq\f(v1,v2)＝eq\f(r,R) D．eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(R,r))【典例1提高题对应练习】【答案】AD【解析】本题中涉及三个物体，其已知量排列如下地球同步卫星：轨道半径r，运行速率v1，加速度a1；地球赤道上的物体：轨道半径R，随地球自转的向心加速度a2；近地卫星：轨道半径R，运行速率v2；对于卫星，其共同特点是万有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，故eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(R,r))。故选项D正确；对于同步卫星和地球赤道上的物体，其共同特点是角速度相等，有a＝ω2r，故eq\f(a1,a2)＝eq\f(r,R)。故选项A正确。题型二：某星球第一宇宙速度【知识思维方法技巧】某星球第一宇宙速度是物体在某星球附近绕某星球做匀速圆周运动时的速度。（1）由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v\o\al(12),R)，得v1＝eq\r(\f(GM,R))，R是某星球的半径。（2）由mg＝meq\f(v\o\al(12),R)，得v1＝eq\r(gR)，g是某星球表面的重力加速度。【典例2提高题】宇宙飞船分别靠近星球P和星球Q的过程中，其所受星球的万有引力F与到星球表面距离h的关系图像如图所示．已知星球P和星球Q的半径都为R.下列说法正确的是()A.星球P和星球Q的质量之比为1∶2B.星球P表面和星球Q表面的重力加速度之比为1∶2C.星球P和星球Q的第一宇宙速度之比为2∶1D.星球P和星球Q的近地卫星周期之比为1∶【典例2提高题】【答案】D【解析】当h等于0时，即在星球表面时，根据万有引力公式有2F0＝，F0＝，则MP∶MQ＝2∶1，A错误；当h等于0时，宇宙飞船在两个星球的表面，根据万有引力公式可得2F0＝mgP，F0＝mgQ，所以gP∶gQ＝2∶1，B错误；飞船在星球表面做匀速圆周运动，有mg＝m，则v＝，所以星球P与星球Q的第一宇宙速度之比为∶1，C错误；根据万有引力提供向心力可得＝m，T＝，所以星球P和星球Q的近地卫星周期之比为1∶，D正确．【典例2提高题对应练习】2020年12月3日23时10分，“嫦娥五号”上升器月面点火，3000N发动机工作约6min后，顺利将携带月壤的上升器送入到预定环月轨道，成功实现中国首次地外天体起飞．已知月球的质量约为地球的，半径约为地球的，地球上第一宇宙速度约为7.9km/s，则“嫦娥五号”最小的“起飞”速度约为()A.1.8km/s B.2.6km/s C.3.9km/s D.4.5km/s【典例2提高题对应练习】【答案】A【解析】设地球的质量和半径分别为M1、R1，月球的质量和半径分别为M2、R2，根据题意，则有M1∶M2＝81∶1，R1∶R2＝4∶1，物体绕星体表面做匀速圆周运动的速度为第一宇宙速度，有＝，可得第一宇宙速度为v＝，故地球与月球的第一宇宙速度之比为＝＝，地球第一宇宙速度v1＝7.9km/s，故月球第一宇宙速度v2≈1.8km/s.故选A.考点二：第二宇宙速度（脱离速度）【知识思维方法技巧】第二宇宙速度（脱离速度）的特点：（1）地球第二宇宙速度(脱离速度)为第一宇宙速度的eq\r(2)倍，v2＝11.2km/s，也是使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。（2）某星球第二宇宙速度(脱离速度)是使物体挣脱某星球引力束缚的最小发射速度。（3）黑洞的逃逸速度为光速c，即黑洞的第二宇宙速度，是黑洞第一宇宙速度的eq\r(2)倍。题型一：地球第二宇宙速度【典例1提高题】2019年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)．该卫星()A．入轨后可以位于北京正上方B．入轨后的速度大于第一宇宙速度C．发射速度大于第二宇宙速度D．若发射到近地圆轨道所需能量较少【典例1提高题】【答案】D【解析】同步卫星只能位于赤道正上方，A项错误；由eq\f(GMm,r2)＝eq\f(mv2,r)知，卫星的轨道半径越大，卫星做匀速圆周运动的线速度越小，因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫星的速度)，B项错误；同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，C项错误；若发射到近地圆轨道，所需发射速度较小，所需能量较少，D正确．【典例1提高题对应练习】我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”．已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是()A．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度【典例1提高题对应练习】【答案】A【解析】火星探测器需要脱离地球的束缚，故其发射速度应大于地球的第二宇宙速度，A正确，B错误；由eq\f(GMm,R2)＝meq\f(v2,R)得，v火＝eq\r(\f(GM火,R火))＝eq\r(\f(0.1M地G,0.5R地))＝eq\f(\r(5),5)v地，故火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，C错误；由eq\f(GMm,R2)＝mg得，g火＝Geq\f(M火,R\o\al(2,火))＝Geq\f(0.1M地,0.5R地2)＝0.4g地，故火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，D错误．题型二：某星球第二宇宙速度【典例2提高题】星球上的物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度．星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝eq\r(2)v1.已知某星球的半径为r，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的eq\f(1,6).不计其他星球的影响．则该星球的第二宇宙速度为()A．eq\r(\f(gr,3))B．eq\r(\f(gr,6))C．eq\f(gr,3) D．eq\r(gr)【典例2提高题】【答案】A【解析】该星球的第一宇宙速度满足：Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(veq\o\al(2,1),r)，在该星球表面处万有引力等于重力：Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(g,6)，由以上两式得v1＝eq\r(\f(gr,6))，则第二宇宙速度v2＝eq\r(2)×eq\r(\f(gr,6))＝eq\r(\f(gr,3))，故A正确．【典例2提高题对应练习】（多选）使物体成为卫星的最小发射速度称为第一宇宙速度v1，而使物体脱离星球引力所需要的最小发射速度称为第二宇宙速度v2，v2与v1的关系是v2＝eq\r(2)v1。已知某星球半径是地球半径R的eq\f(1,3)，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的eq\f(1,6)，地球的平均密度为ρ，不计其他星球的影响，则()该星球上的第一宇宙速度为eq\f(\r(3gR),3)B．该星球上的第二宇宙速度为eq\f(\r(gR),3)C．该星球的平均密度为eq\f(ρ,2)D．该星球的质量为eq\f(8πR3ρ,81)【典例2提高题对应练习】【答案】BC【解析】星球的半径R′＝eq\f(R,3)，星球上的重力加速度g′＝eq\f(g,6)，该星球上的第一宇宙速度v1＝eq\r(g′R′)＝eq\r(\f(g,6)·\f(R,3))＝eq\f(\r(2gR),6)，选项A错误；该星球上的第二宇宙速度为v2＝eq\r(2)v1＝eq\r(2)eq\f(\r(2gR),6)＝eq\f(\r(gR),3)，选项B正确；由g′＝eq\f(GM′,R′2)，g＝eq\f(GM,R2)，M＝ρV，V＝eq\f(4,3)πR3，联立解得该星球的质量为M′＝eq\f(2πR3ρ,81)，选项D错误；该星球体积V′＝eq\f(4,3)πR′3，该星球的平均密度为ρ′＝eq\f(M′,V′)，R′＝eq\f(R,3)，联立解得ρ′＝eq\f(ρ,2)，选项C正确。考点三：宇宙速度与运动轨迹的关系【知识思维方法技巧】宇宙速度与运动轨迹的关系：（1）v发＜7.9km/s时，被发射物体最终仍将落回地面。（2）v发＝7.9km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动。（3）7.9km/s<v发<11.2km/s（地球第二宇宙速度脱离速度)，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。（4）11.2km/s≤v发＜16.7（地球第三宇宙速度逃逸速度）km/s，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆。（5）v发≥16.7km/s（地球第三宇宙速度逃逸速度），卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。题型一：在地球表面发射物体类型一：物体成为地球卫星模型【典例1a提高题】牛顿设想：把物体从高山上水平抛出，抛出速度足够大时，物体就不会落回地面，成为人造地球卫星．图中Ⅰ、Ⅱ分别是两颗卫星绕地球运行的轨道，A、B分别是轨道上的两个点．下列关于两颗卫星在轨道Ⅰ、Ⅱ上运行的描述正确的是()A．轨道Ⅰ上卫星比轨道Ⅱ的发射速度更大B．轨道Ⅰ上卫星比轨道Ⅱ的绕行周期更大C．卫星在A点的加速度比B点更大D．卫星在A点所受的万有引力比B点更大【典例1a提高题】【答案】C【解析】卫星发射到轨道Ⅱ上比发射到轨道Ⅰ上需要的能量大，故轨道Ⅱ上卫星比轨道Ⅰ的发射速度更大，故A错误；根据开普勒第三定律可知，eq\f(r3,T2)＝k，轨道Ⅰ的半长轴(半径)小，则绕行周期小，故B错误；根据牛顿第二定律可知eq\f(GMm,r2)＝ma，解得加速度a＝eq\f(GM,r2)，卫星在A点的轨道半径r小，则加速度大，故C正确；由于两颗卫星的质量未知，则无法确定所受的万有引力大小，故D错误．【典例1a提高题对应练习】（多选）如图所示是牛顿研究抛体运动时绘制的一幅草图，以不同速度抛出的物体分别沿a、b、c、d轨迹运动，其中a是一段曲线，b是贴近地球表面的圆，c是椭圆，d是双曲线的一部分．已知引力常量为G、地球质量为M、半径为R、地球附近的重力加速度为g.以下说法中正确的是()A．沿a运动的物体初速度一定小于eq\r(gR)B．沿b运动的物体速度等于eq\r(\f(GM,R))C．沿c运动的物体初速度一定大于第二宇宙速度D．沿d运动的物体初速度一定大于第三宇宙速度【典例1a提高题对应练习】【答案】AB【解析】b是贴近地球表面的圆，沿此轨迹运动的物体满足Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，解得v＝eq\r(\f(GM,R))，或满足mg＝meq\f(v2,R)，解得v＝eq\r(gR)，以上得到的两个速度均为第一宇宙速度，发射速度小于第一宇宙速度则不能成为人造卫星，如a，故A、B正确；发射速度大于第一宇宙速度而小于第二宇宙速度，卫星的轨道为椭圆，如c，故C错误；发射速度大于第二宇宙速度，轨迹将不闭合，发射速度大于第三宇宙速度，轨迹也不闭合，故d轨迹不能确定其发射速度是否大于第三宇宙速度，D错误．类型二：物体成为月球（火星）卫星模型【典例1b提高题】我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”．已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是()A．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度【典例1b提高题】【答案】A【解析】火星探测器需要脱离地球的束缚，故其发射速度应大于地球的第二宇宙速度，A正确，B错误；由eq\f(GMm,R2)＝meq\f(v2,R)得，v火＝eq\r(\f(GM火,R火))＝eq\r(\f(0.1M地G,0.5R地))＝eq\f(\r(5),5)v地，故火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，C错误；由eq\f(GMm,R2)＝mg得，g火＝Geq\f(M火,R\o\al(2,火))＝Geq\f(0.1M地,0.5R地2)＝0.4g地，故火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，D错误．【典例1b提高题对应练习】（多选）中俄联合实施探测火星计划，由中国负责研制的“萤火一号”火星探测器与俄罗斯研制的“福布斯—土壤”火星探测器一起由俄罗斯“天顶”运载火箭发射前往火星．已知火星的质量约为地球质量的eq\f(1,9)，火星的半径约为地球半径的eq\f(1,2).下列关于火星探测器的说法中正确的是()发射速度只要大于第一宇宙速度即可B．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以