高二数学（人教A版）导学案选择性必修一1-1-2空间向量的数量积运算

1.1.2空间向量的数量积运算[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学][课时目标]1.了解空间向量的夹角.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义,会求向量的投影向量.3.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用,掌握利用向量数量积求空间两点间的距离.1.空间向量的夹角定义已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作OA=a,OB=b,则叫做向量a,b的夹角,记作

范围,a,b同向时,夹角为,反向时,夹角为

向量垂直如果<a,b>=,那么向量a,b互相垂直,记作ab

|微|点|助|解|设表示两向量的有向线段所在直线的夹角为α,两向量的夹角为<a,b>,(1)区别:范围不同,0≤α≤π2,0≤<a,b>≤π(2)联系:当两向量的夹角为锐角时,α=<a,b>;当两向量的夹角为直角时,两直线垂直,α=<a,b>=π2;当两向量的夹角为钝角时,α=π<a,b>2.空间向量的数量积(1)定义已知两个非零向量a,b,则叫做a,b的数量积,记作a·b,即a·b=.零向量与任意向量的数量积为0,即0·a=.

(2)运算律数乘向量与数量积的结合律(λa)·b=,λ∈R

交换律a·b=

分配律(a+b)·c=

3.空间向量的投影(1)如图1,在空间,向量a向向量b投影,由于它们是自由向量,因此可以先将它们平移到同一个平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c,c=,向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地,可以将向量a向直线l投影(如图2).

(2)如图3,向量a向平面β投影,就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A',B',得到向量A'B',向量A'B'称为向量a在平面β上的.这时,向量a,A'B'的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.

4.空间向量的数量积的性质设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则(1)a·e=e·a=

(2)a⊥b⇔

(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=

(4)求模公式:a·a=|a|2或|a|=

(5)|a·b|≤(当且仅当a,b共线时,等号成立)

(6)夹角公式:cos<a,b>=

基础落实训练1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)向量AB与CD的夹角不等于向量AB与DC的夹角.()(2)对空间任意两个非零向量a,b,都有<a,b>=<a,b>=π<a,b>.()(3)若a·b=|a||b|,则a∥b.()(4)若a,b,c为非零向量,且a·c=b·c,则a∥b.()(5)已知e1,e2是夹角为120°的两个单位向量,则e1在e2上的投影向量为12e2.()2.若a,b是空间中夹角为60°的两个单位向量,则|ab|=()A.1B.32C.3D.3.如图,正四面体OABC的棱长为1,则AB与BC的夹角为,OA·OB=.题型(一)空间向量的数量积[例1]如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,D,E分别为B1C1,AB的中点,设AB=a,AC=b,AA1=(1)用a,b,c表示向量DE;(2)若|AB|=|AC|=|AA1|=1,∠A1AB=∠BAC=60°,∠A1AC=90°,求DE·听课记录:|思|维|建|模|在几何体中计算空间向量数量积的一般步骤(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.(2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积.(3)代入公式a·b=|a||b|cos<a,b>求解.[针对训练]1.如图,在三棱锥PABC中,AP,AB,AC两两垂直,AP=2,AB=AC=1,M为PC的中点,则AC·BM的值为()A.1B.13C.14D2.如图,正方体ABCDA'B'C'D'的棱长为1,设AB=a,AD=b,AA'=c,则a·(b+c)=,a·(a+b+c)=,(a+b)·(b+c)=.题型(二)利用数量积证明垂直问题[例2]如图,已知正方体ABCDA'B'C'D',CD'与DC'相交于点O,连接AO,求证:(1)AO⊥CD';(2)AC'⊥平面B'CD'.听课记录:|思|维|建|模|用向量法证明垂直问题的方法(1)由数量积性质a⊥b⇔a·b=0可知,要证两直线垂直,可构造与两直线分别平行的向量a,b(a,b是非零向量),只要证明两个向量的数量积为零即可.(2)用向量法证明线面(面面)垂直,离不开线面(面面)垂直的判定定理,将线面(面面)垂直转化为线线垂直,然后利用向量法证明.[针对训练]3.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.求证:PA⊥BD.题型(三)利用数量积求模与夹角[例3]如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长均为6,且它们彼此的夹角都是60°.(1)求|AC1(2)求<DA1,C1听课记录:[变式拓展]本例条件不变,求直线BD1与AC所成角的余弦值.|思|维|建|模|1.求异面直线所成角的大小的一般步骤取向量根据题设条件分别取要求夹角的两异面直线的方向向量转化角将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题求余弦利用数量积求向量夹角的余弦值定结果异面直线所成的角的余弦值等于相应向量夹角余弦值的绝对值2.求线段长度的步骤(1)将线段用向量表示;(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量;(3)利用|a|=a2得所求长度[针对训练]4.如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AD∥BC,AB⊥AD,∠A1AB=∠A1AD=π3BB1=AD=2AB=2BC=2,E是线段B1D上的点,且B1E=2(1)求|AE|的长;(2)求异面直线AE与CD所成角的余弦值.课下请完成课时检测(三)1.1.2空间向量的数量积运算◉课前预知教材1.∠AOB<a,b>0≤<a,b>≤π0ππ22.(1)|a||b|cos<a,b>|a||b|cos<a,b>0(2)λ(a·b)b·aa·c+b·c3.(1)|a|cos<a,b>bb(2)4.|a|cosθa·b=0|a||b|a·a|a||b|a·b[基础落实训练]1.(1)√(2)√(3)√(4)×(5)√2.A3.120°1◉课堂题点研究[题型(一)][例1]解:(1)根据题意可得DE=DA1+A1A+AE=12(AB+=12ACAA1=(2)易知BC=ACAB=ba,且|a|=|b|=|c|=1,显然<a,c>=∠A1AB=<a,b>=∠BAC=60°,<b,c>=∠A1AC=90°,所以DE·BC=−12b−c·b−a=12b2+12a·bb·c+a·c=1[针对训练]1.选D由题意,得BM=BA+AM=BA+12(AP+AC)=BA+12AP+12AC.故AC·BM=AC·BA+12AP+12AC=AC·BA2.解析:依题意AB,AD,AA'两两互相垂直,所以a·b=a·c=b·c=0.所以a·(b+c)=a·b+a·c=0,a·(a+b+c)=a·a+a·b+a·c=|a|2=1,(a+b)·(b+c)=a·b+b·b+a·c+b·c=|b|2=1.答案:011[题型(二)][例2]证明:(1)因为AO=AD+DO=AD+12(DD'+DC)=12(DD'+DC+2AD),CD'=DD'所以AO·CD'=12(DD'+DC+2AD)·(DD'DC)=12(DD'·DD'DD'·DC+DC·DD'DC·DC+2AD·DD'2AD·=12(|DD'|2|DC|2)=0,所以AO⊥CD',故AO⊥CD'(2)设正方体的棱长为a,则AC'·B'C=(AB+BC+CC')·(B'B+BC)=AB·B'B+AB·BC+BC·B'B+BC·BC+CC'·B'B+CC'·BC=0+0+0+a2a2+0=0,所以AC'⊥B'C,所以AC'⊥B'C.同理可证AC'⊥B'D'.又B'C,B'D'⊂平面B'CD',B'C∩B'D'=B',所以AC'⊥平面B'CD'.[针对训练]3.证明:设AD=a,则AB=2a.因为PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥AB,所以PD·AD=PD·AB=0,所以PA·BD=(PD+DA)·(ADAB)=PD·ADPD·ABAD2+AD·AB=|AD|2+AD·AB=a2+|AD||AB|·cos∠DAB=a2+2a2×cos60°=0,所以PA⊥BD,故PA⊥[题型(三)][例3]解:(1)|AB|=|AD|=|AA1|=6,AB·AD=AB·AA1=AD·A∵AC1=AB+BC+CC1=AB+则AC12=(AB+AD+AA1)2=AB2+AD2+AA12+2AB·AD+2AB∴|AC1|=6(2)∵DA1=DA+AA1=AA1AD,C1B1=AD,则DA12=(AA1AD)2=A|C1B1|=6,DA1·C1B1=(AA1AD)·∴cos<DA1,C1B1>=D则<DA1,C1[变式拓展]解:∵BD1=BC+CC1+C1D1=AB+AD+AA1,AC=AB+AD,则BD12=(AB+AD+AA1)2=AB2+AD2+AA122AB·AD2AB·AA1+2AD·AA1=72,AC2=AB2+2AB·AD+AD2(AB+AD)=AB2+AD2+AB·AA1+AD·AA1=36.∴cos<BD1,AC>=BD