2017-2018学年高中数学北师大版必修3教学案第三章223互斥事件

2．3互斥事件预习课本P138～146，思考并完成以下问题(1)互斥事件的定义是什么？(2)对立事件的定义是什么？(3)互斥事件与对立事件有什么区别和联系？(4)互斥事件的概率加法公式是什么？eq\a\vs4\al([新知初探])1．互斥事件(1)定义：在一个试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件．(2)规定：事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生．(3)公式：在一次随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，那么有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．(4)公式的推广：如果随机事件A1，A2，…，An中任意两个是互斥事件，那么有P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．[点睛](1)如果事件A与B是互斥事件，那么A与B两事件同时发生的概率为0.(2)从集合的角度看，记事件A所含结果组成的集合为集合A，事件B所含结果组成的集合为集合B，事件A与事件B互斥，则集合A与集合B的交集是空集，如图所示．2．对立事件(1)定义：在一次试验中，如果两个事件A与B不能同时发生，并且一定有一个发生，那么事件A与B称作对立事件，事件A的对立事件记为eq\o(A,\s\up6(－)).(2)性质：P(A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1，即P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))．[点睛]两个事件是对立事件，它们也一定是互斥事件；两个事件为互斥事件，它们未必是对立事件．eq\a\vs4\al([小试身手])1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对立事件一定是互斥事件．()(2)A，B为两个事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．()(3)若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.()(4)事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×2．一人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A．至多有一次中靶 B．两次都中靶C．两次都不中靶 D．只有一次中靶解析：选C连续射击两次的结果有四种：①两次都中靶；②两次都不中靶；③第一次中靶，第二次没有中靶；④第一次没有中靶，第二次中靶．“至少有一次中靶”包含①③④三种结果，因此互斥事件是②.3．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为()A．至多有2件次品 B．至多有1件次品C．至多有2件正品 D．至少有2件正品解析：选B至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件．共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．4．甲乙两人下围棋比赛，已知比赛中甲获胜的概率为0.45，两人平局的概率为0.1，则甲输的概率为________．解析：记事件A＝“甲胜乙”，B＝“甲、乙战平”，C＝“甲不输”，则C＝A＋B，而A，B是互斥事件，故P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.55.由于甲输与不输为对立事件，故甲输的概率为：1－P(C)＝1－0.55＝0.45.答案：0.45互斥事件和对立事件的判断[典例]某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”．判断下列事件是否是互斥事件，如果是，判断它们是否是对立事件．(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.[解](1)由于事件C“至多订一种报”中可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故事件B与E是互斥事件．由于事件B和事件E必有一个发生，故B与E也是对立事件．(3)事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件．(4)事件B“至少订一种报”中有3种可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报”中有3种可能：“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”．即事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．(5)由(4)的分析可知，事件E“一种报也不订”仅仅是事件C的一种可能，事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们在一次试验中能否同时发生，若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件，若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件；判断两个事件是否为对立事件，主要看在一次试验中这两个事件是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生．这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件，只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件．[活学活用]某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)恰有1名男生与恰有2名男生；(2)至少1名男生与全是男生；(3)至少1名男生与全是女生；(4)至少1名男生与至少1名女生．解：从3名男生和2名女生中任选2名同学有3类结果；两男或两女或一男一女．(1)因为恰有1名男生与恰有2名男生不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时，它们都没有发生，所以它们不是对立事件．(2)当恰有2名男生时，至少1名男生与全是男生同时发生，所以它们不是互斥事件．(3)因为至少1名男生与全是女生不可能同时发生，所以它们是互斥事件；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．(4)当选出的是1名男生1名女生时，至少1名男生与至少1名女生同时发生，所以它们不是互斥事件.互斥事件与对立事件概率公式的应用[典例]某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16,0.13.计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或9环的概率；(2)至少射中7环的概率；(3)射中8环以下的概率．[解]“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”是彼此互斥的，可运用互斥事件的概率加法公式求解．记“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，则(1)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52.(2)法一：P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87，所以至少射中7环的概率为0.87.法二：事件“至少射中7环”的对立事件是“射中7环以下”，其概率为0.13，则至少射中7环的概率为1－0.13＝0.87.(3)P(D＋E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29，所以射中8环以下的概率为0.29.运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤(1)确定各事件彼此互斥；(2)求各事件分别发生的概率，再求其和．值得注意的是：(1)是公式使用的前提条件，不符合这点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的．[活学活用]在数学考试中，小明的成绩在90分及90分以上的概率是0.18，在80～89分(包括80分与89分，下同)的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07.计算下列事件的概率：(1)小明在数学考试中取得80分及80分以上的成绩；(2)小明考试及格．解：分别记小明的成绩在“90分及90分以上”，在“80～89分”，在“70～79分”，在“60～69分”为事件B，C，D，E，显然这四个事件彼此互斥．(1)小明的成绩在80分及80分以上的概率是P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.(2)法一：小明考试及格的概率是P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.法二：因为小明考试不及格的概率是0.07，所以小明考试及格的概率是1－0.07＝0.93.互斥、对立事件与古典概型的综合应用[典例]一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．[解]记事件A1＝{任取1球为红球}；A2＝{任取1球为黑球}；A3＝{任取1球为白球}；A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝eq\f(5,12)，P(A2)＝eq\f(4,12)，P(A3)＝eq\f(2,12)，P(A4)＝eq\f(1,12).根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，法一：由互斥事件概率公式，得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＝eq\f(3,4).(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＋eq\f(2,12)＝eq\f(11,12).法二：(1)故取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1＋A2的对立事件为A3＋A4.所以取得1球为红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－eq\f(2,12)－eq\f(1,12)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)A1＋A2＋A3的对立事件为A4，所以P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12).求复杂事件的概率通常有两种方法(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件；(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”，它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率．[活学活用]某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示．现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率；(2)该队员最多属于两支球队的概率．解：分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件A，B，C.由图知3支球队共有球员20名．则P(A)＝eq\f(5,20)，P(B)＝eq\f(3,20)，P(C)＝eq\f(4,20).(1)令“抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件D.则D＝A＋B＋C，∵事件A，B，C两两互斥，∴P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(5,20)＋eq\f(3,20)＋eq\f(4,20)＝eq\f(3,5).(2)令“抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件E，则eq\x\to(E)为“抽取一名队员，该队员属于3支球队”，∴P(E)＝1－P(eq\x\to(E))＝1－eq\f(2,20)＝eq\f(9,10).[层级一学业水平达标]1．许洋说：“本周我至少做完三套练习题．”设许洋所说的事件为A，则A的对立事件为()A．至多做完三套练习题 B．至多做完二套练习题C．至多做完四套练习题 D．至少做完三套练习题解析：选B至少做完3套练习题包含做完3,4,5,6…套练习题，故它的对立事件为做完0,1,2套练习题，即至多做完2套练习题．2．把红、蓝、黑、白4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是()A．对立事件 B．互斥但不对立事件C．不可能事件 D．以上说法都不对解析：选B因为只有1张红牌，所以这两个事件不可能同时发生，所以它们是互斥事件；但这两个事件加起来并不是总体事件，所以它们不是对立事件．3．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是()A.eq\f(1,10) B.eq\f(3,10)C.eq\f(3,5) D.eq\f(9,10)解析：选D记3个红球分别为a1，a2，a3,2个白球分别为b1，b2.从3个红球、2个白球中任取3个，则所包含的基本事件有(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10个．由于每个基本事件发生的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用A表示“所取的3个球中至少有1个白球”，则其对立事件eq\x\to(A)表示“所取的3个球中没有白球”，则事件eq\x\to(A)包含的基本事件有1个：(a1，a2，a3)，所以P(eq\x\to(A))＝eq\f(1,10).故P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).4．事件A，B互斥，它们都不发生的概率为eq\f(2,5)，且P(A)＝2P(B)，则P(A)＝________.解析：因为事件A，B互斥，它们都不发生的概率为eq\f(2,5)，所以P(A)＋P(B)＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5).又因为P(A)＝2P(B)，所以P(A)＋eq\f(1,2)P(A)＝eq\f(3,5)，所以P(A)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)[层级二应试能力达标]1．若P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B的关系是()A．互斥不对立 B．对立不互斥C．互斥且对立 D．以上说法都不对答案：C2．若事件A和B是互斥事件，且P(A)＝0.1，则P(B)的取值范围是()A．[0,0.9] B．[0.1,0.9]C．(0,0.9] D．[0,1]解析：选A由于事件A和B是互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋P(B)，又0≤P(A∪B)≤1，所以0≤0.1＋P(B)≤1，又P(B)≥0，所以0≤P(B)≤0.9，故选A.3．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数是奇数”，事件B表示“向上的点数不超过3”，则P(A＋B)＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(5,6) D．1解析：选BA包含向上点数是1,3,5的情况，B包含向上的点数是1,2,3的情况，所以A＋B包含了向上点数是1,2,3,5的情况．故P(A＋B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).4．从1,2,3，…，30这30个数中任意摸出一个数，则事件“摸出的数是偶数或能被5整除的数”的概率是()A.eq\f(7,10) B.eq\f(3,5)C.eq\f(4,5) D.eq\f(1,10)解析：选B这30个数中“是偶数”的有15个，“能被5整除的数”有6个，这两个事件不互斥，既是偶数又能被5整除的数有3个，所以事件“是偶数或能被5整除的数”包含的基本事件数是18个，而基本事件共有30个，所以所求的概率为eq\f(18,30)＝eq\f(3,5).5．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为“出现奇数点”，事件B为“出现2点”，已知P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,6)，则“出现奇数点或2点”的概率为________．解析：“出现奇数点”的概率为P(A)，“出现2点”的概率为P(B)，且事件A与B互斥，则“出现奇数点或2点”的概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)6．某一时期内，一条河流某处的最高水位在各个范围内的概率如下：最高水位/m[8,10)[10,12)[12,14)概率0.20.30.5则在同一时期内，河流在这一处的最高水位不超过12m的概率为________．解析：法一：记“最高水位在[8,10)内”为事件A1，记“最高水位在[10,12)内”为事件A2，记“最高水位不超过12m”为事件A3，由题意知，事件A1，A2彼此互斥，而事件A3包含基本事件A1，A2，所以P(A3)＝P(A1)＋P(A2)＝0.2＋0.3＝0.5.法二：记“最高水位在[12,14)内”为事件B1，记“最高水位不超过12m”为事件B2，由题意知，事件B1和B2互为对立事件，所以P(B2)＝1－P(B1)＝1－0.5＝0.5.答案：0.57．围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为eq\f(1,7)，从中取出2粒都是白子的概率是eq\f(12,35).那么，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．解析：设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A＋B，且事件A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,7)＋eq\f(12,35)＝eq\f(17,35)，即“任意取出2粒恰好是同一色”的概率为eq\f(17,35).答案：eq\f(17,35)8．某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为不合格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．(1)求此人被评为优秀的概率；(2)求此人被评为良好及以上的概率．解：将5杯饮料编号为：1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A饮料，编号4,5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：(123)，(124)，(125