高二数学（人教A版）导学案选择性必修一1-11-1-1第2课时共线向量与共面向量

第2课时共线向量与共面向量[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学][课时目标]1.理解向量共线、向量共面的定义.2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件.3.会证明空间三点共线、四点共面.1.空间向量共线的充要条件对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使.

2.直线的方向向量如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,把与向量a平行的非零向量称为直线l的.直线可以由其上一点和它的方向向量确定,即OP=.|微|点|助|解|(1)向量a,b共线时,表示向量a,b的有向线段不一定在同一条直线上.(2)因为0=0·a,所以零向量和空间任一向量a是共线(平行)向量,这一性质使共线向量不具有传递性.3.共面向量(1)向量与直线平行:如图,如果表示向量a的有向线段OA所在的直线OA与直线l或,那么称向量a直线l.

(2)向量与平面平行:如果直线OA平行于平面α或,那么称向量a平行于平面α.

(3)共面向量:平行于的向量,叫做共面向量.4.空间向量共面的充要条件如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使.

|微|点|助|解|共面向量的推论(1)向量p与a,b共面的充要条件是在向量a与b不共线的前提下才能成立,若a,b共线,则不成立.(2)空间一点P位于平面ABC内⇔存在有序实数对(x,y),使AP=xAB+yAC或对空间任意一点O,有OP=OA+xAB+yAC.(3)四点P,A,B,C共面⇔对空间任意一点O,都有OP=xOA+yOB+zOC,且x+y+z=1.基础落实训练1.(多选)下列命题正确的是()A.若a∥b,b∥c,则a与c所在直线不一定平行B.=ABCD的充要条件是A与C重合,B与D重合C.若两个非零向量AB与CD满足AB+CD=0,则AB与CD共线D.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb2.对于空间的任意三个向量a,b,2ab,它们一定是()A.共面向量 B.共线向量C.不共面向量 D.不共线向量题型(一)向量共线的判定及应用题点1三点共线的判定[例1]如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E在A1D1上,且A1E=2ED1,点F在体对角线A1C上,且A1F=23FC.求证听课记录:题点2向量共线的应用[例2]已知A,B,C三点共线,O为空间不同于A,B,C三点的任一点,则①OA=2OB+μOC;②存在三个不为0的实数λ,m,n,使λOA+mOB+nOC=0,那么使①②成立的μ与λ+m+n的值分别为()A.1,1 B.1,0C.0,1 D.0,0听课记录:|思|维|建|模|向量共线的判定及应用(1)判断或证明两向量a,b(b≠0)共线,就是寻找实数λ,使a=λb成立.(2)判断或证明空间中的三点(如P,A,B)共线的方法:①是否存在实数λ,使PA=λPB;②对空间任意一点O,若OP=xOA+yOB,且x+y=1,则P,A,B三点共线.[针对训练]1.设向量e1,e2,e3不共面,已知AB=e1+e2+e3,BC=e1+λe2+e3,CD=4e1+8e2+4e3,若A,C,D三点共线,则λ=()A.1 B.2C.3 D.42.如图,已知四边形ABCD是空间四边形,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,且CF=23CB,CG=求证:四边形EFGH是梯形.题型(二)向量共面的判定及应用题点1证明共面问题[例3]如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,M为DD1的中点,N∈AC,且AN∶NC=2∶1,求证:A1,B,N,M四点共面.听课记录:题点2向量共面定理的应用[例4]如图,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=13BD,AN=13AE,求证:MN∥平面听课记录:|思|维|建|模|向量共面的判定及应用(1)证明三个向量共面(或四点共面)时,可以通过以下几个条件进行证明.①MP=xMA+yMB;②对于空间任意一点O,OP=xOM+yOA+zOB(x+y+z=1).(2)若已知点P在平面ABC内,则有AP=xAB+yAC或OP=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1),然后利用指定向量表示出已知向量,用待定系数法求出参数.[针对训练]3.已知O为空间任意一点,A,B,C,P四点共面,但任意三点不共线.如果BP=mOA+OB+OC,则m的值为()A.2B.1C.1D.24.如图,已知斜三棱柱ABCA1B1C1,点M,N分别在AC1和BC上,且满足AM=kAC1,BN=kBC(0≤k≤1(1)向量MN是否与向量AB,AA1(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行?课下请完成课时检测(二)第2课时共线向量与共面向量◉课前预知教材1.a=λb2.方向向量λa3.(1)平行重合平行于(2)在平面α内(3)同一个平面4.p=xa+yb[基础落实训练]1.AC2.A◉课堂题点研究[题型(一)][例1]证明:如图,连接EF,FB,∵EF=A1FA1E=25A1C23A1D1=25(A1A+AB+BC)23A1D1=25(A1B1+A1D1+A1A∴EF=23FB,∴EF∥FB,又EF∩FB=F,∴E,F,B[例2]选B∵A,B,C三点共线,OA=2OB+μOC,∴2+μ=1,解得μ=1.又由λOA+mOB+nOC=0,得OA=mλOBnλOC,由A,B,C三点共线知,mλnλ=1,则λ+m+[针对训练]1.选C由AB=e1+e2+e3,BC=e1+λe2+e3,得AC=AB+BC=2e1+(1+λ)e2+2e3,因为A,C,D三点共线,所以AC∥CD,则存在唯一实数μ,使得AC=μCD,则2=4μ,2.证明:∵E,H分别是AB,AD的中点,∴AE=12AB,AH=∵EH=AHAE=12AD1=12(CDCB)==34(CGCF)=3∴EH∥FG,且|EH|=34|FG|≠|FG又F不在直线EH上,∴四边形EFGH是梯形.[题型(二)][例3]证明:如图,连接A1M,A1N,A1B,设AA1=a,AB=b,AD=c,则A1B=ba,∵M为∴A1M=c12a,又AN∶NC=2∶1,∴AN=23AC=23(b+c),∴A1N=ANAA1=23(b+=23A1B+23A1M,∴A1N,A1B,A1M为共面向量,又三向量有相同的起点[例4]证明:∵M在BD上,且BM=13BD∴MB=13DB=13同理得AN=13AD+∴MN=MB+BA+AN=13DA+13AB+BA+13AD+13DE=23BA+13DE=23CD+13DE∵MN不在平面CDE内,∴MN∥平面CDE.[针对训练]3.选A因为BP=OPOB,所以由BP=mOA+OB+OC得OPOB=mOA+OB+OC,即OP=mOA+2OB+OC,因为O为空间任意一点,A,B,C,P满足任意三点不共线,且四点共面,所以m+2+1=1,故m=2.4.解:(1)∵AM=kAC1,BN=k∴MN=MA+AB+BN=kC1A+AB+kBC=k(C1A+BC)+AB=k(C1A+B1