《高等数学 上册》课件 5.5定积分的应用

第五节：定积分的应用第五章：定积分讲解：数学教研室单位：公共课部课前导读一、什么问题可以用定积分解决?二、如何应用定积分解决问题?课前导读一、什么问题可以用定积分解决?二、如何应用定积分解决问题?比如不均匀物体的面积、质量、体积等得到一个定积分问题01微分元素法abxyo面积微元例曲边梯形求面积A

对任一小区间[x,x+dx]其上的窄曲边梯形的面积微元，则区间范围[a,b]微

分

元

素

法如何建立所求总量问题的定积分表达式(1)建立坐标系，根据总量U确定积分变量x,变化范围[a,b];(2)求出U相应于典型小区间[x,x+dx]的部分量

U,将

U近似地表示成[a,b]上的某个可积函数u(x)与小区间长度

x=dx的积，称u(x)dx为所求量U的微元,记作(3)计算所求量U，即这个方法通常叫做微分元素法．微

分

元

素

法注

在具体问题中，总量U包括：面积A、体积V、弧长S等abxyo02平面图形的面积yxabOxy=f(x)x+dxy=g(x)直

角

坐

标

系极

坐

标

系用微元法分析平面图形面积计算公式直

角

坐

标

系极

坐

标

系

aby

f(x)Oxy若平面图形由及直线x=a和x=b(b>a)围成。说明：积分变量为x图形特征：直

角

坐

标

系极

坐

标

系作辅助线判断：(1)在图形内垂直x轴画线，确定上下边界；(2)上下边界各自函数表达式要唯一。为积分变量(1)上边界y=f(x),下边界y=g(x)(2)左(右)边界（如果有）竖直：x=a，x=b例5-46

计算曲线y=x2与直线y=x+2所围成图形的面积.

解方程组得交点为(-1,1)和(2,4)（见图）解:直

角

坐

标

系极

坐

标

系例5-47直

角

坐

标

系极

坐

标

系练习(1)计算由抛物线与所围图形的面积.解方程组得交点为和如图取x为积分变量

解:直

角

坐

标

系极

坐

标

系P205习题5-5第1题直

角

坐

标

系极

坐

标

系练习32P205习题5-5第1题直

角

坐

标

系极

坐

标

系答案解方程组得交点为(1,e),(0,1)(1)解:或：直

角

坐

标

系极

坐

标

系答案(2)解：思考

求抛物线y2

=2x与直线y=x–4所围成的

平面图形的面积.

xAB-24yy=x-4y2

=2x(8,4)(2,-2)直

角

坐

标

系极

坐

标

系上、下边界是？直

角

坐

标

系极

坐

标

系

cdOxy若平面图形出现如下情况，该如何解决说明：右-左若平面图形由及直线y=c和y=d(d>c)围成。直

角

坐

标

系极

坐

标

系用微元法分析平面图形面积计算公式直

角

坐

标

系极

坐

标

系(1)左边界x=f(y),下边界y=g(x)(2)上(下)边界水平：y=c，y=d作辅助线判断：(1)在图形内垂直y轴画线，确定左右边界；(2)左右边界各自函数表达式要唯一。积分变量为y图形特征：为积分变量

求抛物线y2

=2x与直线y=x–4所围成的

平面图形的面积.

xAB-24yy=x-4y2

=2x(8,4)(2,-2)解方程组得交点为(2,-2)和(8,4)（见图）解:直

角

坐

标

系极

坐

标

系例5-48直

角

坐

标

系极

坐

标

系练习

(4)计算曲线y=lnx,y=ln2,y=ln4以及y轴所围成图形的面积.

解：两两相交得到四个交点为(0,ln2),(0,ln4),(2,ln2)和(4,ln4)。于是所围面积为：Y型，

边界函数为x=0和x=eyP205习题5-5第1题小结：计算两个或多个函数所围图形的面积:(2)定面积公式：求边界曲线交点坐标；

定积分变量，积分区间，被积函数；(1)画图，定积分类型，并写边界曲线函数

直

角

坐

标

系极

坐

标

系X积分类型上：y=f(x)下：y=g(x)Y积分类型右：x=f(y)左：x=g(y)上-下右-左(3)计算：求解定积分，即可得出面积结果.计算曲线y=x2与x=y2所围成的图形的面积.

解方程组得交点为(0,0)和(1,1)（见图）解:或：例5-49直

角

坐

标

系极

坐

标

系直

角

坐

标

系极

坐

标

系（3）若平面图形为一般形状：求面积时可先用若干条与x轴或y轴平行的直线（越少越好）将平面图形分成若干个（1）或（2）的情况，再利用可加性.

例5.求余弦曲线y=cosx在[0,2π]中与x轴围成的面积A解:=1-(-1-1)+(0+1)=4计算由直线y=x，及x+y=2所围成的平面图形的面积.三线两两相交的交点为(0,0),(1,1)和解:作直线x=1把平面图形分割成D1和D2两部分直

角

坐

标

系极

坐

标

系例5-51例5-52计算由曲线与直线所围成的平面图形的面积.根据所求平面图形的对称性解:直

角

坐

标

系极

坐

标

系证明椭圆

的面积为

.

设椭圆在第一象限内的面积为S1则椭圆的面积为证:直

角

坐

标

系极

坐

标

系例5-53极坐标系的概念直角坐标与极坐标的互相转换极点O极轴ON极径r极角

直

角

坐

标

系极

坐

标

系面积微元(极坐标方程)平面曲线所围曲边扇形面积A.射线直

角

坐

标

系极

坐

标

系例5-54解利用对称性：直

角

坐

标

系极

坐

标

系证明圆

的面积为

.

用极坐标:直

角

坐

标

系极

坐

标

系练习P205习题5-5第2题03平面曲线的弧长平面曲线弧长的概念}直

角

坐

标

系极

坐

标

系参数方程解:所求弧长为直

角

坐

标

系极

坐

标

系参数方程例5-56直

角

坐

标

系极

坐

标

系曲线弧为弧长其中在[a,b]上具有连续导数.计算曲线弧长.取参数t为积分变量,其变化区间为参数方程}直

角

坐

标

系极

坐

标

系参数方程例5-57曲线弧为弧长计算曲线弧长.在直角坐标下计算该曲线弧长：弧长元素为直

角

坐

标

系极

坐

标

系参数方程求心形线r=a(1+cosθ)(a>0)的全长(如图）.解:由公式

由对称性知直

角

坐

标

系极

坐

标

系参数方程例5-5804直角坐标系下旋转体的体积

旋转体就是由一个平面图形饶着平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台旋转体体积xyo旋转体的体积为旋转体体积解直线方程为例5-59旋转体体积旋转体体积小结一、平面图形的面积微元法二、旋转体体积三、曲线弧长重要知识点求平面图形的面积1、在直角坐标系下：由曲线y=f(x)(0),与直线x=a,x=b(a<b),及x轴所围3、在极坐标系下由曲线r=r(

)及两条半直线

=a，

=b(a<

b)恰当的选择积分变量

有助于简化积分运算面积A,所围面积A,2、在参数方程形式下：曲边由参数方程,则曲边梯形面积A,t1<t<t2作业习题5-51（8、9），3（2）解:

求阿基米德螺线r=a,a>0上相应于

从0到2的弧长.曲线弧长拓展例题..

计算由椭圆所围图形绕轴旋转而成的旋转体(见图6-11)的体积．解这个旋转体实际上就是半个椭圆

及图6-11