《高等数学 上册》课件 第6章 第一节 常微分方程的基本概念

讲解：数学教研室单位：公共课部第一节：常微分方程的基本概念第六章：常微分方程三、微分方程的解一、回顾不定积分二、微分方程的定义四、常微分方程的初值问题五、小结及练习目录CONTENTS01回顾不定积分TransitionPageTitle基本积分表非常重要，必须熟记！求不定积分

02常微分方程的定义TransitionPageTitle2.1定义

引例1.

如果一条曲线通过点(1,0)，且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率恰好与其横坐标相等，求这条曲线的方程．2.2微分方程的阶

该方程包含函数f(x)的一阶导2.1定义

引例2.列车在直线轨道上以20ms-1的速度行驶，制动时，列车获得的加速度为0.4ms-2

，求列车开始分析：此问题相当于求函数

s=s(t)，使其满足如下方程和条件

制动后行驶路程s(t)与时间t的关系.2.2微分方程的阶

该方程包含函数s(t)的二阶导2.1定义

2.2微分方程的阶

含有一元未知函数的导数

(或微分)的方程，（简称微分方程或方程）称为常微分方程。常微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为此方程的阶.微分方程阶引例1引例2常微分方程二阶微分方程例题1判断下列方程是否是微分方程，如果是，则说明其阶数。(2)(1)(4)(3)一阶微分方程二阶微分方程三阶微分方程三阶微分方程下列方程是一阶微分方程的是（）练习1B2.1定义

2.2线性常微分方程

线性微分方程

n阶常微分方程的一般式可以写作其中,是

的函数。如果方程关于未知函数

及其导数是一次的，则称n阶常微分方程为

n阶线性常微分方程，否则称为非线性方程。例题2判断下列常微分方程的阶数，以及是否是线性微分方程。二阶线性微分方程一阶非线性微分方程三阶非线性微分方程二阶线性微分方程03常微分方程的解TransitionPageTitle解满足微分方程的函数称为微分方程的解。引例2函数

s=-0.2t2二阶线性微分方程解，代入即可验证3.1解

3.2通解

3.3初始条件与特解

例题3判断下列右侧函数是否是左侧对应微分方程的解？是是否将函数代入微分方程，检查等式是否成立。思考：怎么求微分方程的解？注：微分方程具体求解方法在后面讲解练习2判断下列右侧给定函数是否是左侧微分方程的解。思考：同一微分程的解有什么特点？一个微分方程有很多解，解的形式相同，差异在于常数的取值。常数值可以给定，也可以不给定，即可以取任意值。通解通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解就为微分方程的通解。几阶微分方程，通解中就有几个任意常数C

例题4判断下列给定解哪些是通解。通解3.1解

3.2通解

3.3初始条件与特解

通解练习3判断下列给定解哪些是通解。3.1解

3.3初始条件与特解

特解当要求方程的解满足某些特定条件（初始条件）时，得到的解为特解。3.2通解

根据要求对微分方程附加一定的条件，如初始条件从而确定通解中的常数。称之为初始条件（初值条件）满足条件二阶微分方程通解的解为初始条件特解例题5求通解y

C2e2x

2(C1

C2x)e2x

由y|x

0

0y

|x

0

1

得解之得C1

0

C2

1故y

xe2x

y

(C1

C2x)e2x

解:满足所给初始条件

的特解.y|x

0

0

y

|x

0

1

列车在直线轨道上以20ms-1的速度行驶，制动时，列车获得的加速度为0.4ms-2

，求列车开始解：此问题相当于求微分方程满足初始条件的特解。

制动后行驶路程s(t)与时间t的关系.例题6（1）该微分方程的通解为：（2）由初始条件得（3）特解为练习4是微分方程的特解。验证的通解，并求此微分方程满足条件解：（1）（2）左边

（3）右边

（4）左边=右边，且任意常数个数等于方程的阶，所以是通解。

解得（5）由初始条件得（6