《高等数学 上册》课件 第三章：微分中值定理与导数的应用

第一节：微分中值定理第三章：微分中值定理与导数的应用讲解：大学数学教研室单位：公共课部目录CONTENTS一、罗尔中值定理三、柯西中值定理五、小结二、拉格朗日中值定理四、泰勒中值定理01罗尔中值定理费马引理可导函数的极值点一定是驻点极值点驻点1.1定理1.2几何意义罗尔中值定理在开区间(a,b)内可导,在区间端点处函数值相等f(a)=f(b).在闭区间[a,b]上连续,则在(a,b)内至少存在使得.一点

,如果函数

满足三个条件：1.3定理证明几何意义若一条连续光滑的曲线，端点的纵坐标相等，则曲线上至少有一点的切线是水平的。1.1定理1.2几何意义1.3定理证明

罗尔中值定理证明从而可取得最大值M和最小值m因f(x)在[a,b]上连续,不妨设M

f(a),由最值定理,

ξ

∈(a,b),mM最大值使f(ξ)=M1.1定理1.2几何意义1.3定理证明(1)若M>m,因f(a)=f(b).故在m,M中

必至少有一个不等于f(a)因此,

，有

,从而由费马引理可知罗尔中值定理证明(2)若m=M,因m

f(x)M.有f'

x

,常数mM即,Mf(x)M,所以f(x)=M.故

(a,b)有

f'

.几何解释:具有水平切线，在曲线弧AB上至少存在一点C1.1定理1.2几何意义1.3定理证明罗尔中值定理1.1定理1.2几何意义1.3定理证明注：三个条件缺一不可。0yBxA0yBxA0yBxA缺条件1缺条件2缺条件3在开区间(a,b)内可导,f(a)=f(b).在闭区间[a,b]上连续,则，存在

，使得例题1验证函数f(x)=lnsinx在区间

上满足罗尔中值定理

的条件，并求出相应的

，使得.解：显然，函数y=lnsinx在闭区间

上连续，

在开区间

内可导，且，满足罗尔中值定理条件.由方程解得.设函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3),不求导数，试判断

方程f

'(x)=0有几个实根,分别在何区间?

例题2解：因为f(1)=f(2)=f(3)=0，且f(x)在闭区间[1,2]上连续，

在开区间(1,2)内可导，由罗尔中值定理，

，使得.同理，

，使得

，

又因为f

'(x)=0是二次方程，至多两个实根，故f

'(x)=0有两个实根，分别位于(1,2)和(2,3)内.

02拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理注：1.结论亦可写成2.当f(b)-f(a)=0时，结论变为罗尔定理的结论。2.1定理2.2几何意义2.3定理证明在开区间(a,b)内可导在闭区间[a,b]上连续在(a,b)内至少存在一点

,使得

若函数

满足：几何意义注意:若罗尔定理条件中去掉f(a)=f(b)几何意义:在连续光滑的曲线弧AB上至少存在一点C在该点处的切线平行于弦AB.2.1定理2.2几何意义2.3定理证明例函数在区间[1,2]上是否满足拉格朗日中值定理的所有条件，若满足，求出定理中的数值.

解:2、在可导；故在区间

上满足拉格朗日中值定理的所有条件，从而有解得：1、在

内连续；例题3证明:显然，在[x1,x2]上连续，利用拉格朗日中值定理，得所以设f(x)=arctanx在(x1,x2)内可导，arctanx2-arctanx1arctanx2-arctanx1≤x2-x1x1<ξ<x2例题4证:由上式得f(x)在[0,x]上满足拉格朗日定理的条件，设f(x)=ln(1+x)∵f(0)=0,

又∵0<

ξ<x,1<

1+ξ<1+x∴f(x)-f(0)=

f′(ξ)(x-0),

(0<

ξ<x)

f(x)=f′(ξ)x

练习证明:原式可化为有显然φ(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理的条件，使得故可得所证.令φ(x)=lnf(x)

ξ

∈(a,b),成立，拉格朗日中值定理推论推论1如果函数f(x)在区间I上连续，I内可导且导数恒为零,那么f(x)在区间I上是一个常数.推论2其中C为常数.函数f(x)及g(x)在区间I上可导，若对任一x

∈I2.1定义2.2几何意义2.3定理证明有f′(x)=g′(x)，则f(x)=g(x)+C，对任意x∈I成立，例题5证:设f(x)=arcsinx+arccosx,x∈[-1,1]∴arcsinx+arccosxx∈[-1,1]又∵f(-1)=arcsin(-1)+arccos(-1)

f(1)=arcsin(1)+arccos(1)又∵f(0)=arcsin(0)+arccos(0)03柯西中值定理柯西中值定理若f(x),g(x)都在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,

且g'(x)0.则至少存在一点使得

(a,b),注：当

时，结论变为拉格朗日中值定理的结论。04泰勒中值定理泰勒中值定理1公式(1)称为f(x)在

处展开的n阶带有拉格朗日余项的泰勒公式.公式(2)称为n

阶泰勒公式的拉格朗日余项.若函数f(x)在

的某个邻域

内具有(n+1)阶导数，则对任一x，有f(x)其中这里，

是

与x之间的某个值.注意到泰勒中值定理2公式(1)称为f(x)在

处展开的n阶带有佩亚诺余项的泰勒公式.公式(3)称为n阶泰勒公式的佩亚诺（Peano）余项.若函数f(x)在

处具有n阶导数，那么存在

的一个邻域

，对于该邻域内的任一x，有f(x)其中在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为f(x)称为n阶泰勒多项式.Pn(x)解：例6写出函数

在

x=1处带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式.于是其中ξ

在１与

之间.

在x0与x之间f(x)，则有误差估计式若在公式成立的区间上有|f(n+1)(x)|<Mf(x)称为n

阶带有拉格朗日余项的麦克劳林（Maclaurin）公式.则有由此得近似公式f(x)=在泰勒公式中若取称为n

阶带有拉格朗日余项的麦克劳林（Maclaurin）公式.则有f(x)=在泰勒公式中若取称为n

阶带有佩亚诺余项的麦克劳林（Maclaurin）公式.f(x)=例题7其中解:(0<θ<1)f(k)(x)=,f(k)(0)=1,(k=1,2,3…)f(x)=求函数f(x)=的n阶麦克劳林公式例题8其中解:求函数f(x)=sinx的n阶麦克劳林公式f(x)=利用泰勒公式求下列极限：解：例题9令当x→∞时，t→0,解:利用泰勒公式求下列极限：练习05小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式3.泰勒中值定理(1)各种公式(2)在近似计算中的应用小结作

业

习题3-11、3、8、11(1)

感谢

倾听

微分中值定理拓展练习求f(x)=ln(1+x)

的n阶麦克劳林展开式.

（解:又

f(0)=0,其中在0与x之间.∴ln(1+x)f(x)=第二节：洛必达法则第三章：微分中值定理与导数的应用讲解：大学数学教研室单位：公共课部三、其他不定式目录CONTENTS四、小结

01

1.2推论1.1定理

设f(x),g(x)满足：(1)(3)存在(或为);(2)在

可导，且1.3计算则

与f(x0),g(x0)无关

（step1）不妨设

f(x0)=g(x0)=0,

则

f和

g在

x0连续（step2）任给x

U(x0),则在[x0,x]（或[x,x0]上）

柯西中值定理的条件均满足，则有条件(3)（step3）当x→x0时，ξ

→x0(ξ可看做x的函数，且在x与x0之间)step(2)1.2推论1.1定理1.3计算例1解:

求例2解：

求法2：等价无穷小替换推论1

f(x),g(x)满足：存在常数X>0,

当|x|>X时，f(x),g(x)可导，(3)存在(或为)，(1)(2)且g′(x)≠0,则

1.2推论1.1定理1.3计算

例题3解:

练习

答案

解(1):

解(2):

答案解：

注意

若

还是型，若

也

满足洛必达法则的条件，则可以再次使用洛必达法则.即：1.2推论1.1定理1.3计算例4解:

洛必达法则洛必达法则例5解:

例6解：

练习解：

在多次使用洛必达法则时，一定要注意验证是否满足条件．注:可使用洛必达法则代替因式分解02

2.2证明2.1定理

在x0的某个去心邻域内可导，且g′(x)≠0存在(或为)，(3)(2)(1)则

设f(x),g(x)满足：注：当自变量的变化趋势为其他时，定理仍成立。2.2推论2.1定理

存在(或为)，(2)且g′(x)≠0,则

f(x),g(x)满足：存在常数X>0,

当|x|>X时，f(x),g(x)可导，(1)(3)例7

解：法2：抓大头法例8

解：分离非零项练习

练习解:思考：这里能否使用等价无穷小替换？在使用等价无穷小替换时，一定要注意极限过程是否满足要求。练习解:不能使用等价无穷小替换不能使用等价无穷小替换分离非零项练习例9解:

例10求解：逐次应用洛必达法则直到第n次，有

故

结论练习解:例11注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好，需要灵活使用。解：等价无穷小替换时，不需替换的因子保持不变。例12

解：

洛必达法则能化简先化简练习

答案

解:

能化简先化简

答案

解:答案例13求解：求导后极限不存在，洛必达法则失效无穷小*有界量用洛必达法则求出极限不存在时，不代表原极限不存在，需更换方法计算重新计算练习求解：求导后极限不存在，洛必达法则失效等价无穷小重新计算练习答案：B练习解:

求导后极限不存在，洛必达法则失效03其他类型不定式洛必达法则是用来求未定式极限的其他类型关键:将其它类型的未定式转化为或类型，再应用洛必达法则.步骤:变成1除以倒数1.0•∞型例如.

解:例题14求解:练习

解（1）:例如.步骤:都换为倒数形式，然后通分2、∞－∞型解:例题15解:练习求解:练习

解:练习解：

步骤:3、00,1∞,∞0型例16求设

y=xsinx,则lny=sinxlnx解:由

y=elny,有所以例17求解：

等价无穷小替换法2：第二重要极限而所以例18求解:

设则而故

注意与第二重要极限区分开来练习解:练习求

两次使用洛必达法则解：练习

练习解:练习拓展练习解:04小结04洛必达法则令取对数2.用洛必达法则时一定要检验条件，特别是条件1.3.用洛必达法则时结合等价无穷小的替换可以简化计算。4.若

注:1.用洛必达法则时，若求导之后仍为则可继续用洛必达法则。作

业

习题3-22(1)(3)(5)(7)(9)(11)(12)(15)(16)(18)(22)、4、5

感谢

倾听

洛必达法则习题

注意：等价无穷小替换时，不需替换的因子要保持不变。第三节：函数的单调性与极值第三章：微分中值定理与导数的应用讲解：大学数学教研室单位：公共课部一、函数单调性的判别三、小结二、函数的极值目录CONTENTS01武汉市气象局监测得2021年12月1日的气温变化如图所示，请根据图像描述这一段时间内武汉市的气温变化情况01函数单调性的判别1.函数单调性的判别锐角单调上升单调下降切线的斜率>0切线的斜率<0tanα>0tanα<0f′(x)>0f′(x)<0钝角2.单调区间求法1.单调性的判别法3.利用单调性证明不等式(1)若在(a,b)内

，定理1设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导.

判断区间单调性

判断区间内导数正负号(2)若在(a,b)内

，

注：若在(a,b)内只有个别点使得f′(x)=0，

则仍为严格单调2.单调区间求法1.单调性的判别法3.利用单调性证明不等式解：例题12.单调区间求法1.单调性的判别法3.利用单调性证明不等式解：例题2x=0就是单调性的分界点，该点也是导数为0的点。2.单调区间求法1.单调性的判别法3.利用单调性证明不等式例题3解：x=0就是单调性的分界点，该点是不可导点。2.单调区间求法1.单调性的判别法3.利用单调性证明不等式分界点求法X0y1分界点界点导数等于零的点不可导点分界点可能是不可导点；如果可导，则导数为0。2.单调区间求法1.单调性的判别法3.利用单调性证明不等式单调区间求法确定函数单调区间的步骤：(1)确定函数定义域；

2.单调区间求法1.单调性的判别法3.利用单调性证明不等式确定函数

的单调区间.

（2）解：令得：（3）列表：单调增区间为,单调减区间为.例题4x-2(-2,2)22.单调区间求法1.单调性的判别法3.利用单调性证明不等式确定函数的单调区间.

（2）解：令得：（3）列表：单调增区间为

，单调减区间为.练习x-1(-1,1)12.单调区间求法1.单调性的判别法3.利用单调性证明不等式确定函数的单调区间.练习x(−∞,-1)-1(-1,1)1(𝟏,+∞)

（2）解：（3）列表：0分界点分界点单调增区间为

，单调减区间为

.2.单调区间求法1.单调性的判别法3.利用单调性证明不等式确定函数

的单调区间.

（2）解：为不可导点（3）列表：𝒙(−∞,𝟎)0(𝟎,+∞)单调增区间为单调减区间为.例题52.单调区间求法1.单调性的判别法3.利用单调性证明不等式分界点求法X0y1分界点界点导数等于零的点不可导点不可导点和驻点一定是单调性的分界点吗？确定函数的单调性.

（2）解：（3）列表：𝒙(−∞,𝟎)(𝟎,+∞)单调增区间为所以该函数为单调增加的.令得：例求出导数为0的点只是可疑分界点2.单调区间求法1.单调性的判别法3.利用单调性证明不等式驻点和不可导点只是可疑分界点例（2）解：为不可导点𝒙(−∞,𝟎)(𝟎,+∞)

（3）列表：2.单调区间求法1.单调性的判别法3.利用单调性证明不等式解：例题62.单调区间求法1.单调性的判别法3.利用单调性证明不等式证:则f(x)在区间[0,+∞)上连续.令f(x)=ln(1+x)-x可知，f(x)在[0,+∞)严格单调减少，证明不等式ln(1+x)<x，x>0从而有ln(1+x)<x，x>0∵f(0)=ln(1+0)-0=0∴f(x)<f(0)=0即ln(1+x)-x<0例题72.单调区间求法1.单调性的判别法3.利用单调性证明不等式证:则f(x)在区间[0,+∞)上连续.令可知，f(x)在[0,+∞)严格单调增加，证明不等式

，x>0从而有

，x>0∵f(0)=1-(1+0)=0∴f(x)>f(0)=0练习02函数的极值1函数的极值函数的极值定义设函数y=f(x)在x0的一个邻域内有定义，若对该邻域内任意一点x≠x0(1)f(x0)>f(x)，则称f(x0)

为函数f(x)

的极大值，x0

称为

f(x)的极大值点；(2)f(x0)<f(x)，则称

f(x0)

为函数f(x)的极小值，x0

称为

f(x)的极小值点；极大值点、极小值点统称为

f(x)的极值点.,有2.第一充分条件1.函数的极值3.第二充分条件注：极值是一个局部概念，邻域内的最大或最小（不唯一）.为极小值.为极大值.如何找极值可疑点？与单调性分界点的关系？1.函数的极值

定理1（必要条件）除了驻点，还要考虑哪些点？（不可导点）2.第一充分条件3.第二充分条件1.函数的极值(驻点不是极值点情形)(驻点是极值点情形)注意:驻点和导数不存在的点都有可能是极值点，统称为极值嫌疑点.注意:极值点附近单调性会发生改变.2.第一充分条件3.第二充分条件1.函数的极值(1)若定理2（第一充分条件）

(2)若

2.第一充分条件3.第二充分条件左正右负极大值左负右正极小值1.函数的极值(1)确定函数定义域；(2)找极值嫌疑点：导数为零的点和导数不存在的点；(3)讨论嫌疑点左右两边导数符号，从而确定极大（小）.(4)求极值点函数值.确定极值步骤：2.第一充分条件3.第二充分条件

1.函数的极值x-1(-1,3)3确定函数

的极值.

（2）解：令得驻点：（3）列表：

例题82.第一充分条件3.第二充分条件练习求出函数

的极值解:极大值极小值得驻点

x1=-1,x2=3，列表讨论D:(－∞,+∞)极大值为：f(-1)=17，极小值为：f(3)=-47图形如下

1.函数的极值x-1(-1,1)1确定函数

的极值.

（2）解：令得：（3）列表：

练习2.第一充分条件3.第二充分条件1.函数的极值为导数为0的点为导数不存在的点x(−∞,0)0(0,1)1(𝟏,+∞)确定函数

的极值.

（2）解：（3）列表：

不可导极大值极小值例题92.第一充分条件3.第二充分条件1.函数的极值x(−∞,−𝟏)-11(𝟏,+∞)确定函数

的极值.

（2）解：令得：（3）列表：

练习2.第一充分条件3.第二充分条件x(−∞,-1)-1(-1,1/2)1/2(1/2,5)5(5,+∞)确定函数

的极值.

（2）解：令得：（3）列表：练习还有不可导点极大值极小值1.函数的极值

则：判断极大极小（第二充分条件）

2.第一充分条件3.第二充分条件例题10解:x=1是极小值点x=-1是极大值点极大值为：f(-1)=2，极小值为：f(1)=-2用第二充分条件判断函数

的极值驻点且满足第二充分条件时用二阶导判断更方便（2）用第二充分条件判断这两个驻点是否是极值点。

令

可得极值嫌疑点：驻点x=-1和驻点x=1。（1）

练习解:x=3是极小值点x=-1是极大值点极大值为：f(-1)=17，极小值为：f(3)=-47用第二充分条件判断函数

的极值驻点且满足第二充分条件时用二阶导判断更方便（2）用第二充分条件判断这两个驻点是否是极值点。

令

可得极值嫌疑点：驻点x=-1和驻点x=3。（1）

练习当a为何值时，函数

在

处取得极值？它是极大值还是极小值？f(x)为可导函数，故在得

a=2.

所以是极大值点，处取得极值，必有而即即

f′(x)=2cosx+cos3x极大值为解：用第一充分条件需判断驻点左右两侧导数正负号，不方便函数的极值1、当时，定理失效.（此时是否是极值？如何判断？）比如：所有极值嫌疑点都可以用二阶导判断极大极小吗？2、当嫌疑点是不可导点时，不能使用.确定函数极值的方法汇总：（4）找出极值点求出极值函数的极值确定函数

的极值.

（2）解：（3）

例题11x(−∞,−𝟏)-11(𝟏,+∞)函数的极值（4）

x(−∞,-1)-1(-1,1)1(𝟏,+∞)0无法判断极值建议：当有的点需要用第一充分条件时，所有点都采用第一充分条件判断03小结小结(1)、确定定义域。(2)、找可疑分界点：f′(x)=0的点或f′(x)不存在的点。(3)、分区间并根据f′(x)符号判别函数y=f(x)的单调性函数单调性定义以及单调性的判断单调性的判断步骤——“三步走”(1)确定函数定义域；(2)找极值嫌疑点：导数为零的点和导数不存在的点；(3)讨论嫌疑点左右两边导数符号，从而确定极大（小）.(4)求极值点函数值.确定极值步骤：确定函数极值点和极值的步骤：（4）找出极值点求出极值作

业

习题3-33(1)(6)、4、7(2)(5)(7)

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函数的单调性与极值函数的最值及其应用第三章：微分中值定理与导数的应用讲解：大学数学教研室单位：公共课部1函数的最值与求解1.函数的最值2.实际应用最值的定义

最值最值点结论2：不用判断极大和极小，只需比较所有嫌疑点函数值大小。1、极值不一定是最值；2（a）最值不一定是极值（当最值在端点取得时）；2（b）最值在区间内部

取得时是极值；1.函数的最值2.实际应用闭区间上连续函数最值与极值的关系结论1：最值嫌疑点（端点、驻点、不可导点）1.函数的最值2.实际应用函数最值求法

1.函数的最值2.实际应用

(2)上述点加上端点一起，比函数值大小，得最小值与最大值

1.函数的最值2.实际应用为导数为0的点，为导数不存在的点

（1）解：（2）

例题1练习解:计算故在[-1,4]上，解方程

f′(x)=0，得x1=0,x2=1fmax=f(4)=80fmin=f(-1)=-5,∵f′(x)=6x(x-1)

练习解：在(－2,7)上得唯一驻点令y′=0，故函数f(x)在[－2，7]上的最小值为最大值为还有不可导点1.函数的最值2.实际应用特殊情况一：（没有极值和不可导点）

1.函数的最值2.实际应用特殊情况二：（唯一极值点情形）此时对极值嫌疑点

(1)需要判断极大和极小，(2)当极值点唯一时，就是相应最值。否则无法判断最值。

练习

问函数

(x

0)在何处取得最大值？

解:

函数在(0

)内的驻点为x

1

因为，当0<x<1时

y

>0

所以，函数在x

1处取得极大值。

又因为函数在(0

)内只有一个驻点，即唯一极值点

所以此极大值也是函数的最大值

即函数在x

1处取得最大值

当x>1时y

<0

3函数最值的应用1.函数的最值2.实际应用

经济问题中，经常有这样的问题，怎样才能使“产品最多”、“用料最少”、“成本最低”、“效益最高”等等．这样的问题在数学中有时可归结为求某一函数（称为目标函数）的最大值或最小值问题．实际应用1.函数的最值2.实际应用最值问题的实际应用根据问题的实际意义，建立目标函数根据实际意义，确定函数的定义区间求目标函数在定义区间上的最大值或最小值1.函数的最值2.实际应用铁路线上AB段的距离为100km.工厂C距A处为20km,AC垂直于AB.(见下图)为了运输需要，要在AB上选定一点D向工厂修筑一条公路.已知铁路上每千米货运的运费与公路上每千米货运的运费之比为3：5，为使货物从供应站B运到工厂C的运费最省，问D点应选在何处？例题2

解：设铁路运费为3t/km，公路运费5t/km，其中t为任意常数即求最小值.则D点应选在距离A点15km处的地方.

要制造一个容积为

的带盖圆柱形桶，问桶的半径

和桶高

应如何确定，才能使所用材料最省？例题3解:要使得材料最省，就是要使圆桶表面积

最小.由

得

，故建立目标函数：，令

，得唯一驻点.根据问题的实际意义，该唯一驻点也就是所求的最小值点.从而当

，

时，圆桶表面积最小，则用料最省.1.函数的最值2.实际应用解：

某厂每批生产A商品x台的费用为C(x)=5x+200(万元)，得到的收入为R(x)=10x-0.01x2(万元)，问每批生产多少台，才能使利润最大？驻点只有一个，为极大值，则最值一定存在，故生产250台时，利润最大.练习练习某车间靠墙壁要盖一间面积为64m2长方形小屋

现有存砖只够砌24m长的墙壁

问这些存砖是否足够围成小屋？

解:设宽为x长为y

则2x

y

24

y

24

2x

于是面积为S

xy

x(24

2x)24x

2x2

S

24

4x

4(6

x)

S

4

令S

0

得唯一驻点x

6

因为S

(6)=

4

0

所以x

6为极大值点

从而也是最大值点

当宽为6米

长为12米时这间小屋面积最大

足够围成64m2的小屋.yx1.函数的最值2.实际应用

某房产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月1800元时，公寓可全部租出去.当租金每月增加100元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费200元的维护费.试问房租定为多少可以获得最大收入？练习

设房租定为x元，则解：

则是求最大值则房租定为3500元时，可以获得最大收入.

03小结小结函数的最值

作

业

习题3-41(2)(3)、3、5

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函数的最值及其应用拓展练习某铁路的隧道的截面拟建成矩形加半圆(如图)截面的面积为5m2

问底宽x为多少时才能使截面的周长最小

从而使建造时所用的材料最省？解:设矩形高为h

截面的周长S

则于是

令S

0

得唯一驻点因为所以为极小值点

因此底宽为时所用的材料最省

同时也是最小值点

第五节：曲线的凹凸性与拐点第三章：微分中值定理与导数的应用讲解：大学数学教研室单位：公共课部目录CONTENTS一、曲线的凹凸性二、曲线的拐点及其求法三、小结01曲线的凹凸性2.曲线的拐点1.曲线的凹凸性1、下面两个函数的单调性是否相同？问题2、两函数增加的快慢程度是否相同？先平缓（缓慢增加）后陡峭（快速增加）先陡峭（快速增加）后平缓（缓慢增加）凹函数凸函数凹、凸也代表了弯曲方向的不同2.曲线的拐点1.曲线的凹凸性凹凸图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方2.曲线的拐点1.曲线的凹凸性设f(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点x1,x2.那么称f(x)那么称f(x)(1)如果恒有(2)如果恒有在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧)定义1曲线的凹凸性2.曲线的拐点1.曲线的凹凸性凹凸性的判定2.曲线的拐点1.曲线的凹凸性凹凸性的判定用定义判断凹凸性比较麻烦，有没有更简便的方法？2.曲线的拐点1.曲线的凹凸性定理1

凹凸性的判定正凹负凸2.曲线的拐点1.曲线的凹凸性

解：显然y=lnx的二阶导数在区间(0,+∞)内处处为负（3）那么曲线y=lnx在区间(0,+∞)内是凸的.（2）因为例题12.曲线的拐点1.曲线的凹凸性求函数的凹凸区间。

（2）解：令得：（3）列表：𝒙(−∞,𝟎)(𝟎,+∞)(𝟎,+∞)凹区间为，凸区间为注意到,点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点。例题202曲线的拐点及其求法2.曲线的拐点1.曲线的凹凸性曲线的拐点注意:拐点是曲线上的点(x0,y0).曲线拐点只可能是使f''(x)=0或f''(x)不存在.定义如果连续曲线y=f(x)上的点(x0,y0)的一侧是凹的，而另一侧是凸的，那么称点(x0,y0)是曲线y=f(x)的拐点.曲线凹凸区间的分界点称为函数的拐点.2.曲线的拐点1.曲线的凹凸性(1)确定函数定义域；(2)求二阶导数为零的点和二阶导数不存在的点；(3)利用（2）中求出的点将定义域分为几个子区间，并逐一判断子区间上二阶导数的正负性，从而确定凹凸区间.确定函数凹凸区间的步骤：𝒙(−∞,𝟎)𝟎(𝟎,+∞)2.曲线的拐点1.曲线的凹凸性解：例题3x(−∞,0)02.曲线的拐点1.曲线的凹凸性解:例题42.曲线的拐点1.曲线的凹凸性𝒙(−∞,2)2(2,+∞)2.曲线的拐点1.曲线的凹凸性解：例题52.曲线的拐点1.曲线的凹凸性比较：求函数的单调区间vs求函数的凹凸区间一阶导数的正负二阶导数的正负

求下列函数的凹凸区间及拐点.凹区间为凸区间为2.曲线的拐点1.曲线的凹凸性凹区间为凸区间为拐点为练习2.曲线的拐点1.曲线的凹凸性判断曲线

的凹凸性，是否存在拐点？

解：显然只有当x=0时，

，当

时

故(0,0)不是拐点.（2）因为例题6曲线在

上是凹的，没有拐点.曲线拐点的求法2设函数f(x)在x0的领域内三阶可导，

f″(x0)=0，那么(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的拐点.而f‴(x0)≠0，例.求曲线y=sinx+cosx

([0,2π]内)的拐点解:∴在[0,2π]内曲线有拐点注意:若f″(x0)不存在，点(x0,f(x0))也可能是连续曲线y=f(x)的拐点.如图：2.曲线的拐点1.曲线的凹凸性确定函数

的极值和拐点.

（2）解：（3）列表：

练习2.曲线的拐点1.曲线的凹凸性判断下列函数的极值与拐点.极大值极小值

练习小结1、曲线的弯曲方向——凹凸性;3、改变弯曲方向的点——拐点;2、凹凸性的判定.拐点的求法f″(x)>0，x∈If″(x)<0，x∈I曲线y=f(x)在I上向上凹曲线y=f(x)在I上向上凸小结最大值最小值极大值极小值拐点凹的凸的单增单减单减单增极小值非极值作

业

习题3-51(1)、2(1)(2)、5

感谢

倾听

曲线的凹凸性拐点第六节：曲线的渐近线、函数图形的描绘第三章：微分中值定理与导数的应用讲解：大学数学教研室单位：公共课部目录CONTENTS一、渐近线二、函数图形的描绘三、小结01渐近线渐近线1.2渐近线的定义1.2确定方法曲线C上的动点M(x,y)沿着曲线离坐标原点直线l为曲线C的渐近(直)线.无限远移时，若它与直线l的距离趋向于零，则称渐近线反映了曲线无限延伸时的走向和趋势.渐近线1.2渐近线的定义1.2确定方法注意：上面(1)中的极限过程，可改成相应的单侧极限过程.

则称直线x=x0

为曲线y=f(x)的铅直渐近线(1)若例如求y=lnx的渐近线yxOy=lnxx=0因为所以直线x=0+

即y轴为y=lnx曲线的铅直渐近线.解：渐近线1.2渐近线的定义1.2确定方法注意：上面(2)中的极限过程，可改成相应的单侧极限过程.

则称直线y=A为曲线y=f(x)的水平渐近线(2)若例如求

y=arctanx

的渐近线所以直线因为都是该曲线的水平渐近线.练习解：因为所以直线y=0是曲线的水平渐近线.yxOy=0求的渐近线渐近线1.2渐近线的定义1.2确定方法注意：上面(3)中的极限过程，可改成相应的单侧极限过程.

但(3)中的前后两个极限过程必须一致.(3)若则称直线

y=ax+b为曲线y=f(x)的斜渐近线例题1解:∴x=1是曲线的铅直渐近线∴y=2x+4是曲线的一条斜渐近线求的渐近线例题1求的渐近线练习双曲线有而故该双曲线有一对斜渐近线解：求的渐近线02函数图形的描绘描绘函数的图形，其一般步骤是：(1)确定函数的定义域，并讨论其奇偶性、对称性和周期性；(2)讨论函数的单调性，极值点和极值；(3)讨论函数图形的凹凸区间和拐点；(4)讨论函数图形的水平渐近线和垂直渐近线；(5)根据需要补充函数图形上若干点(如与坐标轴的交点等等)；(6)连点

描图.函数图形的描绘例题2描绘

f(x)=2xe-x

的图形.解:

(1)定义域为(-∞,+∞),且f(x)

∈C(-∞,+∞),(2)

f′(x)=2e-x(1-x),把定义域分为3个区间(－∞,1),(1,2),(2,+∞)(3)列表由f′(x)=0，得x=1,由f″(x)=0,得x=2,f″(x)=2e-x

(x-2)例题2(4)故曲线y=f(x)有水平渐近线y=0(5)补充点(0,0)并连点绘图，描绘f(x)=2xe-x

的图形.例题3解:偶函数,图形关于y轴对称.例题3列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:拐点极大值拐点03总结则称直线x=x0

为曲线y=f(x)的铅直渐近线则称直线y=A为曲线y=f(x)的水平渐近线(3)若则称直线y=ax+b为曲线y=f(x)的斜渐近线(1)若(2)若

曲线的渐近线函数图形的描绘极大值极小值拐点凹的凸的单增单减单减单增极小值

曲线的渐近线函数图形的描绘作

业

习题3-63(1)(2)

感谢

倾听

曲线的渐近线函数图形的描绘练习描绘的图形.解:

(1)定义域为为间断点，f(x)为奇函数,故关于原点对称.(2)故f(x)在定义域内无驻点；令f″(x)=0得x=0此时,f(0)=0,所以,(0,0)为拐点嫌疑点.(3)列表练习(4)故有铅直渐近线又故有水平渐近线y=0.(5)取辅助点

描绘出函数在[0,+∞)上的图形，再利用对称性便得(-∞,0)内的图形，描绘的图形.练习描绘的图形.解(2)由得驻点x=4,及f′(x)不存在的点无零点,f″(x)不存在的点为(3)列表，

(1)定义域为(-∞,+∞),且f(x)∈C(-∞,+∞),x=0,x=6x=0,x=6练习即f(x)有铅直切线.(5)作图形，(4)故f(x)有斜渐近线y=-x+2ab此外当x→0时，f′(x)→∞,x→6时，f′(x)→∞,练习作函数的图形解:非奇非偶函数,且无对称性.令f′(x)=0，得驻点x=-2,令f″(x)=0,得特殊点x=-3,D:x≠0,得水平