河北省保定市四校2025-2026学年高二上学期10月期中考试数学试题（含答案）

唐县一中2025-2026学年度高二数学10月期中试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1．已知直线：，：()，若，则a的值为()

l1ax+y+6=0l23x+a—2y+2a=0l1//l2

A．B．3C．D．3或

—1—1

2.双曲线2x2-y2=1的渐近线方程是()

A.yxB.y=±2xC.yxD.yx

3．已知，，若直线()与线段有公共点，则的取值范围是()

A．[A]2,0B0,2B．[y=)kx+2ABC．kD．()

—1,11,+∞0,1—∞,—1U1,+∞

4.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则

椭圆的离心率是e=()

A.·、-·、B.、-1C.-1D.、-、

5.已知双曲线C：a>0,b>0)的左顶点为A，右焦点为F，焦距为6，点M在双曲线C上，且

MF丄AF，MF=2AF，则双曲线C的实轴长为()

A.2B.4C.6D.8

6.已知圆C:x2+y2-4x+3=0，直线l:2mx+2y-1-3m=0.若直线l与圆C相交于A,B两点，则弦AB长

度的最小值为()

A.1B.C.D.2

7.在ABC中，已知B(-1,1)，边BC的中线AD所在的直线方程为：3x+y-6=0，边BC的高线AH所在

△

的直线方程为：3x-y=0，则直线AC的方程为()

A.x-3y+4=0B.x-y+2=0C.x+3y-2=0D.x+y-4=0

已知圆22以圆上任意一点为圆心为半径的圆与圆：22交于

8.O:x+y=2，OE，·、C(x+2)+(y+1)=5A，

B两点，则当上ACB最大时，VABC的面积为()

A.2B.C.2·、D.·、

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是()

过(x)(x)两点的直线方程为

A.1,y1,2,y2

y2-y1x2-x1

B.经过点(1,2)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-3=0

圆22与圆22恰有3条公切线

C.C1:x+y+2x=0C2:x+y-4x-8y+4=0

点在圆22上，点在圆22上，则的最小值为

D.PC1:x+y=1QC2:x+y-6x+8y+24=0|PQ|3

10．已知圆，则()

22

A．点在C:X圆+内y—4X—2y+1=B0．若点在圆上，则的最大值为

C．若圆0,2上恰有C三个点到直线的P距X离,y为1，C则实数Xm—的y值为22+1

D．若点CP在直线X+上y，+点m=在0圆上，，则的±最小2值—为3

X+y+2=0QCA0,2PA+PQ35—2

11.已知椭圆C，F1，F2分别为它的左右焦点，点A，B分别为它的左右顶点，已知定点Q(4,2)，

点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有()

o

A.直线PA与直线PB斜率乘积为定值B.存在点P，使得上F1PF2=120

有最小值的范围为

CD.PQ+PF12·、,12

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设向量=(x+·、,y),=(y,x-·、)(x,y∈R)，满足||+||=4.求动点M(x,y)的轨迹C的方

程.

13.设椭圆C：a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为P是C上一点，且F1P⊥F2P.

若△PF1F2的面积为4，则a=_______．

14.已知点M(a,b)在直线4x-3y+c=0上，若(a-1)2+(b-1)2的最小值为4，则c=_______．

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.（13分）已知顶点A(3,0)、B(-1,-3)、C(1,1)．

（1）求直线BC的△方A程BC及其在y轴上的截距；

（2）求边BC的垂直平分线l的方程

（3）求的面积．

△ABC

16.（15分）已知椭圆C与双曲线x有相同的焦点，且椭圆C经过点

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线l与椭圆C相交于A,B，且AB的中点为(-1,1)，求直线l的方程.

17．（15分）已知：圆C的圆心在第一象限，与x轴相切，与y轴交于A，B两点，且上ACB=120O，|OC|=·、，

点P(0,-2)在斜率为k的直线l上．

(1)若直线l与圆C交于M，N两点，且MN求直线l的方程；

(2)若存在圆心在直线l上，半径为1的圆D与圆C外切，求k的取值范围．

18.（17分）已知椭圆E的两个焦点为F1(-1,0)和F2(1,0)，点Q为椭圆E的上顶点，△QF1F2为等腰直角三角

形．（1）求椭圆E的标准方程；

（2）已知点P为椭圆E上一动点，求点P到直线l:3x+4y-12=0距离的最值；

（3）分别过F1，F2作平行直线m,n，若直线m与曲线E交于A,B两点，直线n与曲线E交于C,D两点，其

中点A,D在x轴上方，求四边形AF1F2D的面积的取值范围．

19．（17分）已知椭圆C,F1,F2分别为左右焦点，短轴长为2，点M为椭圆C在第一象限的

动点，△MF1F2的周长为4+23.

(1)求C的标准方程；

(2)若<F1MF2=60。，求点M的坐标；

(3)若A(—3,0)，直线l:x=ty+1(t>0)交椭圆C于E，F两点，且△AEF的面积为，求t的值.

2025年高二10月期中考数学试题答案

题号12345678910

答案CDCBABDDCDBCD

题号11

答案ACD

y2=113.414.-11或9

15.已知VABC顶点A(3,0)、B(-1,-3)、C(1,1)．

（1）求直线BC的方程及其在y轴上的截距；

（2）求边BC的垂直平分线l的方程

（3）求VABC的面积．

【答案】（1）2x-y-1=0；-1；（2）x+2y+2=0；（3）5.

【小问1详解】

因为B(-1,-3)、C(1,1)，

所以直线BC的斜率为k

所以直线BC的方程为y-1=2(x-1)，即2x-y-1=0，

令x=0，得y=-1，即直线BC的方程在y轴上的截距为-1；

【小问2详解】

由题可知BC的中点为(0,-1)，直线BC的斜率为k=2，

线段BC的垂直平分线l的斜率为，

所以线段BC的垂直平分线l的方程为yx，即x+2y+2=0；

【小问3详解】

因为直线BC的方程为2x-y-1=0，又A(3,0)，

所以A到BC的距离为d

又BC

所以VABC的面积为BC

y2(53)

16.已知椭圆C与双曲线x2-=1有相同的焦点，且椭圆C经过点-,.

3|(22,

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线l与椭圆C相交于A,B，且AB的中点为(-1,1)，求直线l的方程.

【答案】（1）

（2）3x-5y+8=0

【小问1详解】

由题意可设椭圆方程a>b>0)，焦距为2c，

易知双曲线x2-=1焦点坐标为(±2,0)，则椭圆C的焦点坐标为(±2,0)，即c=2，

又椭圆C经过点

根据椭圆的定义可知

所以a=·,

所以b2=a2-c2=6，

所以椭圆C的标准方程为+=1；

【小问2详解】

易知点(-1,1)在椭圆内部，设，则

12

Ax,y1,Bx,y2

,作差得

则

所以，则直线l的斜率为，

由点斜式可知直线l的方程为y

所以直线l的方程为：3x—5y+8=0.

17．（17分）已知：圆C的圆心在第一象限，与x轴相切，与y轴交于A，B两点，且

上ACB=120。，|OC，点P(0,—2)在斜率为k的直线l上．

(1)若直线l与圆C交于M，N两点，且MN，求直线l的方程；

(2)若存在圆心在直线l上，半径为1的圆D与圆C外切，求k的取值范围．

【答案】(1)y=2x—2或y=38x—2

或k

22

【详解】（1）设圆C:(x—a)+(y—b)=b2(a>0,b>0)，

根据题意，可得解得a=1，b=2，

所以圆C的标准方程为(x—1)2+(y—2)2=4.

设直线l:y=kx-2，圆心C(1,2)到l的距离d

因为MN所以即k2-40k+76=0，

所以k=2或k=38，

所以直线l的方程为y=2x-2或y=38x-2.

（2）若存在圆D与圆C外切，即存在点D使得|CD|=3，

因为C到l的距离d所以CD

k-4

所以≤3，即8k2+8k-7≥0，

k2+1

所以k或k

18.已知椭圆E的两个焦点为F1(-1,0)和F2(1,0)，点Q为椭圆E的上顶点，△QF1F2为等

腰直角三角形．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）已知点P为椭圆E上一动点，求点P到直线l:3x+4y-12=0距离的最值；

（3）分别过F1，F2作平行直线m,n，若直线m与曲线E交于A,B两点，直线n与曲线E

交于C,D两点，其中点A,D在x轴上方，求四边形AF1F2D的面积的取值范围．

【答案】（1y2=1

（2）最大值为，最小值为

（3）(0,·、i2

【小问1详解】

由题意得c=1，

因为点Q为椭圆E的上顶点，△QF1F2为等腰直角三角形，

所以b=c=1，

所以a2=b2+c2=2，

所以椭圆E的标准方程为y2=1；

【小问2详解】

设与直线l:3x+4y-12=0平行且与椭圆相切直线方程为3x+4y+m=0，

联立消y得17x2+6mx+m2-16=0，

22

则Δ=36m-4×17(m-16)=0，解得m=±·、，

平行直线3x+4y+m=0与3x+4y-12=0的距离d=，

所以

dmaxdmin

所以点P到直线l:3x+4y-12=0距离的最大值为最小值为

【小问3详解】

由题意可得直线m,n的斜率不为零，

设直线m的方程为x=ty-1，则直线n的方程为x=ty+1，

联立，消x得(t2+2)y2-2ty-1=0，

设A(x1,y1),B(x2,y2)，

则y1+yy1y

则2，

AB14y-

直线m,n之间的距离d

则四边形ABCD的面积AB.d

令2则22

st+1,s∈[1,+∞)，t=s-1，

故S

当且仅当s即s=1时取等号，

又s≥1，所以S’>0，所以S

由椭圆的对称性可得四边形AD的面积S

所以四边形F的面积的取值范围为(0

AF12D,·、.

19．（17分）已知椭圆C:+=1(a>b>0),F1,F2分别为左右焦点，短轴长为2，点M

为椭圆C在第一象限的动点，△MF1F2的周长为4+23.

(1)求C的标准方程；

(2)若<F1MF2=60。，求点M的坐标；

(3)若A(一3,0)，直线l:x=ty+1(t>0)交椭圆C于E，F两点，且△AEF的面积为，

求t的值.

【解析】（1）设，则，且，

MF1=m,MF2=nm+n=2aF1F2=2c

由题意可知：，解得，………………3分

2b=2a=2

2a+22c=24+23b=1

c=3

所以椭圆的标准方a程=b+c.………………4分

2

c+y=1

（2）由（1）可知：，且，………………5分

12

由余弦定理可得m+n=4FF=23()

2222

，F1F2=m+n—2mncos<F1MF2=m+n—2mn—

12

2即mncos<FMF，解得，………………7分

设1(2=16)—2mn—mn，mn=

0

Mx,y0,x0>0,y0>0

由的面积可得l，

△MF1F2mns