2025-2026学年上海市市北中学高二上学期质量检测一数学试卷（含答案）

第=page22页，共=sectionpages99页2025-2026学年上海市市北中学高二上学期质量检测一数学试卷一、选择题：本大题共有4题，满分18分，第1、2题每题4分，第3、4题每题5分。1.如图，空间四边形ABCD四边相等，顺次连接各边中点E，F，G，H，则四边形EFGH一定是(

)

A.菱形 B.正方形 C.矩形 D.空间四边形2.已知S是正方形ABCD所在平面外一点，连接SA，SB，SC，SD，AC，BD，则在所有的10条直线中，异面直线共有(

)A.8对 B.10对 C.12对 D.14对3.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，∠DAD1A.24 B.28 C.4.若干个能确定一个立体图形的体积的量称为该立体图形的“基本量”.已知长方体ABCD-A1B1A.AB1，AC，AD1的长度 B.AC，B1D，A1C的长度

C.B1C，A1二、填空题：本题共12题，第5-10题每题4分,第11-16题，每题5分，共54分。5.空间中已知直线a，直线b，直线c，若直线a//直线b，直线a与直线c异面，则直线b与直线c的位置关系是

．6.空间四边形ABCD中，E,F分别在边AD,CD上，且满足DEEA=DFFC，则直线EF与平面ABC的位置关系是7.在正方体ABCD-A1B1C1D8.如图所示，ABCD-A'B'C'D'是长方体，其中AB=2，AD=AA'=1，点E是棱C'9.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线10.三条直线两两相交可以确定

个平面．11.已知m,n是空间的两条不同直线，α,β是两个不同的平面，下列四个命题中真命题的编号是

．①.m⊥α,n//β,α//β，则m③.m⊥n,m//α,α//β，则n⊥12.如图，在▵ABC中，点P在▵ABC所在平面外，点O是P在平面ABC上的射影且点O在▵ABC的内部．若P到▵ABC三边的距离相等，那么O是▵ABC的

13.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，CC1=2214.如图是正方体平面展开图，在这个正方体中∶(1)BM//ED；(2)CN和BE是异面直线；(3)CN和BM成60°角；(4)DM⊥BN；以上四个命中正确的序号是

；

15.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P①BM⊥AB；②BM//平面A1③BM⊥④B1N⊥正确的编号为

．16.一斜坡的坡面与水平面所成的二面角大小为30∘，斜坡有一直道，它和坡脚水平线成60∘角，沿这条直道向上100米后，升高了

米．三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题13分)在正方体ABCD-A

(1)二面角C-D(2)点M在棱CD上，若A1M与平面B1C1CB18.(本小题15分)如图，在正方体ABCD-A(1)证明：B1(2)证明：B1D⊥(3)若正方体的棱长为1，求点B1到平面A119.(本小题16分)如图，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AB/\!/CD,∠ADC=

(1)求异面直线AB与PC所成角的大小；(2)求二面角B-PC-D的余弦值．20.(本小题17分)我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍(chú)薨(méng)者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.薨，窟盖也。”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍薨的字面意思为茅草屋顶.”现有一个“刍薨”如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE、CDEF为两个全等的等腰梯形，EF//AB，AB=4，EF=2，EA=ED=FB=FC=

(1)设过点F且与直线EF垂直的平面为平面α，且平面α与直线AB、CD分别交于P、Q两点，求▵FPQ(2)点N在线段AD上且满足ANAD=13.试问：在线段CF上是否存在点M，使NF/\!/平面21.(本小题17分)(1)如图1，已知平面α，β，且α∩β=l，m//α，(2)如图2，已知平面α，β，γ，且α⊥γ，β⊥γ，记

参考答案1.C

2.C

3.A

4.A

5.相交或异面

6.平行

7.π48.129.510.1或3

11.①④

12.内心

13.1

14.(3)(4)

15.①②④

16.2517.解：(1)设正方体棱长为1，以DA,DC,DD

则D显然平面B1D1设平面CB1D由n⊥D1C,n⊥D1设n,DD1的夹角为α，所以二面角C-D1B(2)设M0,t,0,t∈设A1M与平面B1C1CB所成角为所以当DM=13DC时，A1M

18.解：(1)连接B1D1，因ABCD-A1B1因A1C1⊂平面又B1D1∩DD1=D又B1D⊂平面B(2)连接B1C，因CD⊥平面BCC1B1因B1C⊥BC1，B1又B1D⊂平面DC因A1C1⊥B1D，A(3)设点B1到平面A1B因▵A1BC1因VB1-则d=B则点B1到平面A1B

19.解：(1)由AB/\!/CD，则异面直线AB与PC所成角即为∠PCD由题意知，PD⊥平面ABCD，又CD⊂平面故PD⊥CD，所以tan∠PCD=即异面直线AB与PC所成角为π4(2)因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面所以PD⊥AD，又PD⊥所以以D为原点，DA,DC,DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系：

则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,2)，则PC=(0,2,-2),设平面PBC的法向量为n=(x,y,z)则n⋅PC=2y-2z=0n⋅BC=-取平面PDC的法向量为DA=(1,0,0)设二面角B-PC-D的大小为θ，由图形知，θ为锐角，所以cosθ=所以二面角B-PC-D的余弦值为3

20.解：(1)

过点F分别作FQ⊥EF，FP⊥EF，分别交AB，CD于P，所以平面α即为平面FPQ，因为四边形ABCD为正方形，EF//所以FP⊥AB，由已知得FP=FQ=17-1=4所以▵FPQ的周长为FP+FQ+PQ=12(2)

假设存在点M．当点N在线段AD上时，连接CN交BD于R，则▵DNR∽△BCR，因为AN所以CRRN因为FN//平面BDM，FN⊂平面平面CFN∩平面BDM=MR所以FN//所以CMMF=综上，在直线CF上存在点M，使NF//平面BDM，CMCF的值为

21.解：1)过m作平面γ与平面α交于直线a，因为m//α，所以过m作平面θ与平面β交于直线b，因为m//β，所以所以a//b，又因为a⊄平面β