2025-2026学年四川省仁寿县铧强中学高二上学期10月教学质量检测数学试卷（含答案）

第=page33页，共=sectionpages1010页2025-2026学年四川省仁寿县铧强中学高二上学期10月教学质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若a=(2,3,-1)，b=(2,0,3)，c=(0,2,2)，则a⋅A.(4,6,-5) B.5 C.7 D.362.抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：A=“点数不大于3”，B=“点数大于4”，C=“点数为奇数”，D=“点数为偶数”，下列结论正确的是(

)A.B，C为对立事件 B.A，C为互斥事件

C.C，D为对立事件 D.A，D为互斥事件3.如图，空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且满足OM=2MA，点N为A.12a-23b+124.平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的正方形，且∠A1AD=∠A1AB=60°A.3 B.10 C.11 5.黄山市境内风光奇绝，拥有12处国家级重点风景名胜区，在五一假期期间展现出独特的旅游魅力．对于A, B两个旅游景点，通过大数据观测发现，游客选择A景点出游的概率为415，选择B景点出游的概率为215，A, B两个景点都不选的概率为7A.115 B.110 C.2156.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为棱CC1A.22 B.32 C.7.记A，B分别为事件A，B的对立事件，如果事件A，B互斥，那么(

)A.A∪B是必然事件 B.A∪B是必然事件 C.A与B一定互斥 D.8.某公司为了促进技术部门之间良好的竞争风气，公司决定进行一次信息化技术比赛，三个技术部门分别为麒麟部，龙吟部，鹰隼部，比赛规则如下：①每场比赛有两个部门参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的部门与未参加此场比赛的部门进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个部门首先获胜两场，则本次比赛结束，该部门就获得此次信息化比赛的“优胜部门”.已知在每场比赛中，麒麟部胜龙吟部的概率为13，麒麟部胜鹰隼部的概率为35，龙吟部胜鹰隼部的概率为12.A.445 B.29 C.415二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法错误的是(

)A.若A,B,C,D是空间任意四点，则有AB+BC+CD+DA=0

B.若a//b，则存在唯一的实数λ，使得a=λb

C.若AB,CD共线，则AB10.已知事件A，B发生的概率分别为P(A)=12，P(B)=13A.若A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=56

B.若A与B相互独立，则P(A∪B)=23

C.若A与B相互独立，则P11.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，PA.平面BB1P⊥平面ABCD

B.BP的最小值为22

C.若直线B1P与BD1所成角的余弦值为155，则D三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知点A(3,0),B4,3，则直线AB的倾斜角为

13.甲、乙、丙射击命中目标的概率分别为12、14、13，现在三人同时射击目标，且相互不影响，则目标被击中的概率为

14.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱AD、B1C1上的中点．若点P为侧面正方形ADD1A1内(含边)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知a→=(x,1,1),b(1)求a+(2)求向量a+b与216.(本小题15分)在某985高校的强基面试中，有两道难度相当的题目，每位面试者有两次答题机会，如果第一次答对抽到的题目，则面试通过，不再回答第二道题，否则就回答第二道题，第二道题答对则面试通过，若两道题都答错则面试不通过．已知李明答对每道题的概率都是0.5，张志答对每道题的概率都是0.6，假设两位面试者答题互不影响，且每人对抽到的不同题目能否答对是相互独立的．(1)求李明第二次答题通过面试的概率；(2)求张志通过面试的概率；(3)求李明和张志至少有一人通过面试的概率．17.(本小题15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，▵PAD是正三角形，∠ABC=90°,AB/\!/CD,AB=2CD=2BC=4，平面PAD⊥平面ABCD，M是棱(1)求证：平面MBD⊥平面PAD(2)在线段PC上是否存在点M，使得直线AP与平面MBD所成角为30°？若存在，求出PMPC的值；若不存在，说明理由．18.(本小题17分)甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环小组赛，比赛分三轮，每轮两场比赛，具体赛程如下表：第一轮甲VS乙丙VS丁第二轮甲VS丙乙VS丁第三轮甲VS丁乙VS丙规定：每场比赛获胜的球队记3分，输的球队记0分，平局两队各记1分，三轮比赛结束后以总分排名.总分相同的球队以抽签的方式确定排名，排名前两位的球队出线.假设甲、乙、丙三支球队水平相当，彼此间胜、负、平的概率均为13，丁的水平较弱，面对其他任意一支球队胜、负、平的概率都分别为16，12(1)求丁的总分为7分的概率；判断此时丁能否出线，并说明理由；(2)若第一轮比赛结束，甲、乙、丙、丁四支球队积分分别为3，0，3，0，求丁以6分的成绩出线的概率．19.(本小题17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB//CD，且CD=2，AB=1，BC=22，PA=2，AB(1)求证：AN//平面PBC(2)求平面PAD与平面PCD夹角的余弦值；(3)点M在线段AP上，直线CM与平面PAD所成角的正弦值为4515，求点M到平面PCD参考答案1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】BC

10.【答案】ABC

11.【答案】ABD

12.【答案】π313.【答案】3414.【答案】515.【答案】解：(1)∵b∵a∴a(2)由(1)可得2a∴a∴向量a+b与即向量a+b与2a

16.【答案】解：(1)设Ai=“李明第i次答对题目”，i=1,2，则李明第二次答题通过面试的事件为A1A2所以李明第二次答题通过面试的概率PA(2)设Bi=“张志第i次答对题目”，i=1,2，则张志通过面试的事件B=B所以张志通过面试的概率P(B)=PB(3)设李明通过面试的事件A，则P(A)=1-PA令李明和张志至少有一人通过面试的事件D，所以P(D)=1-PA

17.【答案】解：(1)证明：因为AB//CD,CD=BC=2,∠在▵ABD中∠ABD=45°,所以AD2+B取AD的中点O，连结PO，因为▵PAD是正三角形，所以又面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，PO⊂所以PO⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，所以又AD⊥BD，PO∩AD=O，PO,AD⊂平面PAD又BD⊂平面BDM，所以平面MBD⊥平面(2)取AB的中点N，连结ON，则ON//BD以ON,

则A0设PM=λPC，0≤λ≤1，则又DB=22,0,0则DM⋅n=0DB⋅取n=由直线AP与平面MBD所成角为30°，得sin化简得10λ2-13λ+4=0

解得λ=当PMPC=12或λ=45

18.【答案】【详解】(1)记第i轮比赛丁胜、平、负的事件分别为Ai丁总分为7分，则丁三场比赛两胜一平，记丁三轮比赛两胜一平的事件为D，P(D)=P丁总分7分一定出线．理由如下：丁三场比赛中赢两场，这两场丁的对手比分最多6分．小组赛两队出线，所以丁一定出线．(2)第一轮比赛，甲胜乙，丙胜丁，又丁总分为6分，则丁对战甲、乙都获胜，此时，乙队总分最多3分，少于丁队总分，①第二轮中若甲负于丙或平丙时，甲总分最多4分，少于丁队总分，此时甲、乙两队少于丁队总分，丁一定出线，其相应的概率P1②第二轮中若甲胜丙、第三轮中丙平乙或负于乙时，丙总分最多4分，此时丙、乙两队少于丁队总分，丁一定出线，其相应的概率P2③第二轮中若甲胜丙时、第三轮中丙胜乙时，甲、丁、丙队总分均为6分，此时由抽签确定出线，三队中有两队出线，每队出线概率为23丁队出线的概率P3综上，丁以6分出线的概率为P1

19.【答案】【详解】(1)记CD的中点为E，连结AE，因为AB//CD，CE=12CD=1=AB因为AB⊥BC，所以平行四边形ABCE是矩形，则因为PA⊥平面ABCD，AE,AB⊂平面ABCD，所以PA⊥故以A为坐标原点，分别以AE，AB，AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，E22,0,0，D2因为N为PD的中点，所以N2,-设平面PBC的一个法向量为m=(x,y,z)，而BP=(0,-则m⋅BP=-y+2z=0m所以AN⋅m=-又AN⊄平面PBC，所以AN//平面．(2)设平面PAD的一个法向量为n=(a,b,c)，而AP=(0,0,2)，所以AP⋅n=2c=0AD⋅设平面PCD的一个法向量为u=(r,s,t)，而CD=(0,-所以CD⋅u=-2s=0PC记平