2025年高三数学秋季开学摸底考（北京专用）数学试题（考试版A3）

………………○………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………此卷只装订不密封……○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○…学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________试题第=PAGE2*2-13页（共8页）试题第=PAGE2*24页（共8页）2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷（北京专用）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．考试范围：选择性必修第二、三册+高考一轮复习（集合与逻辑、复数、函数与不等式）第一部分（选择题共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．复数的虚部为（

）A． B．1 C． D．i3．根据图中的函数图象，下列数值最小的是（

）

A．曲线在点处切线的斜率 B．曲线在点处切线的斜率C．曲线在点处切线的斜率 D．割线的斜率4．已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（

）A． B． C．16 D．185．已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则（

）A． B． C． D．46．已知，则（

）A． B．C． D．7．已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．函数在处有极小值5，则（

）A． B． C．或 D．或39．生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（

）A． B．C． D．10．从点可向曲线引三条不同切线，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11．函数的导数为．12．已知，则；．13．已知函数，当时，；若在上单调递增，则实数a的取值范围是.14．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则；数列所有项的和为．15．设函数有三个不同的零点，从小到大依次为，则（

）①．②．函数的对称中心为③．过引曲线的切线，有且仅有1条④．若成等差数列，则三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。16．（满分13分）4名男生和3名女生站成一排，分别有多少种不同的站法？(1)3名女生不相邻．(2)男生甲不在排头，女生乙不在排尾．(3)甲、乙、丙三人从左到右的顺序不变．17．（满分13分）已知函数在及处取得极值．(1)求a，b的值；(2)求函数在处的切线方程；18．（满分14分）已知等差数列的公差是-2，等比数列的公比是2，若.(1)求和的通项公式；(2)求数列的前项和.19．（满分15分）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率.(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率(2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望；(3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）.20．（满分15分）当前，以深度求索（DeepSeek）等为代表的人工智能技术创新不断取得突破性的进展．已知语料库实时处理数据时，数据量（万条）与系统延迟（秒）的关系为．(1)讨论系统延迟最小的临界数据量；(2)当时，若要求延迟不超过20秒，求数据量的最大值（取整数）．参考数据：3.0910．21．（满分15分）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线．(1)求的最大值；(2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方；(3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围．

2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷（北京专用）数学·答案及评分参考第一部分（选择题共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12345678910AACCDCAADB第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.12.13.014.4838415.①②④三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。（满分13分）【详解】（1）先安排男生，有种可能，再将3名女生插空，有种可能，故3名女生不相邻的站法有种；4分（2）4名男生和3名女生站成一排，共有种情况，其中男生甲在排头的情况有种情况，女生乙在排尾的情况有种情况，男生甲在排头的同时，女生乙在排尾的情况有种情况，所以男生甲不在排头，女生乙不在排尾的情况有种；9分（3）甲、乙、丙三人从左到右的顺序不变，可以用定序倍缩法进行求解，即站法有种．13分17．（满分13分）【详解】（1）依题意，在及处取得极值，而的两根为，，所以，，，，此时，所以在区间上，单调递增，在区间上，单调递减，所以及是极值点，符合题意.所以8分（2）由（1）得，，，，则切线方程为，化简得，函数在处的切线方程为13分（满分14分）【详解】（1）等比数列的公比是2，，则，，由，得，又等差数列的公差是-2，则，所以和的通项公式分别为，8分（2）记和的前项和分别为，，则．而，，所以14分（满分15分）【详解】（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率5分（2）设为“从甲校抽取1人做对”，则，，设为“从乙校抽取1人做对”，则，，设为“恰有1人做对”，故依题可知，可取，，，，故的分布列如下表：故11分（3）设为“甲校掌握这个知识点的学生做该题”，因为甲校掌握这个知识点则有的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，故，即，故，同理有，，故，故15分20．（满分15分）【详解】（1）由题意得，，令，解得，①若，当时，；当时，，则在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得极小值，也是最小值；②若，当时，，所以在上单调递增，没有最小值.综上，若，则系统延迟最小的临界数据量为；若，则不存在系统延迟最小的临界数据量9分（2）当时，，由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，又19.，20.，故延迟不超过20秒时，数据量的最大值为21万条15分21．（满分15分）【详解】（1）设，，由可得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以的最大值为4分（2）因为，所以直线的方程为，即