易错06 全等三角形和特殊三角形（七大易错分析+举一反三+易错题通关）（解析版）

易错06全等三角形和特殊三角形易错陷阱一：忽略三角形三边关系三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。三边关系的运用：①判断三条线段能否组成三角形；②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。易错总结：在解题时，要根据三角形存在的条件，验证求得的解，否则容易造成多解例1．等腰三角形两边的长分别为和，则这个三角形的第三边是（

）A． B． C． D．无法确定【答案】B【详解】解：当为底边时，第三边长为，因为，故不能构成三角形；当为底边时，第三边长为，因为，故能构成三角形，所以第三边长为，故选：．例2．四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当对角线分得的两个三角形中有一个是等腰三角形时，的长为（

）A．16 B．9 C．8 D．5【答案】A【详解】解：在中，，∴，即，在中，，∴，即，综上，，∴只有当时，对角线分得的两个三角形中有一个是等腰三角形，即时，是等腰三角形，故选：A．易错警示：易错警示：在实数的各种概念里，0都是比较特殊的存在，所以遇到理论型问题，都要多想一下0适不适用变式1-1．先化简，再求值：，其中x是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且x为整数．【答案】，【详解】解：，∵其中x是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，∴，∴，∵x为整数，，∴，∴，∴．变式1-2．设a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该三角形的周长是．【答案】13或11【详解】解：，∴，∴，分两种情况：（1）当3为底边长时，腰长为5，，能组成三角形，此时三角形的周长为；（2）当5为底边长时，腰长为3，，能组成三角形．此时三角形的周长为；综上可知，此三角形的周长为13或11．故答案为：13或11．变式1-3．已知的三边长分别为，，10．则的取值范围．【答案】【详解】解：由三角形三边关系定理得到：，解①得，解②得，解③得，不等式组的解集为．故答案为：．易错陷阱二：混淆角平分线：中线：高线：中垂线的画法及性质三角形的重要线段概念图形几何语言表示三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段是的上高线，三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段是的上的中线.∴，三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段是的的平分线，线段的垂直平分线经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线是上的垂直平分线，∴，易错提醒：一是要对各种线的概念进行熟记；二是能够根据题意画出规范图形例3．如图，在中，D为边上的一点，E，F分别为，的中点，且，则图中涂色部分的面积是．【答案】4【详解】解：∵E为的中点，∴，∵F为的中点，∴，∵，∴．故答案为：4．例4．如图，在中，，，是的角平分线，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵，是的角平分线，∴，在中，，，∴．故选：D．易错警示：易错警示：①角平分线定理与线段中垂线性质定理常常需要添加辅助线，角平分线的常见辅助线是过角平分线上一点作到角两边的垂线段；线段垂直平分线的常见辅助线是连结两点。②角平分线与线段垂直平分线都是有定理和逆定理的，一定要区分好条件是谁，结论是谁。变式2-1．如图，是中边上的垂直平分线，如果，，则的周长为．【答案】15【详解】解：∵是中边的垂直平分线，∴，∴，∵，∴的周长．故答案为：15．变式2-2．如图，在中，，为的中点，连接并延长交于点E．过点C作于点H，交于点F．下列说法正确的是（

）A．线段是的角平分线B．线段是中边上的高C．线段是中边上的中线D．线段是的角平分线【答案】B【详解】解：A、由，根据三角形的角平分线的概念，知是的角平分线，故本选项错误；B、根据三角形的高的概念，知为的边上的高，故本选项正确；C、根据三角形的中线的概念，知是中上的中线，故本选项错误；D、根据三角形的角平分线的概念，知是的角平分线，故本选项错误．故选：B．变式2-3．如图，是的边上的中线，是的边上的中线．(1)若，求的度数；(2)画出的边上的高；(3)若的面积为，求的边上的高．【答案】(1)；(2)见解析(3)的边上的高为．【详解】（1）解：在中，；（2）解：如图，即为所求．（3）解：因为是的中线，所以．又因为是的中线，所以．因为，即，所以，即的边上的高为．易错陷阱三：解决高线问题时，忽略分类讨论易错提醒：不同的三角形，高的位置也不同，高线可能在三角形的内部或外部，所以要分类讨论，可以按照锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三种情况讨论，以免漏解．例5．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则其底角的度数为．【答案】【详解】解：分两种情况讨论：①若，如图1所示：∵，∴，∵，∴，∵，∴；②若，如图2所示：同①可得：，∴，∵，∴；综上所述：等腰三角形底角的度数为或．故答案为：或．例6．直角三角形的两边分别为2和3，则斜边上的高为【答案】或【详解】解：设斜边上的高为h，当长为3的边为斜边时，则第三边长为，由三角形面积公式可得，∴；当长为3的边为直角边时，则第三边的长为，由三角形面积公式可得，∴；综上所述，斜边上的高为或，故答案为：或．易错警示：易错警示：高线可以在三角形的外面易忽略变式3-1．已知△ABC的面积为20cm2，AD为BC边上的高，且AD＝8cm，CD＝2cm，求BD的长度．【答案】BD的长度为3或7【详解】解：如图1，∵AD为BC边上的高，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC•AD＝（BD+CD）•AD，∴20＝（BD+2）×8，∴BD＝3；如图2，∵AD为BC边上的高，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC•AD＝（BD﹣CD）•AD，∴20＝（BD﹣2）×8，∴BD＝7；故BD的长度为3或7．【点睛】本题考查了三角形的面积，注意分类讨论．变式3-2．在中，为边上的高，，，则的度数是度．【答案】或【详解】解：如图，当位于内部时，∵，∴，∵，∴，∴；如图，当位于外部时，∵，∴，∵，∴，∴；∴的度数是或，故答案为：或．变式3-3．在中，，，高，则的长是（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【详解】当高在的内部时，如图，∵边上的高，，∴，在中，，根据勾股定理得，，在中，，根据勾股定理得，，∴；当高在的外部时，如图，∵边上的高,∴，在中，，根据勾股定理得，，在中，，根据勾股定理得，∴，综上所述，的长为或，故选：．易错陷阱四：解决重心问题时，线段比例混淆三角形的重心：三角形三条边中线的交点，重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．易错提醒：比例关系要记熟，线段位置容易写相反导致比例出错例7．如图，是等边三角形，点为的重心，连接，以为边作等边三角形，若，则的周长为．【答案】【详解】解：延长交于点，点为的重心，，．是等边三角形，且，，，．是等边三角形，．在中，，，则，的周长为18．故答案为：18．例8．如图，在中，点是的重心，连结并延长交于点，过点作交于点，如果，那么．【答案】6【详解】∵点是的重心，又故答案为：6．易错警示：易错警示：若混淆三角形重心比例（2:1）性质，会导致中线分割关系错误，影响几何证明、坐标计算及面积比例推导变式4-1．如图，在中，对角线

交于点是的中点，连结交于点F．若的面积为36，则的面积为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【详解】解：四边形是平行四边形，，，，是的中点，，点F是的重心，，故选：B．变式4-2．如图，在中，，分别是边，上的点，，重心在上，若，则四边形的面积为．【答案】10【详解】如图所示，连接并延长交于点D

∵点G是的重心∴∵∴∴∵∴∴∴∴∴四边形的面积．故答案为：10．变式4-3．如图，点G为的重心，若，则为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：为的重心，，，，，即，，．故选：B．易错陷阱五：混淆全等三角形的判定判定全等三角形1.角角边AAS：证明过程：在和中，∴2.边边边SSS：证明过程：在和中，3.边角边SAS：证明过程：在和中,4.角边角ASA：证明过程：在和中，易错提醒：判断的方法比较多，做题时根据不同的条件选择不同的判定方法例9．如图，点在线段上，．试说明：．【答案】见解析【详解】证明：因为，所以，即．在和中，所以．例10．如图，，下列条件能使的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：，A、添加，“边边角”不能判定三角形全等，不符合题意；B、添加，不能判定三角形全等，不符合题意；C、添加，运用“角角边”可证，符合题意；D、添加，“边边角”不能判定三角形全等，不符合题意；故选：C．易错警示：易错警示：要注意两条边和一角的关系，应该是两边夹一角，即SAS，而不是SSA变式5-1．如图，已知，，垂足分别为点E、F，则在下列各组条件中选择一组，其中不能判定的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【详解】解：∵，，∴，A：若，，则可利用“”判断，不符合题意；B：若，，则，可利用“”判断，不符合题意；C：若，，则可利用“”判断，不符合题意；D：与不是对应边，故不能判定，符合题意；故选：D．变式5-2．如图，，，，，，，四点共线，求证：．【答案】见解析【详解】证明：，，即，在和中，，．变式5-3．如图，在同一直线上有四个点B、F、C、E，点A、D在直线同一侧，如果垂足为B，垂足为E，且，．连接、相交于点G．求证：(1)．(2)；【答案】(1)见解析(2)见解析【详解】（1）证明：∵垂足为B，垂足为E，∴，∵，∴,∴，在和中，，∴，∴，即，∴；（2）证明：如图：连接，，∵，∴，∵，∴，即，在和中，，∴．易错陷阱六：应用全等三角形性质时，没有找准对应边、对应角全等三角形的性质（1）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。（2）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。∵，∴（全等三角形的对应边相等）。（全等三角形的对应角相等）。易错提醒：我们在整理全等的时候都是角边已经对应好，所以根据字母的位置进行写性质，这样会减少错误例11．如图，已知，平分，与交于点G．若，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵，，∴，∵平分，∴，∴∵，∴，∴，故选：C．例12．如图，，则的度数为．【答案】【详解】解：∵，∴，∵，∵，故答案为：．变式6-1．如图，，，求的度数．【答案】【详解】解：∵，∴．∵，∴．∵，∴．变式6-2．中，厘米，，厘米，点为的中点．如果点在线段上以2厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米秒，则当与全等时，的值为．【答案】2或【详解】解：当与全等时，设两点所用时间为，则，，，点为的中点，厘米，若，，则，解得：，若，，则，，解得：，．的值为2或，故答案为：2或．变式6-3．如图，正方形中，点M，N分别在，上，且，与相交于点P．(1)求证：；(2)求的大小．【答案】(1)详见解析(2)【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，，∵，∴，即，在和中，，∴；（2）解：由（1）知，∴，∴，∴．易错陷阱七：等腰三角形问题忽略分类讨论易错提醒：在等腰三角形中，涉及到腰上的垂直平分线、中线，某边是底边还是腰等问题时，易错点在于忘记分情况讨论，导致漏解例13．等腰三角形的两边长分别为5和2，则第三边长为．【答案】5【详解】解：当5为一腰长时，则另一腰长为5，底边长为2，∵，∴能构成三角形，第三边长为5；当2为一腰长时，则另一腰长为2，底边长为5，∵，∴不能构成三角形，舍去；综上，第三边长为5，故答案为：5．例14．已知底边长为6的等腰三角形内接于半径为5的中，那么这个等腰三角形的腰长．【答案】或【详解】解：①当等腰三角形是锐角三角形时，如图1所示：连接并延长交于点D，连接，∵，∴，∵，∴，在中，∵，∴，∴，在中，∵，∴；②当等腰三角形是钝角三角形时，如图2所示：连接交于D，连接，同理得：，∴，∴；综上所述，的长度是或．．变式7-1．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【详解】解：当是等腰三角形的底边时，则其腰长是，能够组成三角形；当是等腰三角形的腰时，则其底边是，能够组成三角形．故选：C．变式7-2．如图，抛物线与直线相交于点和点B．(1)求m和b的值；(2)求点B的坐标和的度数；(3)点M是x轴上的一个动点，求当是等腰三角形时点M的坐标．【答案】(1)(2)点的坐标为；(3)或或或【详解】（1）解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，将点A的坐标代入直线表达式得：，解得；故；（2）解：由（1）得抛物线表达式为，直线的解析式为，联立方程组得：，解得或，∴点的坐标为；过点B作轴于点E，则∴∴．（3）解：∵∴，如图，若是等腰三角形，当为腰时，∵，∴，∴；又，且∴，∴；又的垂直平分线交轴于点,∵∴∴,∴，∴∴；∵∴轴，当时，，∴，∴；综上，点的坐标为或或或．变式7-3．已知中，，D为直线上异于B，C的一点．若是等腰三角形，则的度数为．【答案】或或【详解】解：∵在中，，，∴，∵点为直线上异于点的一点，∴当是等腰三角形时，只能或，①当时，如图所示：∴；∴，②当时，点D在点B的左侧时，如图所示：∴，∵，∴；当时，点D在点B的右侧时，如图所示：∵，∴；综上所述的度数为或或．故答案为：或或．1．如图，，分别是的高、中线、角平分线，则下列线段中，最短的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：因为，，分别是的高、中线、角平分线，∴是点到直线的垂线段，利用连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，可得最短，故选：A．2．在中，，点G是的重心，如果，那么．【答案】12【详解】解：如图，

∵G是重心，，∴是的中线，，∴，解得，，∴，∵，是的中线，∴，故答案为：12．3．如图在中，分别垂直平分边和边，交边于，两点，与所在直线相交于点F．若，求的度数为．【答案】/36度【详解】解：∵，分别垂直平分边和边，∴，，∴，，∵，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．故答案为：．4．如图，点是边长为3的等边的边上一动点，沿过点的直线折叠，使点落在上，对应点为，折痕交于点，若点是的一个三等分点，则的长为．【答案】或【详解】解：依题意，①如图1中，当时，设，∵是等边三角形，∴，∵∴，∴，∴，∴，∴，∴，，∵，∴+=3，∴．②如图2中，当时，由，可得，∴，∴，，∵，∴，∴，故答案为：或．5．如图，在中，平分为垂足，则下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【详解】解：∵平分，∴，，，故（1）（2）（3）正确，∵平分，∴，∴故（4）正确，综上，一共有4个正确，故选：D6．如图，是平角内一射线，点是上一定点，点是直线上一动点，若是等腰三角形，则满足条件的点的个数为．【答案】4或2/2或4【详解】解：当时，若是等腰三角形，只有1种情况，如图：此时，满足题意；当与不垂直时，若是等腰三角形，则有3种情况讨论如下：当时，如图，以点O为圆心，以长为半径作圆，交直线于点，则满足题意；当时，