易错08 圆的应用（六大易错分析+举一反三+易错题通关）（解析版）

易错08圆的应用易错陷阱一、圆内一条弦对应无数个圆周角一．圆周角定理及其推论圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半圆周角定理的推论半圆（或直径）所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等二、圆中模型“知1得4”由图可得以下5点：①AB=CD；②；③OM=ON；④；⑤；以上5个结论，知道其中任意1个，剩余的4个都可以作为结论使用。易错提醒：圆的一条弧（弦）只对着一个圆心角，对应的圆周角有无数个，但圆周角的度数只有两个，这两个度数和为180°；【例1】如图，是的弦，是过点的切线，若，则所对的圆周角的度数为．【答案】或【详解】解：∵是过点的切线，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴弦所对的劣弧的度数为：，所对的优弧的度数为：，∴所对的圆周角的度数为或；故答案为：或．【例2】已知弦与的半径相等，则弦所对的圆周角的度数为【答案】或【详解】解：如图，设的半径为，由题意可得：，为等边三角形，，设弦所对的圆周角为，当点在弦所对的优弧上时，，当点在弦所对的劣弧上时，，弦所对的圆周角的度数为或，故答案为：或．易错警示：易错警示：在同一个圆中，一条弦对着两种圆周角，这两种圆周角互补。【变式1-1】已知的半径为6，圆心O到弦的距离为3，则弦所对的圆周角的度数是．【答案】或【详解】解：如图，∵，∴，∴，∴，即弦所对的圆周角的度数是或，故答案为：或．【点睛】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，注意两种情况．【变式1-2】已知⊙O的半径为，则长为的弦所对的圆周角的度数为．【答案】或【详解】解：如图所示，，为的中点，即，在中，，，，，为等腰直角三角形，，同理，，与分别是所对的圆心角和圆周角，，大角，，弦所对的圆周角为或．故答案为：或．【变式1-3】已知弦把圆周分成的两部分，则弦所对的圆周角的度数为．【答案】或【详解】解：如图，

∵弦把圆周分成的两部分，∴，∴，，故答案为：或．易错陷阱二、忽略圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的性质与推论：圆内接四边形对角互补；推论：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角易错提醒：圆内接四边形对角为同一个条弦的两个圆周角，故两角互补【例3】如图，在半径为2的中，点A、B、P是圆上的三个点，且满足，则弦长为（

）A．2 B． C．3 D．【答案】D【详解】解：连接，，，在优弧上任取点E，连接，∵四边形是的内接四边形，，∴，∴，∴，∵，∴，故选：D．【例4】如图，四边形内接于，为的直径，．点E在的延长线上，若，则的度数为．【答案】/70度【详解】解：连接，∵，∴，∵四边形内接于，∴，∵，∴，∴，∵为的直径，∴，∴，故答案为：．【变式2-1】如图，是的内接三角形，点是弧的中点，已知，，则度．【答案】100【详解】解：∵，∴，∵是的内接三角形，点是弧的中点，∴，，，∴，∴，∴；故答案为：100．【变式2-2】如图，在中，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：四边形为的内接四边形，且，，故选：．【变式2-3】如图，四边形内接于，为上的任意一点（点不与点重合），连接，交于点．若，则的度数不可能为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵是的外角，∴，∵，∴，∵四边形内接于，∴，则，∴，∴的度数不可能为，故选：A．易错陷阱三、两条弦平行时易忽略讨论易错提醒：求两条弦间的距离时要分类讨论两条弦与圆心的相对位置：两弦在圆心的同侧，两弦在圆心的异侧．【例5】如图，的半径为5，C是上一点，直线交于A，B两点，垂足为H，已知．若将直线l沿所在的直线平移后恰与相切，则平移的距离为．【答案】2或8【详解】解：如图，连接，，，，在中，，又∵将直线l通过平移使直线l与相切，∴直线l垂直过C点的直径，垂足为直径的两端点，∴当向下平移时，直线l平移的距离；当向上平移时，直线l平移的距离．故答案为：2或8．【例6】在半径为5的圆中，有两条弦的长分别为6和8，这两条弦的中点的距离x的取值范围是.【答案】【详解】解：过点O作于E，于F，连接，如图，，，则，，在中，，在中，，点E在以O点为圆心，4为半径的圆上；点F在以O点为圆心，3为半径的圆上，两圆上两点之间的最小距离为；两圆上两点之间的最大距离为，的取值范围为故答案为：【变式3-1】已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（

）A． B． C． D．或【答案】D【详解】解；如图所示，当平行弦，在圆心的同侧时，过点作，垂足为，延长交于点，连接，，则，．在中，．在中，．故EF．如图所示，当平行弦，在圆心的异侧时，过点作，垂足为，延长交于点，连接，，则，．在中，．在中，．故．综上，，之间的距离为或，故选：D．【变式3-2】已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是．【答案】7或17【详解】解：如图，当的圆心O位于、之间时，作于点E，并延长，交于F点．分别连接、．∵，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，∴，∴和之间的距离为17；如图所示，当的圆心O不在两平行弦、之间（即弦、在圆心O的同侧）时，同理可得：，∴，∴和之间的距离为7；综上所述，和之间的距离为7或17．故答案为：7或17．【变式3-3】⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（

）A．2 B．14 C．2或14 D．7或1【答案】C【详解】解：如图，作于E，于F，连，则，∵，∴E、O、F三点共线，在中，，在中，，当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离．所以与的距离是14或2．故选：C．易错陷阱四、证明直线为切线出现混乱1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵且过半径外端，∴是⊙的切线易错提醒：证明切线的两种核心方法是：1.连半径证垂直：若直线与圆有公共点（如切点），连接该点与圆心，证明这条半径与直线垂直；2.作垂线证半径：若直线与圆无明确公共点，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段长度等于圆的半径【例7】如图，中，，以为直径的交边于，于．求证：是的切线．【答案】见解析【详解】证明：连接，，，，，，，，，为的切线．【例8】如图，在菱形中，是边上的高，以为直径的分别交，于点，，连接．(1)求证：是的切线；(2)求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【详解】（1）证明：四边形是菱形，．，．又为的直径，是的切线．（2）证明：如图1，连接，，是的直径，，，，即．又，．四边形是菱形，，则，，．【点睛】本题考查了圆与四边形综合题，切线的判定，圆周角定理，菱形的性质，掌握以上知识是解题的关键．易错警示：易错警示：先判断题目是否给出直线与圆的公共点。若有明确交点（如标注字母），则连接圆心与切点并证明垂直（连半径证垂直）；若未给出交点，则作圆心到直线的垂线段并证明其等于半径（作垂直证半径）。通过观察题目条件选择对应方法，避免混淆。【变式4-1】如图，是的直径，点C是半圆的中点，点D是上一点，连接交于E，点F是延长线上一点，且．(1)求证：是的切线；(2)连接、、，若，，求的半径．【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）证明：连接，，如图，∵点C是半圆的中点，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∵，∵，∴，即，∴，∵为的半径，∴是的切线；（2）解：∵，，∴，∵是的直径，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴．设的半径为r，则，∵，∴，解得：．∴的半径为．【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，圆的切线的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，弦切角定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．【变式4-2】中，，点在上，以为半径的圆交于点，交于点．且．(1)求证：是的切线；(2)连接交于点，若，，求弧的长．【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）证明：连接，在和中，，，；为的半径，是的切线；（2）解：，，设的半径为，在中，，即，解得，，，∴，，，，弧的长为．【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，三角函数的定义，弧长公式．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．【变式4-3】如图，是的直径，点C是劣弧中点，与相交于点E．连接，，与的延长线相交于点F．(1)求证：是的切线；(2)求证：；(3)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【详解】（1）解：连接，是直径，，，，，，，，，是的切线．（2）解：∵点C是中点，，，，，，，，，，，，（3）解：如图：连接线，交于H，∵，，于点H，设为x，则为，根据勾股定理，，解得：，，是中位线，易错陷阱五、混淆外接圆和内切圆的构成1.外接圆的概念：外接圆是指经过三角形所有顶点的圆，三角形的每个顶点都在这个圆上。圆心称为外心，是三角形三条边的垂直平分线的交点。外心到三角形三个顶点的距离相等，且锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外部。2.内切圆的概念：内切圆是指与三角形三边都相切的圆，且圆心到三角形三边的距离相等。圆心称为内心，是三角形三条内角平分线的交点。内心到三角形三边的距离相等，且一定位于三角形内部。易错提醒：要区分好外接圆和内切圆的构成，以及外心和内心的性质【例9】如图，中，，，，其内切圆的半径为，外接圆半径为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：在中，，∴，∵，∴，∵外接圆半径为，∴．故选：C．【例10】在中，斜边，其重心与外心之间的距离为（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【详解】解：如图，点D为外心，点O为重心，∵直角三角形的外心是斜边的中点，，∵点O为的重心，，重心与外心之间的距离为3．故选B．易错警示：易错警示：解题时抓住“外接连顶点，内切切三边”的核心特征，结合图形强化直观记忆【变式5-1】是等腰三角形的外接圆，圆心O到底边的距离为，的半径为，则腰的长为（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【详解】解：分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论，如图一，假若是锐角，是锐角三角形，连接，，，，，，，，，；如图二，若是钝角，则是钝角三角形，和图一解法一样，只是，，综上可得腰长或故选：【变式5-2】如图，在中，点O是的内心，，则．【答案】【详解】解：点是的内心，，，，，故答案为：．【变式5-3】如图，中，，点是的外心，且，延长交于点，若，则．【答案】【详解】解：∵点是的外心，且，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴或（不符合题意，舍去），把代入，∴，∴，且∴，∵，∴，答案为：．易错陷阱六、扇形公式的弧长、面积公式记混（一）扇形的弧长和面积计算（1）扇形弧长公式：；（2）扇形面积公式：其中：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积注意：（1）对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；（2）公式中的表示1°圆心角的倍数，故和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；（3）弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.（4）对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；（5）在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.（二）扇形与圆柱、圆锥之间联系立体图侧面展开图表面积公式体积公式圆柱=圆锥=易错提醒：所有公式均围绕圆心角与半径展开，理解弧长是圆周的比例，面积同理【例11】如图，要用一个扇形纸片围成一个无底的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，扇形的圆心角的度数是，则圆锥的侧面积为（结果保留）．【答案】【详解】解：圆锥的底面圆周长为，即圆锥侧面展开图的扇形的弧长为，且扇形的圆心角的度数是，∴扇形半径为，∴圆锥的侧面积，故答案为：．【例12】如图，，分别为正方形边，的中点，以为半径，为圆心做扇形与延长线交于点，与交于点．若，则长为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：如图，连接，∵，分别为正方形边，的中点，∴，，，，∴四边形为矩形，∴，，∴，．∴，∵以为半径，为圆心做扇形与交于点，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故选：D．易错警示：易错警示：③结合图形记忆，周长=弧长+，面积对比三角形公式（底×高）【变式6-1】如图，在扇形中，，将扇形沿方向平移得到扇形，点恰好落在上．若，则图中阴影部分的面积为．【答案】【详解】解：设，，围成的图形的面积为，，围成的图形的面积为，则，，如图，连接，由平移可知，，，，，，又∵，，过点作于点，则，．【变式6-2】如图，在中，，，．以A为圆心为半径画圆，交于点D，则阴影部分面积是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵中，，，，，故选：D．【变式6-3】如图，一个直径为4厘米的半圆，以点为中心，把半圆按顺时针旋转，这时点落到处，求阴影部分的面积【答案】平方厘米【详解】解：依题意得：（平方厘米），阴影部分的面积为平方厘米．1．如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（

）A．55度 B．45度 C．35度 D．25度【答案】B【详解】解：四边形是的内接四边形，∴，∵，，故选：B．2．用半径为30，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（

）A．20 B．15 C．10 D．5【答案】C【详解】解：∵扇形的弧长，∴圆锥的底面半径．故选：C．3．如图，已知是的直径，、是半圆上两点，且满足，，则弦长为（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】B【详解】解：四边形是的内接四边形，，，是的直径，，，，，．故选：B．4．已知是的两条弦，．若的直径为,则弦和之间的距离是．【答案】1或7【详解】如图所示，连接OA，OC．作直线EF⊥AB于E，交CD于F，∵AB∥CD，∴EF⊥CD．∵的直径为10，∴OA=OC=5∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴AE＝AB＝4，CF＝CD＝3，∴OE＝＝3,OF＝＝4①当AB和CD在圆心的同侧时，则EF＝OF−OE＝1；②当AB和CD在圆心的两侧时，则EF＝OE＋OF＝7．则AB与CD间的距离为1或7．故答案为：1或7．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理．5．一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的半径为．【答案】3或【详解】解：，∴，∴或∴，，①当直角边分别为2，6时，斜边为，∵直角三角形的外接圆的直径即为直角三角形斜边的长，∴此时直角三角形外接圆的直径为，半径为；②当斜边为6时，此时直角三角形外