易错09 勾股定理及锐角三角函数（六大易错分析+举一反三+易错题通关）（解析版）

易错09勾股定理及锐角三角函数易错陷阱一、没有明确斜边或直角边时，考虑不全面勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么变式：①②易错总结：勾股定理只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。在用勾股定理时，需找准直角边和斜边【例1】是直角三角形，，，则的长为．【答案】或【详解】解：如下图所示，若，，在中，，，；如下图所示，若，，设，则，在中，，，解得：或(舍去)；综上所述，的长为或．【例2】已知在中，，，边上的高线，则边的长为．【答案】或【详解】，，边上的高线，∴在中，由勾股定理得，，在中，由勾股定理得，，分类讨论：①当高落在内部时，，②当高落在外部时，，综上所述：边的长为9或21．故答案为：9或21．易错警示：易错警示：如果题目中没有明确直角边和斜边，需分类讨论较长边可能是直角边，也可能是斜边【变式1-1】的三边长为3，4，，若是直角三角形，则的值可以是（

）A．2 B． C． D．6【答案】B【详解】解：设第三边为x，（1）若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得：，所以；（2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得，所以；所以第三边的长为5或，故选：B．【变式1-2】在中，，，直角边的中点为，点在斜边上且，若为直角三角形，则的值为

．【答案】3或4【详解】解：①当时，，，，的中点为，，；②当，，，，的直角边的中点为，，．故答案为：3或4．【变式1-3】中，，，点在线段上，若为直角三角形时，的度数为（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【详解】解：∵在中，，，∴，如图1所示，当时，则；如图2所示，当时，则；综上所述，的度数为或，故选：D．易错陷阱二、求最短路径时，无法找到正确的展开方式解决立体图形最短路径问题的核心是将三维展开为二维平面处理。例如将长方体、圆柱体表面展开后，转化为平面两点间线段最短问题，用勾股定理计算对角线长度。圆锥体需展开侧面为扇形，寻找起点与终点间的最短弧长易错总结：解题关键是识别展开方式，注意不同展开图可能对应不同路径，最终取最小值【例3】如图，一个圆桶，底面周长为，高为，有一只小虫从底部点A处爬到上底B处的最短路径长为．【答案】【详解】解：由题意，得．如图，在中，由勾股定理，得．故答案为：．【例4】如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点P在棱上，，若一只蚂蚁从A点开始沿图中3个侧面（即沿）爬行到达P点，则蚂蚁爬行的最短路径长为．【答案】5【详解】解：将长方体展开，连接A、P，如图，当点M、N在线段上时，根据“两点之间线段最短”，得最短路径为线段的长，∵长方体的底面边长分别为和，高为，点P在棱上，且，∴，，∴，即蚂蚁爬行的最短路径长为．故答案为：5．【变式2-1】长方体的长、宽、高分别是3、4、1，一只蚂蚁沿着长方体的外表面从A点爬到B点，最短路径长为．【答案】【详解】解：第一种情况：如图1，把我们所看到的前面和右面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是7和1，则所走的最短线段；第二种情况：如图2，把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是4和4，所以走的最短线段；第三种情况：如图3，把我们所看到的前面和上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是3和5，所以走的最短线段；∵，∴三种情况比较而言，第二种情况最短．故答案为：．【变式2-2】如图，正方体的棱长为是正方体的一个顶点，是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点爬到点的最短路径长是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：如图，正方体的左侧面与前面展开，得到长方形，过B作于C点；由于正方体棱长为，则，，由勾股定理得：；故选：B．【变式2-3】如图，一只蚂蚁从一个正方体纸盒的点沿纸盒表面爬到点，它所爬过的最短路径（虚线）在侧面展开图中的位置是图中的（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：把此正方体的一面展开，根据两点之间线段最短可知，蚂蚁所爬过的最短路径（虚线）在侧面展开图中的位置如选项B中所示，故选B．【点睛】本题考查了平面展开—最短路径问题，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．易错陷阱三、求解折叠问题时考虑不全面在勾股定理解决折叠问题时，需先明确折叠前后的对应边角关系，找到隐藏的直角三角形，标清已知量与未知量，设未知数后结合勾股定理列方程【例5】如图，直线分别与、轴交于，两点，点的坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且．点是轴上的一点，连接，将沿直线翻折，当点的对应点恰好落在轴上时，此时点的坐标为．【答案】或【详解】∵直线过点，，，当时，，∴点的坐标为，即，，，∵点在轴正半轴，∴点的坐标为，依照题意画出图形，如图所示．由翻折得，，，，，，∴设，则或，在中，，∴，即或，解得：或，点P的坐标为或．故答案为：或【例6】如图，在中，，，，点D为边上一点，连接，将沿翻折得到，当与的直角边垂直时，的长为．【答案】2或6【详解】解：①当时，延长交于点，，，，，由折叠的性质可知，，，，，，，平分，，，，，，设，，则，，，，，，，，，；②当时，令与的交点为，，，，由折叠的性质可知，，，，综上可知，的长为2或6，故答案为：2或6．【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想解决问题是关键．易错警示：易错警示：注意验证方程解是否符合实际几何条件，避免忽略全等图形性质或误判折叠后的边长关系，同时警惕计算错误导致结果偏差【变式3-1】如图，菱形中，，点M为上一点，且，点P为上一个动点，将沿折叠得到，点A的对应点为点Q，连接，当点Q落在菱形的对角线上时，的长为．

【答案】或【详解】解：连接．如图1中，当点Q落在对角线上时，设，，∵四边形是菱形，∴，∵，∴是等边三角形，∴，，，，由翻折变换的性质可知，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，解得，（负值已经舍去），经检验，是分式方程的解，∴；如图2中，当点Q落在对角线上时，设交于点O，交于点J．∵四边形是菱形，∴，由题意，都是等边三角形，∵，∴，∵，，∴，∴，∴．综上所述，的长为或．故答案为：或．【点睛】本题考查翻折变换，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．【变式3-2】如图，一次函数的图象与轴交于点与轴交于点，是轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠，当点落在轴上时，点的坐标为．【答案】或【详解】解：∵的图象与轴交于点与轴交于点，当时，，当时，，∴，∴，∴，设，如图1，当A点落在y轴正半轴上处时，连接，∵与关于对称，∴，∴，∵，在中，，∴，∴；如图2，当A点落在y轴负半轴上处时，连结，由对称可得，，∴，在中，，∴，∴；综上所述：C点坐标为或，故答案为：或．【变式3-3】如图，在中，，，，点D是边上的一个动点，连接，将沿折叠，得到，当与的直角边垂直时，的长是．【答案】6或2【详解】解：如图1，，∵，∴，∴，∴，由折叠得，∵，∴，∴；如图2，，设垂足为点H，则，∴，∴，由折叠得，∴，∴，∵，∴，综上所述，的长为6或2，故答案为：6或2．【点睛】此题重点考查勾股定理、平行线的判定与性质、翻折变换的性质、等腰三角形的判定、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正解地进行分类讨论是解题的关键．易错陷阱四、特殊角三角函数值记忆错误特殊角的三角函数值三角函数30°45°60°1易错总结：可以利用三角板推导30°、45°、60°的正弦、余弦、正切值，强化图形关系理解，最后多练习推导应用避免死记硬背【例7】计算：．【答案】【详解】解：原式．【例8】如图，点、、是正方形网格上的三个格点，以为圆心，为半径作，点是圆上任意一点，且是锐角，则的值为．【答案】【详解】解：由题意和正方形的性质得，，∴，∴．故答案为：．【变式4-1】在中，满足：，则的形状为．【答案】等边三角形【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴是等边三角形．故答案为：等边三角形．【变式4-2】在中，，那么是（

）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【详解】解：∵，∴，∴，∴，是等腰三角形故选：A．【变式4-3】如果中，，则下列结论正确的是（）A．是等边三角形 B．是钝角三角形C．是等腰直角三角形 D．是锐角三角形【答案】C【详解】解：，，是等腰直角三角形．故选C．易错陷阱五、记错三角函数对应边的比例关系如图所示，在中，所对的边记为，叫做的对边，也叫做的邻边，所对的边记为，叫做的对边，也是的邻边，直角所对的边记为，叫做斜边．锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即；锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即；锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即.易错总结：在三角函数边比关系中，需明确各函数定义（如sin=对边/斜边），避免混淆对应边【例9】如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角，点都在格点上，则的值是．【答案】【详解】解：如图，连接，，设菱形的边长为，由题意得，，，，则，∴，∵，∴，∴、、共线，在中，．故答案为：．【例10】数学试卷）如图，在中，，点D是上一点，且，连结，E、F分别为中点，连结，若，．(1)求四边形的面积；(2)求的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：∵E、F分别为中点∴，，又∵，∴，，∴四边形为平行四边形∵，，∴，，∵，，∴∴∴，∵F为中点，∴，∴平行四边形的面积为；（2）解：∵为的中点，∴又∴是等边三角形，∴∵四边形是平行四边形，∴作，交于点G，∵∴∴∴易错警示：易错警示：当图象比较复杂的时候，需针对某个直角三角形进行计算，找准里面的对边，邻边，斜边，不要看成其他三角形的边了【变式5-1】如图，某中学九（9）班数学课外活动小组在河边测量河宽（这段河流的两岸平行），他们在点测得，点测得，则河宽为．【答案】69【详解】解：在中，，，，，在中，，，故答案为：69．【变式5-2】如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，直线与相交于点D，连接，若，则的值为（

）A．0.5 B．0.6 C．0.625 D．0.8【答案】B【详解】解：由作图方法可知垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故选：B．【变式5-3】如图，，，点在边上，，，分别交于点，．若，则（用含的式子表示）．【答案】/【详解】．在中，，又，∴．故答案为：．易错陷阱六、没理解好坡角等实际问题中的概念1.坡度坡角在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成的形式.2.仰角俯角问题仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.3.方位角问题方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，的方位角分别为是.（2）方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线的方向角分别表示北偏东，南偏东，南偏西，北偏西.特别如：东南方向指的是南偏东，东北方向指的是北偏东，西南方向指的是南偏西，西北方向指的是北偏西易错总结：解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【例11】如图，小明想测量塔的高度，他在A处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进至塔的另一侧B处，测得仰角为，那么该塔的高度有多高？(小明的身高忽略不计，结果精确到，参考数据：)【答案】该塔的高度约为【详解】解：设该塔的高度为，由题意得：，，，，在中，，在中，，∵，∴，解得，答：该塔的高度约为．【例12】随着时代的发展和人们生活水平的提高，私家车越来越多，停车越来越难，停车场的建造就成为解决问题的途径之一．如图是一个新建的地下停车场的设计示意图，已知坡道的坡比，的长为8.4米，的长为0.9米．按规定，停车场坡道口上方需张贴限高标志，以便告知停车人其车辆能否安全驶入，请根据所给数据，确定该停车场入口的限高，即的长为多少？【答案】2.4米【详解】解：延长交于点E，，，，，，．，．∴，设，，根据勾股定理可得：，即，解得：，∴米．答：点D到的距离的长为2.4米．【变式6-1】寒假期间，小明和小亮相约在公园进行跑步练习，两人从公园大门出发，准备沿路线跑到终点，一起跑到点后，小明体力不支，准备走近路，小亮则继续按原计划路线行进，已知点在点的东北方向米处，点在点的正东方向，米，点在点的正东方向，点在点的北偏东方向上．（参考数据：，，）(1)求的长度；（结果保留根号）(2)同时离开点后，小明的速度是每分钟米，小亮的速度是每分钟米，请通过计算说明，离开点多少分钟后，小亮已跑过点且在小明的南偏东方向上？（结果精确到）【答案】(1)米(2)分钟【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，过点作于点，依题意，四边形是矩形，，∴，在中，，∴，在中，，在中，∴（米）（2）如图所示，小亮和小明分别位于点，设分钟后，小亮已跑过点且在小明的南偏东方向上，依题意，，∴∴，设在中，，∴小明的路程为：，即，解得：小亮的路程为：即解得：分钟【变式6-2】如图，大楼上悬挂一条幅，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为，此时小颖距大楼底端N处20米．已知坡面米，山坡的坡度（即），且D，M，E，C，N，B，A在同一平面内，E，C，N在同一条直线上．（参考数据：）(1)填空：________，________；(2)求条幅的长度．（结果精确到1米）【答案】(1)，(2)条幅的长度是17米【详解】（1）解：过点作于，则，∵，∴，∴，故答案为：，；（2）解：过点作于，∵坡面米，山坡的坡度米，米，米，，米，米，，米，米，答：条幅的长度是17米．【变式6-3】如图，在一次数学实践活动中，张老师带领学生去测量学校附近一座垂直于地面的古塔的高度，小凡同学从古塔底部的点B处前行到达斜坡的底部点D处，然后沿着斜坡前行到达最佳测量点E处，在点E处测得塔顶A的仰角为，已知斜坡与水平地面的夹角为，且点A，B，C，D，E在同一个平面内，求该古塔的高度．（参考数据：，，，）【答案】【详解】解：过作于，于，

则，∴四边形是矩形，，，斜坡与水平地面的夹角为，，，，则，∴，，即，∵从古塔底部的点B处前行到达斜坡的底部点D处，∴，在中，，即，解得，∴，∴该古塔的高度为．1．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：如图，延长到，连接由图可知：∵，∴故选D．2．在中，若，，都是锐角，则是三角形．【答案】等腰直角【详解】解：由可得，即，解得：，则，∴为等腰直角三角形，故答案为：等腰直角．3．如图，在中，，，，点，分别是，边上的动点，沿所在直线折叠，使点的对应点始终落在边上，若是直角三角形时，则的长为．【答案】或【详解】解：∵折叠，∴①当时，∵，∴，∴，又，∴，∴，∴；②当时∵，∴，又，∴，∴，∴；综上，的长为或．4．如图，在锐角中，，点O为上一动点（点O与点B，C不重合），点P是射线上的一个动点，连接，，若，点O为的中点，且为直角三角形时，则．【答案】或或3【详解】解：①如图1，若点P在右侧，且，点O为的中点，，，，是等边三角形，，在中，；②如图2，若点P在右侧，且，点O为的中点，，，，又，，，在中，，在中，；③如图3，若点P在左侧，且，点O为的中点，，，是等边三角形，；综上所述，的长为或或3．故答案为：或或3．5．如图，一圆柱高，底面半径是，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点A爬到点B，圆周率π取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为．【答案】【详解】解：如图所示，，由勾股定理得：，故答案为：．6．计算：．【答案】【详解】解