易错10 对称、平移、旋转变换（七大易错分析+举一反三+易错题通关）（解析版）

易错10对称、平移、旋转变换易错陷阱一、对称轴条数及点关于坐标轴对称的点判断错误关于坐标轴对称的点的坐标性质（1）关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数；点关于轴对称的点的坐标为.（2）关于轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数；点关于轴对称的点的坐标为.易错总结：在坐标系中，关于轴对称时点的横坐标变号，但可能误改纵坐标或符号方向【例1】下列四个交通标志牌中，只有一条对称轴的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：A．图中有4条对称轴，故A不符合题意；B．图中有1条对称轴，故B符合题意；C．图中有2条对称轴，故C不符合题意；D．不是轴对称图形，故D不符合题意．故选：B．【例2】下列图形中，对称轴最多的图形是（

）A．等边三角形 B．正五边形 C．正方形 D．平行四边形【答案】B【详解】解：等边三角形有条对称轴，正五边形有条对称轴，正方形有条对称轴，一般的平行四边形没有对称轴，对称轴最多的图形是正五边形，故选：B．易错警示：易错警示：注意点关于坐标轴对称的规律为：关于谁对称谁不变【变式1-1】点关于轴对称的点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是；故选：D．【变式1-2】在平面直角坐标系中，的位置如图所示，按要求解下列问题：(1)写出点关于轴的对称点的坐标；(2)判断的形状并说明理由．【答案】(1)(2)是直角三角形【详解】（1）解：∵点C的坐标为，∴点C关于x轴的对称点的坐标为；（2）解：是直角三角形，理由如下：∵，∴，，，∴，∴是直角三角形．【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上，且点的坐标为，和关于轴对称（点，的对应点为点，）．(1)在图中把和补充完整；(2)请直接写出的面积．【答案】(1)作图见解析(2)【详解】（1）解：∵点和关于轴对称，点和关于轴对称，∴，，把和补充完整如图所示：（2）如图，分别过点、作轴的平行线，分别过点、作轴的平行线，交点为、、．∴，∴的面积为．易错陷阱二、混淆轴对称、轴对称图形和中心对称1．轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴.注意：①轴对称图形的对称轴是一条直线；②轴对称图形是1个图形；③有些对称图形的对称轴有无数条。2．两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线称为这两个图形的对称轴.3．若一个图形绕某点旋转180°后，能与另一个图形完全重合，则称这两个图形关于该点成中心对称。易错总结：注意轴对称是关于直线的对称，中心对称是关于点的对称；轴对称图形只有一个图形，轴对称是有两个图形【例3】有下列说法：①两个图形成轴对称，则对称点一定在对称轴的两侧；②能完全重合的两个图形一定成轴对称；③沿一条直线折叠后能完全重合的两个图形成轴对称；④经过平移能完全重合的两个图形成轴对称．其中正确的是．（填写序号）【答案】③【详解】解：①两个图形成轴对称，则对称点不一定在对称轴的两侧，故此选项不符合题意；②能完全重合的两个图形不一定成轴对称，故此选项不符合题意；③沿一条直线折叠后能完全重合的两个图形成轴对称，故此选项符合题意；④经过平移能完全重合的两个图形不一定成轴对称，故此选项不符合题意；故答案为：③．【例4】下列图形中，是轴对称图形的是（

）．A． B．C． D．【答案】D【详解】解：．不是轴对称图形，，故该选项不符合题意；．不是轴对称图形，故该选项不符合题意；．不是轴对称图形，故该选项不符合题意；．是轴对称图形，故该选项符合题意；故选：D．【变式2-1】下列美丽的图案中是轴对称图形的个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【详解】解：第1个图形中，存在一条直线，沿此直线折叠，直线两旁部分完全重合，是轴对称图形．第2个图形中，找不到任何一条直线，使折叠后直线两旁部分重合，不是轴对称图形．第3个图形中，存在一条直线，沿此直线折叠，两边完全重合，是轴对称图形．第4个图形中，存在多条对称轴（如竖直、水平直线），沿对称轴折叠后两边重合，是轴对称图形．综上，轴对称图形有3个，故选：B．【变式2-2】下列各图形中，从图形Ⅰ到图形Ⅱ一定不能通过轴对称得到的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：A、图形Ⅰ和图形Ⅱ成轴对称，不符合题意；B、图形Ⅰ和图形Ⅱ成轴对称，不符合题意；C、图形Ⅰ和图形Ⅱ不成轴对称，符合题意；D、图形Ⅰ和图形Ⅱ成轴对称，不符合题意；故选：C．【变式2-3】如图，若凹四边形中，，则称凹四边形为“箭头形”．请根据“箭头形”的图形特征，解答下面两个问题：

(1)“箭头形”是___________对称图形；(2)与是否相等？请说明理由．【答案】(1)轴(2)；理由见解析【详解】（1）解：“箭头形”是轴对称图形；（2）解：，理由如下：连接，如图所示：

∵，∴，，∴，∴．易错陷阱三、将军饮马问题不会套用模型将军饮马模型：模型1：已知：如图，定点分布在定直线两侧；要求：在直线上找一点，使的值最小解法：连接交直线于点，点即为所求，的最小值即为线段的长度理由：在上任取异于点的一点，连接，在中，，即，∴为直线与直线的交点时，最小模型2：已知：如图，定点和定点在定直线的同侧要求：在直线上找一点，使的值最小（或的周长最小）解法：作点关于直线的对称点，连接交于，点即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线为线段的中垂线，由中垂线的性质得：，要使最小，则需值最小，从而转化为第1种模型易错总结：使用将军饮马模型时需注意：①是准确判断动点与定点的位置关系，优先构造对称点转化问题；②是验证对称后的路径是否共线，避免误用模型【例5】如图，三个顶点的坐标分别为，，．(1)请画出关于轴对称的；(2)在轴上找一点，使得最小（画出图形，找到点的位置）．【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析【详解】（1）解：如图所示，即为所求；（2）解：如图所示，点即为所求．【例6】如图，等腰三角形的底边长为8，面积是48，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（

）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】C【详解】连接，与的交点为，，是的垂直平分线，点与点关于直线对称，，此时周长最小，是等腰三角形，是的中点，，长为，面积是48，，周长最小，故选：C．易错警示易错警示：在做题的时候还要区分“线段和最小”与“线段差最大”两类问题，前者用对称转化，后者需延长找点【变式3-1】如图，在中，点在直线上，直线，相交于点．(1)画关于直线成轴对称的；(2)在直线上画出点，使的值最小．【答案】(1)见解析(2)见解析【详解】（1）如图所示，分别做点、的对称点，连接、、，则即为所求；（2）如图所示，作点关于直线的对称点，连接，交直线与点，点即为所求．【变式3-2】如图，在中，，，点在上，且，过点作的垂线交于点，点为线段上一个动点，若，则的周长的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，即的周长最小．在中，，，，，根据勾股定理可得，，∴，在中，，，的周长的最小值，故选：B．【变式3-3】如图，三个顶点的坐标分别为，，(1)请画出将关于原点成中心对称的图形；(2)画出以点为旋转中心逆时针旋转后得到的图形：点旋转到点所经过的路径长为_____．(3)在轴上找一点，使的值最小，则点的坐标为_____．（直接写出答案）【答案】(1)见解析(2)，图见解析(3)【详解】（1）如图，为所作（2）解：如图，为所作点旋转到点所经过的路径长为故答案为：．（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，如图，则，

，，此时的值最小，设直线的解析式为，把，分别代入得，解得，直线的解析式为，当时，，解得，点坐标为．易错陷阱四、混淆点的平移规律和函数的平移规律平移规律：①基本图形的平移认准平移要素——平移方向、平移距离；②坐标系内点的平移规律——左减右加（横坐标），上加下减（纵坐标）；③函数的平移规律——左加右减（自变量），上加下减（整体表达式）易错总结：点的平移规律和函数的平移规律刚好相反，要特别区分【例7】如果把点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：向右平移2个单位长度得到：即，再向上平移3个单位长度得到：即．故选：A．【例8】如图，三角形中任意一点向左平移3个单位长度后，点的对应点恰好在轴上，将三角形同样向左平移3个单位长度得到三角形．若点的坐标是，则点的对应点的坐标是．【答案】【详解】解：∵三角形中任意一点向左平移3个单位长度后，点的对应点恰好在轴上，∴，得，∴点的坐标是，则点的对应点的坐标是，故答案为．易错警示：易错警示：在做函数平移的题目的时候，还要特别注意提取的系数，将平移的数据与自变量写在一个括号内【变式4-1】在平面直角坐标系中，将二次函数的图像先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：将二次函数的图像先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为，故选：D．【变式4-2】将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线的顶点坐标是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：由题知，，则将抛物线的图象向右平移1个单位后，再将所得抛物线向下平移2个单位后，所得抛物线的解析式为，此时抛物线的顶点坐标为．故选：C．【变式4-3】将一次函数向左平移个单位后得到一个正比例函数，则的值为．【答案】【详解】解：依题意，一次函数向左平移个单位后得到，∴∴故答案为：．易错陷阱五、平移前后的图形要不善于利用平行四边形易错总结：平移几何图形时，不经可以得图形全等，还可以得对应边的位置关系是平行，后续则可以利用平行的基本规律求解问题【例9】如图，在中，，，，把沿着直线的方向平移后得到，连接，，有以下结论①；②；③；④，其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【详解】解：沿着直线的方向平移后得到，，故①正确；，故②正确；故③正确；，又，，，故④正确；故选：D．【例10】如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，)，连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作，由平移得到，，，，①当时，设，则，∵，，，，解得：，，②当时，设，则，，，，解得：，；第二种情况：当点在外时，过点作，由平移得到，，，，①当时，设，则，，，，解得：，；②当时，由图可知，，故不存在这种情况，综上所述，或或．故选：C．【变式5-1】如图，沿边向右平移得到，若，则的长为（

）A． B．3 C． D．6【答案】B【详解】解：，．沿边向右平移得到，．，即．解得．故选B．【变式5-2】如图，将沿方向平移得到，交于点H，，，则阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：由平移的性质可知：，，∴，∴，∴，∴，∴；故选：C．【变式5-3】如下图，在平面直角坐标系中，已知点，．(1)分别将点A，B水平向左平移2个单位长度到达点M，N处，连接，，．求三角形的面积；(2)过点B作y轴的垂线，垂足为E．若点F在y轴上，且，求点F的坐标；(3)Q为线段上一动点（不含端点），连接，．试猜想，和之间的关系，并说明理由．【答案】(1)(2)或(3)，理由见解析【详解】（1）解：，，分别将点A，B水平向左平移2个单位长度到达点M，N处，，，；（2）解：过点B作y轴的垂线，垂足为E，，设点F的坐标为，则，，解得：或，点F的坐标为或；（3）解：，理由如下：如图，过点Q作交于点H，由平移的性质可知：，，，，．【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——平移，平移的性质，三角形的面积公式，平行公理的推论，两直线平行内错角相等，绝对值方程等知识点，熟练掌握坐标与图形变化——平移及平移的性质是解题的关键．易错陷阱六、旋转作图做错旋转作图（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等.易错总结：旋转作图中，需注意三点：①明确旋转中心、方向和角度，确保每个关键点绕中心按指定方向转动相同角度；②对应点到旋转中心的距离必须相等，可用圆规截取等长线段【例11】如图，在平面直角坐标系中，，．(1)若与成中心对称（点与点对应），试在图中画出．(2)将（1）中的绕点顺时针旋转得到，试在图中画出，并写出的坐标．(3)若将绕点旋转可得到，则点的坐标是．【答案】(1)见解析(2)作图见解析，(3)【详解】（1）解：如图，为所求；（2）解：如图，为所求，；（3）解：点的坐标，故答案为：．【例12】如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，．(1)作与关于原点成中心对称的图形；(2)将绕着顺时针方向旋转，求点经过的路径长．【答案】(1)见解析(2)作图见解析，【详解】（1）解：如图，就是所求的三角形.（2）如图，绕着顺时针方向旋转得到，，，∴点经过的路径长为以为圆心，半径长为，且圆心角为的的长，∵，，，，∴点经过的路径长为．易错警示：易错警示：旋转后的图形需与原图全等，检查对应线段长度、角度是否一致，避免遗漏关键点或连接错误【变式6-1】如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，在给出的平面直角坐标系中：画出绕点顺时针旋转后得到的；并直接写出、的坐标．【答案】作图见解析，，【详解】解：如图，为所作，，；【变式6-2】如图，画出绕点M按顺时针方向旋转后的图形．【答案】见解析【详解】解：如图，即为所求．【变式6-3】如图，是“俄罗斯方块”游戏的示意图．若使上方的“T”型方块组（阴影部分）落下后刚好填满下方两层的空格，则可以将上方的方块组（

）A．先绕点逆时针旋转，再向下平移4格 B．先绕点顺时针旋转，再向下平移4格C．先绕点逆时针旋转，再向下平移5格 D．先绕点顺时针旋转，再向下平移5格【答案】B【详解】解：若使上方的“T”型方块组（阴影部分）落下后刚好填满下方两层的空格，则可以将上方的方块组先绕点顺时针旋转，再向下平移4格，故选：B．易错陷阱七、旋转对称图形的最小角度误判易错总结：旋转对称图形的最小旋转角度需为360°除以对称分支数，且必须小于360°【例13】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．(1)画出绕原点逆时针旋转得到的；(2)求中点经过的路径的长（结果保留）．【答案】(1)见解析；(2)．【详解】（1）解：如下图所示，分别作点、、绕点逆时针旋转得到的对应点、、，连接点、、，得到，即为所作；（2）解：，的长为．【例14】如图，五角星图案围绕中心旋转，至少旋转多少度才能与自身重合（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：由题意得，至少旋转才能与自身重合；故选：D．【变式7-1】如图是小亮同学用等分圆周的方法画出的美丽图案，将该图案绕其中心旋转一定的角度能与自身重合，则旋转角度不能是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：根据题意可得圆内是一个正八边形，则，将该图案绕其中心旋转一定的角度能与自身重合，则旋转角度是的整倍数，，不是整数，旋转角度不能是，故选：B．【变式7-2】下列图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形重合，其中旋转角度最小的是（

）A．等边三角形 B．平行四边形 C．正八边形 D．正六边形【答案】C【详解】A．最小旋转角度；B．最小旋转角度；C．最小旋转角度；D．最小旋转角度．故选：C．【变式7-3】如果规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，就称此图形为旋转对称图形．那么在①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形中，是旋转图形，且有一个旋转角为的是．【答案】③【详解】解：①正三角形最小旋转角是；②正方形最小旋转角是；③正六边形最小旋转角是；④正八边形最小旋转角是；故答案为：③．1．如图，这个图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身重合，则角的度数可以为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：，∴此图案绕旋转中心旋转的整数倍时，能够与自身重合，∴可以为．故选：C．2．已知四边形中，点的坐标为，平移四边形，使点的对应点的坐标为，则实现平移的方法可以是（

）A．先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度B．先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度C．先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度D．先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度【答案】C【详解】解：点的坐标为，平移四边形，使点的对应点的坐标为，实现平移的方法可以是先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，故选：C．3．将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的抛物线的顶点式为．【答案】【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的解析式为，即，故答案为：．4．如图所示的图形中，有且仅有两条对称轴的是（填序号）．【答案】③⑤/⑤③【详解】解：如图所示，①过圆心的任一直线都是它的对称轴，它有无数条对称轴，不符合题意；②有四条对称轴，不符合题意；③有两条对称轴，符合题意；④有一条对称轴，不符合题意；⑤有两条对称轴，符合题意；故答案为：③⑤．5．如图，中，，，，D为边的中点，的垂直平分线l交于点E，若P为直线l上一动点，则的周长的最小值为（）A．7 B．10 C．12 D．14【答案】C【详解】如图，在中，，，点D为边的中点，连接，