考研测绘科学与技术2025年测量平差试卷（含答案）

考研测绘科学与技术2025年测量平差试卷（含答案）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题2分，共10分。请将正确选项的字母填在题后的括号内）1.在条件平差中，平差参数的权倒数矩阵Q的逆矩阵是（）。A.观测值协方差矩阵P的逆矩阵B.待定参数协方差矩阵V的逆矩阵C.条件方程系数矩阵A的逆矩阵D.法方程系数矩阵N的逆矩阵2.对于附合水准路线，其平差时通常需要列出（）个约束方程。A.1B.2C.路线测站数减1D.路线测站数3.在平差计算中，单位权中误差σ₀的计算公式为（）。A.σ₀=√(ΣVi²/n)B.σ₀=√(ΣVi²/(n-t))C.σ₀=√(ΣpVi²/(n-t))D.σ₀=√(ΣpVi²/n)4.若对一个向量的每个分量都加上一个常数，该向量的中误差（）。A.变大B.变小C.不变D.无法确定5.在参数平差中，参数的权倒数与其协因数（）。A.相等B.互为倒数C.成正比D.成反比二、填空题（每空2分，共20分。请将答案填在题中的横线上）1.测量平差的根本目的是消除观测值之间的________，求出未知量的最或然值。2.条件平差中，条件方程的个数t等于________减去________。3.平差值与观测值之差称为________。4.在水准测量中，设后视读数为a，前视读数为b，高差h=a-b，若a、b的中误差分别为m₁、m₂，则高差h的中误差m_h=________。5.平差精度评定中，未知参数的方差σ²_β通常通过法方程的逆矩阵N⁻¹中的对角元素________来求得。6.由独立观测值直接平差得到的结果，其精度通常比间接平差得到的结果________。三、计算题（共60分）1.某水准测量附合路线，已知起止点高程分别为H_A和H_B，观测高差及测站数见下表（表未给出，按常规给出数据即可）。现采用条件平差法进行平差，列出两个约束方程：h₁+h₂+...+h_n=H_B-H_A（Σh=H_B-H_A）和Σh=0（闭合差为零）。试写出该平差问题的法方程矩阵N和未知参数改正数向量l的表达式。（15分）2.对某角度进行4次独立观测，观测值分别为L₁=180°00′20″,L₂=179°59′45″,L₃=179°59′50″,L₄=180°00′15″。试用严密平差方法计算该角度的最或然值及其方差。（15分）3.设有两个独立观测值L₁和L₂，其中误差分别为m₁=±2″和m₂=±3″。求下列组合量的中误差：(1)L=L₁+L₂（10分）(2)L=L₁-2L₂（10分）4.在参数平差中，已知参数向量为β=[β₁,β₂]ᵀ，观测方程为L=AX+V，其中A为已知系数矩阵，X=[x₁,x₂]ᵀ为待求参数向量。若X的协因数矩阵Q_XX为已知，试写出观测值L的协方差矩阵P_L的表达式。（10分）5.某平差问题，未知参数个数为t，观测值个数为n。若采用间接平差，试写出误差方程的矩阵形式Q_XX=________，B的意义是什么？（10分）四、简答题（每题10分，共20分）1.简述测量平差中“最或然值”的含义。2.简述条件平差和参数平差的主要区别。五、论述题（10分）试论述平差计算中，选择合适平差方法的依据是什么？试卷答案一、选择题1.C2.A3.C4.C5.A二、填空题1.不符值2.观测值个数，未知参数个数3.改正数4.√(m₁²+m₂²)5.σ²_β或Q_ββ6.高三、计算题1.法方程矩阵N：N=AᵀPA（A为约束方程系数矩阵，P为观测值权矩阵）未知参数改正数向量l：l=-N⁻¹AᵀW（W为约束方程闭合差向量）2.严密平差：*计算观测值平均值L̄=(L₁+L₂+L₃+L₄)/4=180°00′30″*计算观测值与平均值的差Vᵢ=Lᵢ-L̄，得到V₁=-10″,V₂=-15″,V₃=-10″,V₄=15″*计算观测值改正数平方和ΣpVᵢ²=1²+1.5²+1²+1.5²=6.5*单位权中误差σ₀=√(ΣpVᵢ²/(n-1))=√(6.5/3)=√2.1667=±1.45″*最或然值L=L̄+σ₀²ΣpVᵢ/Σp=180°00′30″+(1.45²*6.5)/(1+1.5+1+1.5)=180°00′30″+(2.09025/5)=180°00′30″+0.41805″≈180°00′30.42″*最或然值方差σ²_L=(σ₀²/Σp)=(1.45²/5)=2.09025/5=0.41805″²**注：此处假设各观测值精度相同，即权P=1*3.(1)L=L₁+L₂：*m_L=√(m₁²+m₂²)=√(2²+3²)=√(4+9)=√13≈±3.61″**解析思路：根据误差传播定律，两个独立随机量代数和的中误差等于它们中误差平方和的平方根。**(2)L=L₁-2L₂：*m_L=√(m₁²+(2m₂)²)=√(2²+(2*3)²)=√(4+36)=√40≈±6.32″**解析思路：根据误差传播定律，一个随机量乘以常数，其结果的中误差等于原中误差乘以该常数的绝对值；两个独立随机量代数差的其中误差等于它们中误差平方和的平方根。*4.P_L=Q_XXᵀAᵀP（假设AᵀP是满秩的）**解析思路：根据参数平差理论，观测值向量L的协方差矩阵P_L等于参数协因数矩阵Q_XX与系数矩阵AᵀP的乘积。*5.Q_XX=AᵀPA⁻¹（假设A是满秩的）*B的意义：误差方程系数矩阵。**解析思路：根据间接平差理论，未知参数向量X的协因数矩阵Q_XX等于误差方程系数矩阵B的转置Bᵀ与权矩阵P的乘积的逆矩阵。由于BᵀP=AᵀPA，故Q_XX=(AᵀPA)⁻¹=AᵀPA⁻¹。*四、简答题1.最或然值含义：在等精度观测或已知权的情况下，通过平差计算得到的结果，是在当前观测数据和数学模型条件下，对被测未知量真值的最佳估计值。它综合考虑了所有观测值的信息和约束条件。2.条件平差与参数平差区别：*条件平差：直接对观测值进行平差，未知参数是观测值的函数。通过构造约束方程（如闭合差为零）来消除观测值之间的多余精度，求解的是观测值的最或然值。适用于处理控制测量等具有几何约束的平差问题。*参数平差：直接对未知参数进行平差，观测值是参数的函数（误差方程）。通过误差方程来描述观测值与参数之间的关系，求解的是未知参数的最或然值。适用范围更广，可以直接处理各种复杂的平差问题，且计算过程有时更简洁。五、论述题选择平差方法依据：选择合适的平差方法主要依据以下因素：1.观测数据的类型和性质：区分是角度、距离、高差等直接观测值，还是它们组合的间接观测值（如方位角、边长）。2.平差问题的约束条件：是否存在几何约束（如闭合导线、水准环）、物理约束或其他已知条件。几何约束常用条件平差处理，物理约束或更复杂的关系可能需要参数平差或综合平差。3.未知量的定义：未知量是直接观测值本身（如直接平差），还是未知参数（如条件平差、参数平差）。4.计算效率和精度要求：不同方法的计算复杂度和对计算工具的要求不同。参数平