第03讲 分式（练习）【2大考点12大题型】（举一反三）（解析版）-2025年中考数学一轮复习（全国版）

第页第03讲分式【2大考点12大题型】考点一考点一分式的概念和性质【题型1分式有、无意义的条件】（2024·贵州安顺·中考真题）当x=1时，下列分式没有意义的是（

）A．x+1x B．xx−1 C．x−1x【答案】B【分析】由分式有意义的条件分母不能为零判断即可.【详解】xx−1故选B.【点睛】本题考查分式有意义的条件,关键在于牢记有意义条件.（2024·江苏淮安·中考真题）当x=时，分式1x−3【答案】3【分析】根据分式无意义的条件是分母等于0解答即可．【详解】解：若分式没有意义，则x﹣3=0，解得：x=3．故答案为3．【点睛】本题考查的是分式没有意义的条件：分母等于0，这是一道简单的题目．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数y=13+x+1x+2【答案】x>−3且x≠−2【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键．【详解】解：由题意可得，3+x>0x+2≠0解得x>−3且x≠−2，故答案为：x>−3且x≠−2．（2024·青海·中考真题）若代数式x+3x−2有意义，则x的取值范围【答案】x≥−3且x≠2【分析】根据题意，得代数式x+3x−2有意义的条件是x+3≥0且x−2≠0本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，熟练掌握取值有意义的条件是解题的关键．【详解】解：由题可知，x+3≥0且x−2≠0，解得x≥−3且x≠2．故答案为：x≥−3且x≠2．【题型2分式的值为0的条件】（2024·四川雅安·中考真题）若分式x−1x−1的值等于0，则x的值为（A．﹣1 B．0 C．1 D．±1【答案】A【分析】根据分式的值为0的条件即可得出答案．【详解】解：根据题意，x−1＝0，x−1≠0，∴x＝−1，故选：A．【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，掌握分式的值为0的条件：分子等于0且分母不等于0是解题的关键．（2024·山东滨州·中考真题）若分式x2−9x+3的值为0，则x【答案】3【分析】根据分式的值为0时分母≠0，且分子＝0两个条件求出x的值即可．【详解】由x2-9=0，得x=±3．又∵x+3≠0，∴x≠-3，因此x=3．故答案为3．【点睛】本题考查了分式值为0时求字母的值．分式值为0时分子=0，分母≠0，两个条件缺一不可，掌握以上知识是解题的关键．（2024·甘肃甘南·中考真题）已知若分式x2−2x−3x+1的值为0，则x【答案】3【详解】解：∵分式x2∴x2解得x=3．故答案为3．【题型3分式的值】（2024·广西百色·中考真题）当x＝﹣2时，分式3x2−279+6x+A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15【答案】A【分析】先把分子分母进行分解因式，然后化简，最后把x=−2代入到分式中进行正确的计算即可得到答案.【详解】解：3===把x=−2代入上式中原式=故选A.【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解运算.（2024·山西大同·中考真题）若分式x−222x−8+24−xA．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】先利用分式的运算法则把原式进行化简，再根据分式的值为正整数求出x的取值可以为多少．【详解】解：原式=x−2=x−2=x−2=x=x要使分式有意义，则x≠4，∴x=2，故选：C．【点睛】本题考查了分式的值，根据分式运算法则进行化简是解答本题的关键．（2024·四川攀枝花·中考真题）已知：x6=y4=z3（x、y【答案】3【分析】根据已知条件可设x=6k，y=4k，z=3k，将其代入所求式子，计算即可．【详解】解：∵x6=y4=z3∴设x=6k，则y=4k，z=3k，∴x+3y3y−2z故答案为：3．【点睛】本题考查了分式的求值，解此类题可根据分式的基本性质先用未知数k表示出x，y，z，再代入计算．（2024·吉林长春·中考真题）已知：x2+y2=3【答案】9【分析】本题考查的是整式的乘法与乘法公式的灵活应用，一元二次方程的解法，由x4+y4=x3+y3结合x4【详解】解：∵x4+y∴x3∴x3∵x3∴x2∵x2∴3x+y设x+y=m，xy=n，∴3m∵x2∴x+y2∴m2∴3m解得：m=7n=14，m=0∴x==x+y−=x+y−=x+y−=m−=7−=9【题型4分式的基本性质】（2024·江苏扬州·中考真题）分式13-xA．13+x B．-13+x C．1x−3【答案】D【分析】根据分式的基本性质逐项进行判断即可.【详解】A.13+x≠1B.-13+x=1−3-C.13−x≠=-D.-1x−3=1−（故选D.【点睛】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．（2024·浙江金华·中考真题）下列计算错误的是（

）A．0.2a+b0.7a−b=2【答案】A【分析】根据分式的运算法则逐一作出判断【详解】A、0.2aB、x3C、a−D、1c故选A.（2024·江苏·中考真题）如果把分式2xx+y中的x和y都扩大3倍，那么分式的值【答案】不变【分析】可以将x,y用3x，3y代入、化简，跟原式对比【详解】将x,y用3x，3y代入2yx+y6x3x+3y∴分式的值不变故答案为不变【点睛】此题考查了分式的基本性质，难度不大【题型5约分、通分】（2024·河南商丘·中考真题）化简：2x2−2xyA．6xy B．3y C．3x D．3xy【答案】D【分析】本题考查了分式的约分，把分子分解因式，然后约分即可．【详解】解：∵2x∴括号内应填3xy．故选D．（2024·贵州遵义·中考真题）在计算21+2x+x2A．1+2x+x2 B．2(x+1)2 C．【答案】B【分析】先将分母因式分解，进而确定公分母即可．【详解】∵1+2x+x∴计算21+2x+x2故选B【点睛】本题考查了找最简公分母，先将分母因式分解是解题的关键．（2024·广东河源·中考真题）已知a>0，b>0，且a4a+b=b【答案】见解析【分析】本题考查了分式的基本性质，等式的基本性质，用平方差公式分解因式等知识点，能正确根据分式和等式的性质进行计算是解此题的关键．先根据分式的进行性质等式的两边都乘4a+ba+4b得出aa+4b=b【详解】证明：a4a+b等式的两边都乘4a+ba+4b，得aa2a2a2a+ba−b∵a>0，b>0，∴a+b≠0，∴a−b=0，即a=b．【题型6最简分式】（2024·江苏扬州·中考真题）分式：①a+2a2+3；②a−ba2−bA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查了分式的性质，最简分式的定义，理解并掌握分式的性质化简及最简分式的定义是解题的关键．根据分式的性质化简分式，最简分式的定义“分子和分母没有公因式，或者只含有公因式1的分式称为最简分式”，进行判定即可求解．【详解】解：①a+2a2②a−ba③4a12a−b④1x−1∴是最简分式的有：①④，共2个，故选：B．（2024·湖南邵阳·中考真题）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，是“和谐分式”的是（）（填序号即可）．①x−1x2+1；②a−2ba2A．① B．② C．③ D．④【答案】B【分析】本题主要考查约分和最简分式．根据题意中“和谐分式”的定义判断即可．【详解】解：①x−1x②a−2ba③x+yx④a2故选：B．（2024·吉林·中考真题）化简：2a−2a2【答案】2【分析】本题主要考查了分式的化简，掌握分式的基本性质、约分是解题关键．直接将分式的分子和分母分解因式，然后再约分即可解答．【详解】解：2a−2故答案为：2a+1（2024·山西太原·中考真题）将分式m2−mnmn−【答案】m【分析】利用提公因式法把分式的分子、分母因式分解，再约分即可．【详解】解：m2故答案为：mn【点睛】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的性质是解题的关键．考点二考点二分式的运算【题型7分式的乘除】（2024·江苏苏州·中考真题）化简m−1mA．m B．1m C．m−1 D．【答案】A【分析】本题主要考查了分式的除法运算等知识点，根据分式的除法运算法则即可求出答案，解题的关键是熟练运用分式的除法运算法则．【详解】m−1==m，故选：A．（2024·浙江台州·中考真题）计算xy÷yx的结果是【答案】x【分析】本题考查分式的运算，根据分式的乘法和除法运算法则计算即可．【详解】xy÷y故答案为：x2（2024·吉林·中考真题）化简m−1m÷【答案】m【分析】本题考查分式的除法．将除法变成乘法，能分解因式的先分解因式，再进行化简即可．掌握分式的除法法则，是解题的关键．【详解】解：原式=m−1故答案为：mm+1（2024·天津河北·中考真题）有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：则第n次的运算结果是(用含字母x和n的代数式表示)．【答案】2【分析】此题考查了分式的规律题，根据分式的除法法则逐项计算，得到规律即可．【详解】解：根据题意得y1y2y3……根据以上规律可得：yn（2024·宁夏银川·中考真题）老师在黑板上书写了一道题目的正确计算过程，随后用手遮住了其中一部分，如图所示：

(1)求被手遮住部分的代数式．(2)等式左边代数式的值能等于0吗？请说明理由．【答案】(1)x(2)不能，理由见解析【分析】（1）设被手遮住部分的代数式为A，根据题意得出A的表达式，再根据分式混合运算的法则进行计算即可；（2）令原代数式的值为0，求出x的值，代入代数式中的式子进行验证即可．【详解】（1）设被手遮住部分的代数式为A，则A===x（2）原代数式的值不能等于0．若原代数式的值为0，则x+1x−1=0，即x+1=0，解得当x=−1时，x+1=0，分式无意义，∴故原代数式的值不能等于0．【点睛】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类提问题时要注意x的取值要保证每一个分式有意义．【题型8分式的加减】（2024·湖北武汉·中考真题）式子abc+bA．−3 B．0 C．1 D．3【答案】B【分析】首先根据分式的基本性质，将分式进行通分，然后分析式子的分子部分进行判断即可.【详解】解：原式==根据分式有意义的条件，可知a、b、c均不能为0∴a∴a故选B【点睛】本题考查了分式的基本性质，解决本题的关键是熟练掌握分式通分的方法和技巧.（2024·辽宁大连·中考真题）化简：k2−1【答案】k+1【分析】本题考查了分式的加法运算，先约分再相加即可．本题也可以先通分再约分，但相比先约分再计算要麻烦些，因此在有多种方法可解的情况，寻找最简捷的方法．【详解】解：k2故答案为：k+12（2024·四川广安·中考真题）已知直线y=−(n+1)n+2x+1n+2（n为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为Sn，则S1+S2+S3+…+【答案】5【分析】根据题意求得直线与坐标轴的交点，进而根据三角形的面积公式求解，从而求得Sn，进而求得答案．【详解】令x=0，则y=1令y=0，则−(n+1)解得：x=∴Sn∴S===503故答案为：5032014【点睛】本题考查了探索规律题（图形的变化类），一次函数图象与坐标轴的交点问题，求得直线与坐标轴的交点是解题的关键．（2024·吉林白山·中考真题）老师留的作业中有这样一道计算题：1x+3+1=x−3x+3=x−3+x+9

=2x+6

第三步老师发现小明的解答过程有错误．(1)小明的解答从第______步开始出现错误；(2)请写出正确的解答过程．【答案】(1)二(2)2【分析】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则；（1）小明的解答从第二步开始出现错误，错误的原因是去分母；（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则化简可得．【详解】（1）二（2）1=（2024·安徽亳州·中考真题）观察以下等式：第1个等式：12第2个等式：22第3个等式：32第4个等式：424+2按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：；(2)写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．【答案】(1)5(2)n2【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式；（2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想．【详解】（1）解：第1个等式：12第2个等式：22第3个等式：32第4个等式：42⋯⋯第6个等式：52故答案为：52（2）猜想：第n个等式：n2证明：∵n===4∴n2故答案为：n2【点睛】本题考查数字的变化类、列代数式，分式的混合运算，平方差公式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式和猜想，并证明．【题型9分式的混合运算】（2024·河北邢台·中考真题）用m+2m−2替换分式n−1n+1中的n后，经过化简结果是（A．2m B．2m C．m2 【答案】A【分析】将n=m+2m−2代入【详解】由题意得，n=∴=故选：A．【点睛】本题主要考查了分式的化简，渗透了整体代入的数学思想，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．（2024·河北邯郸·中考真题）（新考法）试卷上一个正确的式子1a+b+1a−b÷【答案】a【分析】本题考查了分式的混合运算．首先根据被除数除以商等于除数可得★=1a+b+1a−b【详解】解：∵1a+b+1∴★==1======a故答案为：aa−b（2024·内蒙古包头·中考真题）化简：1−a−1a+2【答案】−【分析】先把除法转化为乘法，并把分子、分母约分化简，然后通分，变为同分母的分式的减法计算.【详解】解：1−a−1a+2÷a故答案为−1【点睛】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．（2024·四川乐山·中考真题）化简：1【答案】1【分析】本题主要考查了分式的混合运算，灵活运用分式的混合运算法则成为解题的关键．直接运用分式的混合运算法则计算即可．【详解】解：1====1【题型10分式的化简求值】（2024·北京·中考真题）如果m+n=1，那么代数式(2m+nm2A．-3 B．-1 C．1 D．3【答案】D【分析】原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．【详解】解：原式=2m+n==∵m+n=1∴原式=3，故选D.【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．（2024·黑龙江绥化·中考真题）当x=2021+3时，代数式(x+3【答案】1【分析】先根据分式的加减乘除运算法则化简，然后再代入x求值即可．【详解】解：由题意可知：原式=====1当x=2021+3时，原式故答案为：12021【点睛】本题考查了分式的加减乘除混合运算，属于基础题，运算过程中细心即可求解．（2024·四川攀枝花·中考真题）如果a+b=2，那么代数式a−b2a÷a−b【答案】2【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【详解】当a+b=2时，原式=a=(a+b)(a−b)=a+b=2故答案为2【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．（2024·山东济南·中考真题）若m−n=2，则代数式m2−n【答案】4【分析】根据分式的乘除运算法则把原式化简，把m−n的值代入计算即可．【详解】解：原式==2(m−n)．当m−n=2时．原式=2×2=4．故答案为：4．【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．（2024·辽宁盘锦·中考真题）先化简，再求值：1x+1+1【答案】1【分析】先将括号内的部分通分，再将分式分子、分母因式分解并化简，再计算出x的值后，将代入即可求解．【详解】解：原式=x=1∵x=12∴x=23∴x=2当x=23原式=1=3【点睛】本题考查了分式的化简求值及实数的混合计算，熟悉通分、约分和分母有理化是解题的关键．（2024·四川巴中·中考真题）已知实数x、y满足x−3+y2【答案】5【分析】根据分式的乘除法法则把原式化简，根据非负数的性质分别求出x、y，代入计算即可．【详解】解：x==x+y∵x−3+∴x−3+∴x=3，y=2，∴原式=3+2【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．【题型11分式的最值问题】（2024·浙江宁波·中考真题）分式6xA．4 B．5 C．6 D．不存在【答案】A【分析】本题主要考查分式的性质及配方法的应用，熟练掌握分式的性质及配方法的应用是解题的关键；由题意可变形为6x【详解】解：由题意得：6x若要求得6x2+12x+10∵x2∴x2∴6x故选A．（2024·重庆九龙坡·中考真题）若一个四位数的千位与百位之差等于2，十位与个位之差等于4，称这个四位数是“差2倍数”，若四位数的千位与百位之差等于3，十位与个位之差等于6，称这个四位数是“差3倍数”，若数p，q分别为“差2倍数”和“差3倍数”，它们的个位数字均为3，p，q的各数位数字之和分别记为Gp和Gq，Fp,q=p−q10，若【答案】6【分析】根据定义和已知条件分别设p=1000(m+2)+100m+73，q=1000(n+3)+100n+93，再根据定义进行计算，由Fp,qGp−Gq+3=55−【详解】解：∵数p，q分别为“差2倍数”和“差3倍数”，它们的个位数字均为3，故数p的十位数是3+4=7，数q的十位数是设数p，q的百位数分别m、n，则数p的千位数是(m+2)，数q的千位数是(n+3)，而且0≤m≤7，0≤n≤6，∴Gp=(m+2)+m+7+3=2m+12，∴GpGp∴p=1000(m+2)+100m+73，q=1000(n+3)+100n+93，∴Fp,q∴F∵Fp,q∴m−n为51的约数，而要使GpG∴m−n=1或m−n=3，当m−n=1时，即m=n+1，Gp此时，当n=6，m=7时，GpGq当m−n=3时，即m=n+3，Gp此时，当n=0，m=3时，GpGq综上所述：当n=0，m=3时，GpGq故答案为：6【点睛】本题考查新定义运算，数的整除、分式的化简，整式的加减运算等，有一定难度，解题的关键是通过Fp,qGp−Gq（2024·重庆沙坪坝·中考真题）若一个四位自然数M的千位数字与个位数字之和恰好是M的百位数字与十位数字之和的2倍，则称这个四位数M为“好数”．一个“好数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记P(M)=a+b+c+d,G(M)=a−4b+4c−d2c−5．若P(M)15为整数，G(M)是4的倍数，则b+c=；所有满足条件的M【答案】58082【分析】根据定义得到P(M)=3(b+c)，进一步得到b+c=5；a+d=10，G(M)=2a−102c−5+4，则2a−10是4的倍数，a=1,59，进一步即可得到答案，此题考查了数字类规律、分式的运算等知识，读懂题意，求出b+c=5【详解】∵a+d=2(b+c)，∴P(M)=a+b+c+d=3(b+c)，∴P(M)∴b+c=5；a+d=10，G(M)=a−4b+4c−d2c−5=∴2a−10是4的倍数，∴a=1,5或9a=1时，M取到最小值，d=9,2a−10=−8∴2c−5=±1,c=3或2，∴M的最小值为1239a=9时，M取到最大值，d=1,2a−10=8∴2c−5=±1，c=3∴M的最大值为9321；∴差为8082，故答案为：5，8082（2024·福建福州·中考真题）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题：【阅读材料1】如果两个正数a，b，即a>0，b>0，则有下面的不等式：a+b2≥⋅ab【实例剖析1】已知x>0，求式子y=x+4解：令a=x，b=4x，则由a+b2当且仅当x=4x时，即【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．【实例剖析2】如：x−1x+1，x2x−1这样的分式就是假分式；如：3x+1，2xx2+1如：x−1x+1=x+1【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题：(1)已知x>0，则当x=__________时，式子x+9(2)分式3x是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式x+6x+4可化为带分式形式__________；如果分式x+6x+4(3)用篱笆围一个面积为100m(4)已知x>1，当x取何值时，分式x−1x【答案】(1)3，6(2)真分式，1+2(3)当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米(4)当x=3时，分式x−1x2【分析】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键．（1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可；（2）根据新定义判断分式3x是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x（3）设这个矩形的长为x米，则宽=面积÷长，即宽=100x米，则所用的篱笆总长为2倍的长a+b2（4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；．【详解】（1）解：令a=x,b=9x，则有得x+9当且仅当x=9x时，即正数故答案为：3，6；（2）解：根据新定义分式3xx+6x+4∵x为整数，且2x+4∴x+4=2或x+4=−2或x+4=1或x+4=−1，解得：x=−2或x=−6或x=−3或x=−5，则满足条件的整数x的值有4个，故答案为：真分式，1+2（3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为100x米，所用的篱笆总长为y根据题意得：y=2x+200由上述性质知：∵x>0，∴2x+200此时，2x=200∴x=10，答：当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米；（4）解：x−1===1∵x>1，∴x−1+4当且当x−1=4x−1时，即x=3时，式子当x=3时，分式x−1x2−2x+5（2024·福建泉州·中考真题）由浅入深是学习数学的重要方法．已知权方和不等式为a2x+b2y≥a+b2x+y，当且仅当ax【答案】7【分析】根据题意得出当且仅当12y+4z=2x+2y时，x+2y2y+4z+4x+2y取最小值x+2y+222y+4zx+2y+x+2y，根据【详解】解：∵x+2y∴x+2y2y+4z当且仅当x+2y2y+4zx+2y=即12y+4z∴4y+8z=x+2y①∵x+3y+2z=1，∴2z=1−x−3y②把②代入①得：4y+41−x−3y整理得：5x+10y=4，则x+2y=4把②代入2y+4z得：2y+4z=2y+21−x−3y∴x+2y+22即x+2y2y+4z【点睛】本题主要考查了整式混合运算，以及分式的混合运算，解题的关键是正确理解题意，理解题中权方和不等式成立的条件．【题型12分式运算的实际应用】（2024·江西九江·中考真题）北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了行军时的后勤供应情况：人负米六斗，卒自携五日干粮，人食日二升．其大意为在行军过程中，一个民夫可以背负六斗（60升）米，一个士兵可以自己背5天的干粮（5天的干粮为一斗米，即10升米），民夫和士兵每人行军一天都会消耗2升米．在没有其他粮食补充的情况下，若两个士兵雇佣n个民夫随其一同行军，则背负的米最多支持行军