2026年中考数学二次函数专项复习：二次函数定点定比定值问题

二次函数定点定比定值问题

第一部分基础知识储备：

一、一次函数过定点

y=kx,必过定点(0,0)；y=kx+5,必过定点(0,5);y=kx+k,必过定点(-1,0);

y=kx+5k-3,必过定点(-5,-3);

方法就是将所有含有参数K的式子放一起，把K提出来，令其系数为0即可，求出此时的x和y,即为所求定点。

因为此时K兀论取多少，其系数都为0,所以与K兀关，恒过一个定点。

二、二次函数中的直线过定点

引例一:如图(1),在平面直角坐标系中，A、B为抛物线尸如2上的两点QA_LOB,AB交y轴于点P结论：直线A

B必过定点P(O,?.

图(1)图(2)图(3)

证明：：点A、B在二次函数产加的图像上"•设人⑺叫叫，B(n,aM)；・人.析定产=也呼产口(〃+〃,)工04口0用口

2

koAL左°8=-1,□="1即〃?〃=一^2AB为：y-anj=aJ4-Q化简得：y7=a(m+n^x+:□必经

过定点P6'

拓展延伸：如图(2),在平面直角坐标系中，C、D为抛物线产如2+公+。上的两点，点E为抛物线的顶点,EC_LED,

CD交对称轴于点Q

结论：直线CD必过定点2，£,叱¥/

证明：如图⑶，通过平移抛物线产小2得到抛物线产分2+bx+c,顶点06凶££(-上T),则PG/EQ

(上，山山)因此直线CD必过定点0,乙

I2。4a/，v(2a4a/.

三、二次函数中的截距长度

二次函数与一次函数的两个交点间的距离，我们称之为截距长度。这种主要体现的是方程函数的思想和数形结合的

思想，要求熟练掌握一次因数、二次因数、二次方程、韦达定埋等内容。

引例二：如图,抛物线尸M+bx+c与直线产kx+m交于点A（xA,yA）、B（x］，yB）,

：

结论AB=^+\^XA-XB［｝

证明在RSABC中，tanU/BC嚷=|乩□?高，□寸=高，即小鬲％』口.

四、二次函数中焦半径线段比

引例三：如图，过点E6演直线交抛物线产小于点A、B,（这个点叫做抛物线的焦点，高中才学）结论：士+机

=4a（AEBF叫做抛物线的焦半径，高中才学）

证明：设A（x］，y】）,B（X2皿）「・•直线AB经过点尸6工设直线AB为：

y=ax2

联立产区+小得：ax2—kx—=0,；•

I"4a

由引例—可知：仍值7DXL="2+1口彳2口,/8=a7[X|-X2D

・_1__1__BFMF_AB_/-+1|-—词=I1一词=/⑶+―)2-4皿£2

**AF~BF~AF-BF~AFBF~V^^\M-Vkr+l\x2\-5/V+T|x,x2|-Vj?+T|x,x2|

=^=矍=4。当3<°时也满足，A*,□血

4/2

拓展延伸：如图，过点尸（一£，叱P）的直线交抛物线尸ad+A什于点C、D,

结论:排A

证明：根据抛物线平移变化几何性质不变的特点，

通过平移抛物线尸一得到抛物线尸入版+c,顶点od仙方

贝!J...X.*A皿更±1'因此」十七=4口〃口

打0A,4“)一尸(一加，加)，CFDF4」°」.

五、线三殳倍数和差乘除关系定值

这种情况通常有两种思路，一种是用字母分别表示出两段线段，最后作和差即可，字母会消掉。第二种思路是利用

等量关系转化其中的线段，转化的手段主要是相似和全等三角形、三角函数。

第二部分：典型例题分析

例।如图，在平面直角坐标系xDy中，抛物线尸+也什(•的顶点为点P，与x轴交于点A(4,0),B(点B位于点A左

侧)，与y轴交于点C.

⑴求c与b之间的关系，并求出点P的坐标(用含b的代数式表示)；

(2)若以A,B,C为顶点的三角形是直角三角形，求b的值；

(3)在⑵的条件下,过点P作两条互相垂直的直线与抛物线分别交于不同的两点M,N(点M位于点N左侧)，探究

直线MN是否过定点，若是，请求出亥定点的坐标；若不是，请说明理由.

【解答】⑴把A(4,0)代入产12+几+c,得4+4b+c=0,.・.c=-4b-4,

□产%，“4人4=：&+2口2_(力2+4从4)，抛物线的顶点P的坐标为((.2//-4-48-4);

⑵在抛物线产：/+云-4〃-4中，令x=0,得y=-4b-4,.\C(0,-4b-4),

•••抛物线的对称轴为直线x=-2b，点B与点A关于对称轴对称,

/.B(-4b-4,0),/.OB=OC=4b+4,/.ABOC是等腰直角三角形,，ZOBC=ZOCB=45°,

,/AABC是直角三角形.且NABC=45*)ovNBACv90。，

•••ZACB=90°,r.ZACO=ZACB-ZOCB=90°-45°=45°,

□□40090X^：=tan□/CO=tan45=1,DOC=OJA4b+4=4,Ab=0;

⑶由⑵得b=0,・•.抛物线的解析式为产$2_4,・.•抛物线的顶点为P(0,-4),如图，过点P作直线l〃x轴，过点N作NEX1

于点E,过点M作MF±1于点F.贝［JNNEP=NPFM=9O°,・・・ZPNEiZNPE=90°,

VPM1PN,/.ZMPF+ZNPE=90°,

17115

C\y=kx+3-k,y=-4x-+2x+4,

联立化笥得：工2十（4A2）X-4A3=0,

□工1+4=2-4口途2=一纵一3.

口y]=辰1+3一上此=依2+3-/Qy]_'2»

根据两点间距离公式得到：

Mi

1-X2）2+^2（XLX2）2=，1+。□JQIF"

,J（XI+X2）2—4XIX2='A^?IZIJ（2-42）2-4（一纵一3）=4（1+〃）“）•

又）MP=yl01-1）2+（y]-3）2=JQ1-1"+（京1+3-4-3）2=>/7^nV（Xi-l）2；

同理M2/G?LjJ02T）2

A1

MiP二2?=（1+/）口，0|-1）202-1）2=（1+/）口5/1次2-01+刈）+1]2=（1+0・

4A-3-（2-软）+i]2=4（1+产）.口/PM1P=M\M1

Mi?J"=1为定值.

A/]«2

例3如图1,在平面直角坐标系中，已知二次函数尸M+以+2的图象经过点A(-10).B(3,0),与y轴交于点C.

(I)求该二次函数的表达式；

(2)如图，直线1为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E.若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作

直线AQ,BQ分别交直线I于点M,N,在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定值?若是，请求出该定值；若

不是，请说明理由.

【解答】(I)：抛物线尸储+加乜经过点A(4,0)，B(3,0),

叫二案工解得：

,该二次函数的表达式为尸让2；

(2)抛物线产一32+1+2的对称轴为直线x=l,

・・・E（1,O）,

设0〃且

设直线AQ的解析式为y=ex+f,则f+4t+2,

解得：「十二

户-；我

•••直线AQ的解析式为产「；/+2)尸；/+2,

当x二l时,尸_；什4,[〃6-；什4/

同理可得直线BQ的解析式为尸，:

当x=l时,尸鸿，

N(岛+：),

LEM=-34+44,E4N=?+；,

444J6

-EM+EN=-；/+4+；/+,=；,

故EM+EN的值为定值及

3•

第三部分：针对提高训练

练1在平面直角坐标系xOy中，直线上y=kx+m(k/))与抛物线产42相交于A,B两点.(点A在点B的左侧)

y2儿

⑴如图।,若A、B两点的横坐标分别是-1,2,求直线I的关系式；

(2)如图2,若直线1运动过程中，始终有OALOB,试探究直线1是否经过某一定点.若是，请求出该定点的坐标；

若不是，请说明理由.

练2如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx-3(k#0)与抛物线尸相交于A,B两点(点A在点B的左侧),

Z人

点B关于y轴的对称点为B1.

(1)当k=2时，求A,B两点的坐标：

(2)连接0人,08人8/8；若4B'AB的面积与^OAB面积相等.求k的值

⑶试探究直线AB是否经过某一定点若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

y

练3如图，已知二次函数尸qf+bx+c过点(2,1),(0,0),且图象关于丫油对称.直线AB为过点F((),l)的动直线，与二

次函数厂办2+队+c的图象于第一、二象限分别交于点A,B.

(1)求二次函数的解析式.

⑵求证：,+工为定值.

练4如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a(x-l)(x+3))的图象与x轴交于点A,B(A在B的左边)，且经过

点C(-2,3),P为抛物线的顶点.

(I)求抛物线的解析式及点P的坐标；

(2)平面内一动点H自点C出发，先到达x轴上的某点M,再到达y轴上某点N,最后运动到点P,求使点H运动

的总路径最短的点M、点N的坐标，并求出这个最短总路径的长；

(3)如图，过点C的直线1与抛物线有唯一的公共点，将直线1向下平移交抛物线于D,E两点，连BD交y轴正半

轴于F,连BE交y轴负半轴于G,试判断IOF-OGI是否为定值，若是,求出该定值；若不是，请说明理曲

练5如图，抛物线尸双2_2以_3々^川)与x轴交于点A,B.与y轴交于点C.连接AC,BC.已知口/火的面积为2.

(1)求抛物线的解析式；

⑵如图，平行于y轴的直线交抛物线于点M,交x轴于点N(2,0).点D是抛物线上A,M之间的一动点，且点D

不与A,M重合，连接DB交MN于点E.连接AD并延长交MN于点F.在点D运动过程中，3NE-NF是否为定值?

若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

【练1］解:⑴当x=-l时，｛2_：则点A£1，］,同理可得点B(2,2),

将点A、B的坐标代入直线I的表达式得：｛；=一"+机解得：｛Q；,即直线1的表达式为：

2=2k+inb=\

尸*1；

(2存在理由：

分别过点A、B作AM±x轴于点M,BN±x轴于点N,

VOA10B.则ZAOM+ZBON=90°,/.ZBON+ZOBN=90°,

・，由知，、的坐标分别为

.•NAOM=NOBN,tanNAOM:tanNOBN,(2)AB(畛2)aw和霁=姒即5=p

解得st=-4,

由⑵知st=-2m=-4.解得:m=2,即直线1的表达式为:y=kx+2,

即直线1过定点，定点为(()，2).

【练2】解•⑴当k=2时直线为y=2x-3,由「二［得：｛2［或］。1］，

(2)当k>0时.如图：

VAB'AB的面积与ZkOAB的面积相等,・,.OB，〃AB,・・・NOBT=NBBC,

*/B、B关于y轴对称,・・・OB=OB；NODB=NODB，=90。，

.*.ZOB'B=ZOBB,.AZOBB,=ZBBC.

•・•ZODB=90°=ZCDB.BD=BD,/.ABOD^ABCD(ASA),

・・.OD=CD.在y=kx-3中.令x=0得y=-3,.*.C((X-3),OC=3,

「》”=沙(0，-9，

在尸*中，令尸-罪-解得彳或尸后

［方俘，司把咐，殳入y=kx-3得:

Y=半卜3.解得k=4\

当k<0时过B作B，F〃AB交y轴于F,如图:

在y=kx-3中.令x=0得y=-3,.\E(0,-3),OE=3,VAB'AB的面积与^OAB的面积相等,A0E=EF=3,

：B、B'关于y轴对称.JFB=FB',NFGB=NFGB'=90°,・・・ZFB'B=ZFBB;

VB'F/7AB,AZEBB'=ZFB'B,.\ZEBB'=ZFBB\VZBGE=90°=ZBGF,BG=BG,AABGF^ABGE(ASA),.\GE=

GF=非F=|□0G=0E+GE=g,G63,

在尸*中，令尸一券-AR解得X=苧或L华

8件T)把「冰入产kx-

3得：-：=斗4-3.解得k=-g,

综上所述，k的值为9或一冬

(3)直线AB经过定点(0,3).理由如下:由｛产;二得：/+"_3=0,

y=kx-5

设M+RL3=0二根为a,b,:.a+b=-k,ab=-3,A(a,-a2),B(b,-b2),

•・•B、B，关于y轴对称,:.Bib#),

设直线AB解析式为y=mx+n,将A(a,-a2)B(-b,-b2)代入得：

，直线AB解析式为♦uy42+12Llx+3,令x=0得y=3,「・直线AB经过定点(0,3).

【练3】解:⑴:函数经过(0,0),・・・c=0,,・,图象关于y轴对称,Jb=O,V函数经过点(21),

匚44=1,口〃=(,□产产；

y=kx+\

(2)设直线AB的解析式为y=kx+b,,・,直线AB为过点F(0,1),b=1,y=kx+1,联立方程组｛一，整理得，x2

产产

一4米一4=0,设A(xA,yA),B(xB,yB),

VA点在第二象限，B点在第一象限，□X/[V()K8>0,，xA+xB=4k,xA­xB=-4,

匚〃1FB*B+\^AF=-XJ1+产，BF=XBV^,

±+±=—=—J①型尸土回=，口=1口,+工为定彳直1•

〃•BF不了FxvW\-4)后-41'打刀汨亘1，

【练4】解:⑴把C(-2,3)代入y=a(x-1)(x+3).可得。=-1,□产-/-去+3=-々+1六4,:.P(-l,4)；

(2)如图1中,

作点C关于x轴的对称点C”,点P关于y轴的对称点P：连接CP交x轴于点M,交y轴于点N狷C1(-2,-3),P1(l,

4).此时点H运动的总路径最短，

为2)八(啕，

匚4犷J((l+2)2+(4+3)2=同;

(3)如图过点D,E分别作DKly轴于点K,EHJLy轴于点H.

设直线I的表达式为y=kx+b.将C(-2,3)代入得到b=2k+3,

y=kx+2k+3,

由旧履+2>3尸-F-2x+3得到/+(2+初叶2右0,由△=()可得(2+A)2-8^=0.

・・・k=2,

2

设DE为y=2x+m,E(Xi,y]),D(X2,y2)，由(y=2x+〃产一『-21+3彳导x+4x+z»-3=0,

=

匚工]+必=_4处□X2W3,

由ADKF^ABOF,ABOG^AEHG.

可彳导生="竺=乌0"=2_=生上OG=」一=红四

」何OBOF'OBOG'"\-x2\-x2*-l+x,T+肛'

WOF-OG=□止一汕口=(2-M(f)小心包〃.

1-^2-l+X|I-(X|+X2)+X|X2

将X]+X2=-4/ILJX2=〃?-3代入上式,可得|OF-OG|=2.

【练5】解:（1）如图,

y=ax2-2ax-3a=a(x2-lx-3J=a(x-3\x+1),