2026届高三数学复习讲义：相互作用中常见的模型 专项训练【含答案】

专题二相互作用中常见的模型

模型一：摩擦力突变

知识总结

1.摩擦力的突变模型类别

物体在静摩擦力和其他力的作用下处于相对静止状态，当作用在物

“静静”突变体上的其他力的合力发生变化时，如果物体仍然保持相对静止状

态，则物体受到的静摩擦力将发生突变

在滑动摩擦力和其他力作用下，物体突然停止相对滑动时，物体将

“动静”突变

不受滑动摩擦力作用，或滑动摩擦力“突变”成静摩擦力

物体在静摩擦力和其他力作用下处于相对静止状态，当其他力变化

“静动”突变时，如果物体不再保持相对静止状态，则物体受到的静摩擦力将“突

变”成滑动摩擦力

物体受到滑动摩擦力和其他力的共同作用，当两物体间的压力发生

“动动”突变变化时，滑动摩擦力的大小随之而变；或者两物体达到共同速度时

相对滑动方向发生变化，滑动摩擦力的方向也会随之而变

2.分析摩擦力的突变的方法——临界法

（1）题目中出现“最大”“最小"和''刚好”等关键词时，一般隐藏着临界问题。有时，有

些临界问题中并不含上述常见的“临界术语”，但审题时发现某个物理量在变化过程中会发

生突变，则该物理量突变时物体所处的状态即为临界状态。

（2）静摩擦力是被动力，其存在及大小、方向取决于物体间的相对运动的趋势，而且静摩

擦力存在最大值。存在静摩擦力的系统，相对滑动与相对静止的临界条件是静摩擦力达到最

大值。

（3）研究传送带问题时•，物体和传送带的速度相同的时刻往往是摩擦力的大小、方向和运

动性质的突变点。

典型例题

1.如图，质量为1kg的物体在水平面上向右运动，同时受到一个斜向左下与水平方向夹角

为37。的尸=10N的恒力作用，物休和水平面向的动摩擦因数为0.625,取水平向右为正方

【答案】C

【解析】物体在运动的过程中受到的滑动摩擦力的大小为尸"\="（〃吆+对1137°）=10N

所以在物体向右运动的过程中，受到的滑动摩擦力的大小为10N,方向向左；

当物体减速到零时，由于物体受到的水平拉力大小为尼=Feos37。=8N,小于物体的最大

静摩擦力的大小10N,所以物体不会再运动，此时物体受到的摩擦力为静摩擦力，大小为8

N,方向向右。

故选C。

2.如图所示，木块A、B分别重50N和60N,它们与水平地面之间的动摩擦因数均为025,

夹在A、8之间的轻弹簧被压缩了2cm,弹簧的劲度系数为400N/m,系统置于水平地面上

静止不动。现用户=2N的水平拉力作用在木块8上，则（）

A.木块A所受摩擦力大小是8N

B.突然撤去尼木块4所受摩擦力大小是0N

C.木块8所受摩擦力大小是6N

D.突然掀去凡木块8所受合力大小是8N

【答案】A

【解析】AC.弹簧弹力为：尸i=h=400N/mx0.02m=8N。

A木块与地面间的最大静摩擦力为：力m=〃GA=0.25x50N=12.5N；

B木块与地面间的最大静摩擦力为：4m=478=0.25x60N=15N；

用户=2N的水平拉力作用在木块B上，木块8受弹簧向右的弹力为8N,拉力为2N,共

10N,小于最大静摩擦力，故静摩擦力为10N：

木块A受到向左的弹力为8N,小于最大静摩擦力，故A不动，故静摩擦力为8N,故AJE

确，C错误；

BD.撤去尸后，人仍然处「静止，人所受的静摩擦力仍然为8N,B仍然处于静止，所受的

合力为零，故BD错误。

故选Ao

3.如图甲所示，川一拉力传感器（能感应力大小的装置）水平向右拉一水平面上的木块,

A端的拉力均匀增加，0〜八时间木块静止：木块运动后改变拉力大小，使木块在打时刻后

处于匀速直线运动状态。计算机对数据拟合处理后，得到如图乙所示的拉力随时间变化的图

线。下列说法正确的是（）

A.当用户=5.3N的水平拉力拉静止的木块时，木块所受摩擦力大小为5.3N

B.当用"=5.3N的水平拉力拉静止的木块时，木块所受摩擦力大小为5.1N

C.若用户=5.8N的水平拉力拉木块，木块所受摩擦力大小为5.3N

D.0〜■时间内木块所受摩擦力大小为5.1N

【答案】A

【解析】AB.由题图可知，该木块的最大静摩擦力是5.5N,当水平拉力为5.3N时，其小

于最大静摩擦力，所以静止的木块仍然静止，根据二力平衡可知，木块所受到的静摩擦力大

小为5.3N,故A正确，B错误；

C.由于5.8N大于木块的最大静摩擦力，所以此时木块被拉动，此时木块受到滑动摩擦力，

由题意可知，滑动摩擦力的大小为5.1N,即若用尸=5.8N的水平拉力拉木块，木块所受摩

擦力大小为5.1N,故C错误；

D.由题图可知在0时间内，木块静止，其受到的静摩擦力与水平外力大小相等，由题

图可知，该时间内木块所受摩擦力大小从。均匀增加到5.5N,故D错误。

【问题】如图,求〃“'m2大小

方法一、正弦定理法方法三、重心法

对mnm2受力分析，三力以整体为研究对象，以圆心

以整体为研究对象，整

平衡可构成矢量三角形，根为转动轴，两圆弧的支持力

体受重力和两圆弧的支

据正弦定理有，对，小：的力臂均为零，轻杆弹力的

持力，根据三力平衡必

_F力臂相等，力乘以力伸等值

sinOsina共点，因此整体的重心

x反向。根据转动平衡知：动

对机2：3=£必过圆心正下方。所以

sin^2sinp力乘以动力臂等于阻力乘以

有m\Rsin0\=

根据等腰三角形有：仇=仇

阻力臂，即“neRsina=

仇，*.m\:2=sinp:

联立解得/mgsina=W2gsin

62gRsinpo*.m\*加2=sin

sin«

m\:〃?2=sinP:sina6：sina

典型例题

1.如图所示，一轻质细杆两端分别固定着质量为期和/吸的两个小球A和灰可视为质点）。

将其放在一个直角形光滑槽中，已知轻杆与槽右壁成。角，槽右壁与水平地面成，角时，两

球刚好能平衡，且aWO,重力加速度为g,则A、3两小球质量之比为（）

B

A

a

cosacos0cos<7sin<7sinasin0sinacos0

A.----------------B.----------------I—/•

sinasin0sinacos0cosacos0cosasin0

【答案】C

【解析】对4球受力分析，受重力、杆的弹力、斜面的支持力,如图所示:

根据共点力平衡条件,

再对8球受力分析,

根据平衡条件，有:

联立①②解得：曳=—asm，

/小cosacos

故选C。

2.（多选）一轻杆两端固定两质量分别为见和牝质点4B,现将其置于光滑空心球内部,

稳定后如图所示，已知。为球心，0C竖直，球面对A、8质点的作用力分别为Ni和M，

轻杆对A、8质点的作用力分别为后和B，则下例式子中正确的是：（）

O

'B

A

A.F\=FzR叫_4C

叫BC

C.%=匹

D.6-OC=叫g-AC

N2AC

【答案】ACD

【解析】A.对A、B分别受力分析，由于是轻杆，杆受力合力为零，所以杆两端球对杆的

力等大反向,沿杆方向共线，则杆对球的力也等大反向，即盾=后，故A正确；

B.如图所示，A质点受力分析，受到小喏、M、三个力平衡，构成首尾相接封闭三角

形，此三角形与△AOC相似，—=—；对4质点受力分析，受，叫、M、B，构成平

鼻町g

衡三角形，此三角形与△相似，—,所以丝=也，

OCB故B错误;

"2吗gBCw.

C.由4质点的平衡三角形与对应的相似三角形满足对应边比例关系为：区=旦，由B

OAAC

质点的平衡三角形与对应相似三角形满足对应边比例关系：丝=区，因为枳=而，

OBBC

所以丛=££,故c正确;

N2AC

D.由4质点平衡三角形与对应相似三角形得：旦=鳖，4•反=〃qg•衣，故D正

ACOC

确;

故选ACDo

3.如图所示，竖直放置的光滑圆环。，顶端。点固定一定滑轮（大小忽略），圆环两侧套

着㈣、加2两小球，两小球用轻绳绕过定滑轮相连，并处于静止状态，q也连线过圆心0

点，且与右侧绳的夹角为仇贝IJ班〃4两小球的质量之比为()

【答案】B

【解析】对两小球分别受力分析，如图所示,

由三角形法则可知：

对小球加，可得：一空一=—：

sinW-6)sina

对小球叱，可得：色与=——-——：联立解得：色=—匚，故选B。

sin。sin(!80°-a)，叱tan。

1.“活结”与“死结”

绳是物体间连接的一种方式，当多个物体用绳连接的时候，其间必然有“结”的出现,

根据“结”的形式不同，可以分为“活结”和“死结”两利几

(1)“活结”：“活结”可理解为把绳子分成两段，跨过光滑滑轮(或杆、钉子)的两段轻绳，

且结点可以沿绳子移动，其两端张力大小相等，即滑轮只改变力的方向，不改变力的大小。

“活结”一般是由绳跨过滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。绳子虽然因“活结”而

弯曲，但实际上是同根绳，所以由“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等，两段绳

子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的平分线。

（2）“死结”“死结”可理解为把绳子分成两段，且不可沿绳子移动的结点。“死结”一般是

由绳子打结而形成的，“死结”两侧的绳子因打结而变成两根独立的绳子。

死结的特点：

①绳子的结点不可随绳移动

②“死结”两侧的绳子因打结而变成两根独立的绳子，因此由“死结”分开的两端绳子上的

弹力不一定相等

2.“活动杆”与“固定杆”

轻杆是物体间连接的另一种方式，根据轻杆与墙壁连接方式的不同，可以分为“活动

杆”与“固定杆”。

（1）“活动杆”就是用光滑的转轴或较链与墙壁连接，平衡时，杆所受到的弹力方向一定沿

着杆，否则杆会转动，所以其特点是杆上的弹力方向一定沿着杆的方向；

（2）“固定杆”就是将轻杆固定在墙壁上（不能转动），此时轻杆上的弹力方向不一定沿着

杆的方向。

典型例题

1.如甲图所示是用一根绳穿过牛奶箱上的提手晾晒辣椒的情景，可等效为一根轻绳穿过一

个轻圆环，如乙图所示，，4位置比4位置高。不计绳与圆环间的摩擦力，辣椒的质量为

左右两侧绳与竖直方向的夹角分别为a和6部分绳上的拉力为了3，部分绳上的拉

力为TOB，重力加速度为g，下面说法正确的是（）

A

B

甲乙

A.TOA>TOBB.a<p

C.当a=60°时，TOA=/gD.a变大时，口4变大

【答案】D

【解析】根据“活结”模型的特点可知,TOA=TOB、a=P

根据力的矢最合成可知TOBCOSa+ToACOsfl=mg

即27bAeosa=mg

当a=60。时，解得7脑="g，a变大时，cosa减小，则7bA变大。

故选D。

2.（多选）如图所示，晾晒衣服的绳子两端分别固定在两根竖直杆上的A、8两点，绳子的

质量及绳与衣架挂钩间摩擦均忽略不计，衣服处于静止状态。如果保持绳子A端、8端在杆

上位置不变，将右侧杆平移到虚线位置，稳定后衣服仍处于静止状态。则（）

A.绳子的弹力变大

C.绳对挂钩弹力的合力变小D.绳对挂钩弹力的合力不变

【答案】BD

【解析】AB.对挂钩受力分析，如图所示，根据平衡条件，W2Tcos0=mS

G

绳子右端的B点在杆上位置不动，将杆向左移动到虚线位置时，设挂钩左面的绳子长度为

/i，右面绳子的长度为/2,两个杆之间的水平距离为d，因此有/isin夕+Asin6=d,整理可得

sin6=彳,因此当“减小时，角度。变小，故绳子拉力7变小，A错误，B正确；

C.绳中的拉力左右相等，两侧绳子与竖直方向的夹角均为仇根据三力平衡条件可知，两

绳子的拉力丁的合力产始终与G等值反向，保持不变，故C错误，D正确。

故选：BDo

3.如图所示，两个质量均为机的物体分别挂在支架上的4点（如图甲所示）和跨过滑轮的

轻绳上（如图乙所示），图甲中轻杆用钱链与墙壁连接（可绕人点转动），图乙中水

平轻杆一端4插在墙壁内，已知9=30。，则图甲中轻杆AB受到绳子的作用力Fi和图乙中

滑轮受到绳子的作用力E分别为（）

A.F\=mg>F2=B.Fi=、3mg、F?=

C匚£

C.ri=——mg、卜c2=mgD.Q=G〃?g、F2=mg

3

【答案】D

【解析】甲图中，结点受4c绳子的拉力、重力和A4杆子的支持力,

根据平衡条件，有：Fi=,

乙图中，绳子对滑轮的作用力应是两股绳的合力，故尸2=mg，

故选：D。

4.四个相同的物块用轻组系住，绕过光滑的轻质滑轮，并将绳子另一端系在墙壁上。甲、

乙两杆固定在墙壁上，丙、丁两杆带有钱链并固定于墙壁上。轻杆与轻绳与水平方向夹角如

图所示。四幅图中，能够保持静止且杆的作用力相同的是（)

D.乙和丁

【答案】D

【解析】轻杆的力与两绳对滑轮的合力等大反向，甲图杆的力与竖直方向成30。向右上；乙

图杆的力与竖直方向成60。向右上；丙图为动杆，不能保持静止；丁图杆的力与竖直方向成

60。向右上，故乙和丁的相同。故选D。

模型四：摩擦角与自锁现象

知识总结

1.自锁现象定义:

一个物体受静摩擦力作用而静止，当用外力试图使这个物体运动时，外力越大，物体被

挤压的越紧，越不容易运动即最大静摩擦力的“保护能力”越强，这种现象叫自锁现象

2.摩擦角

物体在粗糙平面（斜面）上滑动时，所受滑动摩擦力R和支持力A的合力F绘与FN

间的夹角为"如图（a）、（b）所示，由于tan

3.摩擦角的应用

（1）在水平面上，若给物体施加拉力尸使之在水平面上滑动，则力跟水平方向的夹角为，

（跟尸合垂直）时,拉力/最小,如图（C）o

（2）当所加推力尸与支持力尸N反方向间的夹角4W8时，无论推力/多大，都不能推动物

体在平面（斜面）上运动，这种现象称为摩擦自锁，如图（d）、（e）o

（3）有摩擦力参与的四力平衡问题可通过合成支持力心和滑动摩擦力R转化为三力平衡

问题，然后根据力的平衡知识求解。

4.分析解题思路

1.螺丝钉是利用斜面自锁原理制成的，共原理如图所示，螺母与螺杆的螺纹结合，可以看

作由两个叠放在•起的同倾角斜面组成，设螺母、螺杆间的动摩擦因数为〃，斜面的高为螺

距，?，底为圆周长2口,当螺杆受到很大的压力?时，仍然不会移动（最大静摩擦力等于滑

动摩擦力），则应满足的关系为（）

A.4W2叫〃，B.h4叫irC.。22兀"D.力2叫〃•

【答案】A

【解析】当螺杆受到很大的压力厂时，仍然不会移动，

由平衡知识0=

、/M+（2b）2

可得2叫u，2h,故A正确，BCD错误。

故选Ao

2.(多选)如图所示，质铜均为M的A、8两滑块放在粗糙水平面上，两轻杆等长，杆与

滑块。杆与杆间均用光滑较链连接，在两杆较合处悬挂一质量为机的重物C,整个装置处

于静止状态，设杆与水平面间的夹角为仇下列说法正确的是()

A.当机一定时，〃越大，轻杆受力越大

B.当M、一定时，滑块对地面的压力与。无关

C.当小和。一定时，M越大，滑块与地面间的摩擦力越大

D.若〃〉------------则无论加多么大，M一定不会滑动

(2M+in)tan0

【答案】BD

【解析】A.将C的重力攻照作用效果分解，如图所示

1

-mg

根据平行四边形定则，有凡=尸2=J故M一定时，。越大，轻杆受力越小,

SIIWZS1IW

故A错误;

B.对A、B、C整体进行受力分析可知，对地压力为&=(2M+m)g,与夕无关，故B正确;

C.对4分析'受重力、杆的推力、支持力和向右的摩擦力，根据平衡条件有片~8，°=肃

与“无关，故C错误；

D.以整体为研究对象，竖直方向上根据平衡条件可得人受到的支持力为kN=Mg+J"g

无论，〃多么大，都不能使M沿地面滑动时满足45N'>KCOS0

mg