2026年中考数学二次函数专项复习：二次函数与圆综合

专题19二次函数与圆综合

第一部分：基础知识储备

圆综合是几何综合的最高提现，本身圆这个章节性质定理推论极其多，综合性也比较强，加之与全等三角形、相似

三角形、四边形的结合，使之成为几何的王者。近些年对于圆综合考察难度有所下降。但圆与二次函数的综合则是

强强联手，需要扎实掌握这两章节的内容之外,还要学习一些题型和方法。常用到的数学思想方法有分类思想、数

学结合思想、化归思想。常考的题型主要有五大类：

一、与圆有关的位置关系

主要是特殊位置关系，直线与圆相切，抓住半径等于圆心和切点的距离即可，经常也会用到垂径定理和勾股定理，

复杂一点的计算会用到相似三角形和三角函数。相切的时候经常会产生最值问题，所以求最值的时候要注意一下这

个位置关系。

二、等腰三角形和直角三角形存在性问题

这两个问题我们在前面系统的讲过，解决等腰三角形的存在性是两囿一中垂，要学会画圆；其次是直角，直径所对

圆周角是直角，要学会画外接圆。

三、阿氏圆

阿氏圆是最值问题非常常见的类型，难度较大，前面系统讲过，本质是利用共边模型构造母子型相似。

四、隐形圆之四点共圆

隐形圆属于比较难的内容，频率很高的主要有两种，一种是四点共圆，一种是定弦定角隐形圆。

条件:如图△DBC中,NA二ND。结论:A,B,C,D四点在同一个圆上.

【证明】经过A,B,C三点作。。,假设点D不在。。上则点D在内或。0外.

⑴当点D在。0内时，延长BD交00于E,连结EC,则有/A=NE,又,・・[£»□£□□%<[D。这与/A=ND相矛盾。

・••点D不在。。内。

⑵当点D在。0外时,不妨设BD交00于E,连结CE,则NA二NBEC,又•・•NBEOND

・•・NA>ND。这与NA=ND相矛盾?.点D不在圆外.所以综合(1)(2),点D在。。上.故点A,B,C,D四点在同一圆上。

AA

D

E

除此之外，四点共圆的还有下面这六种情况，建议重点掌握前面三种即可。

1、如下图，如果满足2.4。8=M。8,则A、B、D三点共圆,圆心是C.半径是CA。延KAC,使得BC=

PC,连接PB,则NADB:NAPB,则A、B、D、P四点共圆。

2、若平面上A、B、C、D四个点满足NABD=NACD=90。,则A、B、C、D在以AD中点E为圆心、EA长为半径

的圆上【斜边中线等于斜边一半可得EA=EB=EC=ED）.如右图，若平面上A、B、C、D四个点满足/ABC=NADC=

90。,两个角在线段异侧,A、B、C、D四点共圆。90。是出现频率极高的一种情况.大家要注意。

3、若平面上A、B、C、D四个点满足NBAC+/BDC=180。或者NACD+NDBA=180。;或者四边形的一个外角等于

它的内对角,则A、B、C、D四点共圆.

4、两条线段被一点分成（内分或外分）药段长的乘积相等，则这两条线段的四个端点共圆.如下左图。

四边形ABCD的对角线AC、BD交于H若AH・CH=BHDH,则A、B、C、D四点共圆.

可以发现仆ADH-ABCH,对应角相等可得/HDA;NHCB,变成上面第I种情况。这就是相交弦定理基本内容,

条件结论互换而已。

5、四边形ABCD的对边BA、CD的延长线交于P,若PAPB=PDPC则A、B、C、D四点共圆。可以发现^PAD-

△PCB,对应角相等可得NPDA二NPBC,变成上面第3种情况。这就是割线定理基本内容,条件结论互换而已。

6、如果四边形ABCD是凸四边形,ABCD+AD・BC=ACBD,则A、B、C、D四点共圆。

由JW空不等式由ABCD+ADBC2ACBD,当取等时,B、E、D共线启BH+ED=BD.此时NABH=NACD,由I可知

A、B、C、D四点共圆。本质是构造旋转相似。

五、隐形圆之定弦定角

1、若AB是定线段,P是动点,NAPB=90。,则P在以AB为直径的圆（弧）上，如下左图。

2、若AB是定线段，P点是动点，NAPB=a是一个定值，则P点的轨迹是一个圆（弧）,如中图。

如何确定圆心和半径呢？可以利用外接圆，先做AB中垂线，再在中垂线上找点0,使得NA0B=2a,O即为圆心。

过。作AB垂线交于D,则匚<PB=O=1H/1OB=JDOB所以？=）?=垣=3^（此时a为锐角）。当a为钝角时，如右

2'MD-sina_2sina

图，方法同上，可以得到180-aJjOAiQOB，=OB=/'（不用管这个三角函数怎么化简的,因为属

2'sink180-a）2sina

于高一才讲，知道结论是一样的就可以。而且题目中给的角度一般都是锐角，而且是特殊值。不是特殊值，一般会

告诉你其三角函数值）

第二部分：典型例题分析

例1如图，在平面直角坐标系xOy中，经过C（1,1）的抛物线产式2+方/4如顶点为M,与x轴正半轴交于A,

B两点

⑴如图1,连接OC,将线段OC绕点O逆时针旋转使得C落在y轴的正半轴上，求线段OC过的面积；

⑵如图2,延长线段OC至N,使得（ON=匝OC若NONA=NOBN且tan□相小♦，求抛物线的解析式；

⑶如图3,已知以直线产;为对称轴的抛物线尸/+bx+c交y轴丁。5）,交直线l:y=kx+m（k>0）丁C,D两点，若在

x轴上有且仅有一点P,使.□bD=9。，求k的值.

(2)点P是第一象限抛物线上的点，连接OP交直线AB于点Q.设点P的横坐标为m,PQ与0Q的比值为y,求y

与m的关系式,并求出PQ与OQ的比值的最大值；

(3)点D是抛物线对称轴上的一动点,连接OD、CD,设口00心卜接圆的圆心为M,当sinDOQ逸值最大时，求

点M的坐标.

【解答】⑴在片-%+3中，令广。得I,令x=0得x=0y=3,,・••点A(4,0)、B(0,3)把A(4,0)、B(0,3)代入厂一标+加也,

±x4，+4b+c=。解得：｛/>=；.•・抛物线解析式为尸、

得：

c=3

⑵如图I,过点P作y轴的平行线交AB于点E,贝U口尸EQnOAQ,□黑=*，□凿=乂。4=3匚尸)反门尸

w-g〃产+4〃计3)、E("-:w+3),

贝!JPE=(-;m2+;m+3)-(-:m+?>)=-:m2+；m,

□尸;m2+:〃?)=-:〃/+:m=-:(〃L2)2+:,

ZoLoZ

,••0<m<3,・••当m=2时,y最大值=：.PQ与0Q的比值的最大值为:;

⑶如图，由抛物线产一;.d+5+3易求C(2。).对称轴为直线x二L

•・•AODC的外心为点M,・,.点M在CO的垂直平分线上，

设CO的垂直平分线与CO交于点N,连接OM、CM、DM,

贝！JDODC=：匚CMO=UOMN、MC=MO=MD

□sin□f?DC=sinHOMN=又MO=MD,・••当MD取最小值时,sin/ODC最大.此时°M与直线x=l相切，.

MOMO'

MD=2,MN=/O"-OG=4,,,点

根据对称性,另一点(t，F)也符合题意；

综上所述，点M的坐标为（_］，叮）或岛一⑥

例3如图，抛物线产+力什,与x轴交于A、B（A左B右）与y轴交于C,直线y=-x+3经过点B、C.⑴求抛物线

的解析式；（2）点P为第二象限抛物线上一点，设点P横坐标为m,点P到直线BC的距离为d,求d与m的函数解

析式:⑶在⑵的条件下若/PCB+NPOB=180。*d的值.

【解答】⑴：直线y=・x+5经过点B、C,・・・B（5,0）,C（0,5）把B、C坐标代入产」f+6+c得到：（H解得

y2”以《U,

2+56+C-=0

{b=；・•・二次函数的解析式为

\2+2X+5;

c=5'

⑵如图I中，作PE_LBC于E,作PF〃AB交BC于F.Dp（w>_lw2+2w+5）

•・•PF〃AB,・•・点F的纵坐标为一；病+1+5,则有一；〃/+1+5=_+5,

□x=2加2—；加,□PF=2m-m=；〃/一；加,3OB=OC,□80c=9（）1

□□"尸=口。8。=45,□尸后口药口口尸足厚等腰直角三角形，

□□CPSB=90，口777=；8。=中,口尸（〃1,一；〃/+；加+5,〃6；）,

匚（止费+（_"+）+5_；）2=会整理得：病吐5%〃2-广2人0,解得止。或5或/或2,4在第二象限,

Q22^2

□机=T,□”=：〃？一小片2•

例4已知，在平面直角坐标系xOy中，抛物线产ad+；x+2交x轴于A,B.交y轴于C,连接AC、f^c,tan1ABC=\.

⑴求抛物线的函数表达式；

(2)将抛物线向左平移m个单位，使抛物线与□48c的边有且只有一个交点，求m的值;

(3)点M是位于直线BC上方抛物线上一点，连接MC,MB

①若满足swc8=K(k为常数)的点M有且只有一个,求点M的坐标；

②在①的条件下，以M为圆心的圆与y轴相切，过。M上一点E，作直线BC的垂线,垂足为G,与x轴于点F,

当"的值最小时，求E点坐标.

【解答】⑴由尸Q.J+：X+2,令x=0,得产2,口。02),。。=2,由tanDJZ?C=^E=^,匚04=4,即B(4,0),将B(4,0)代入产々

/\.JD/

/+；x+2彳导：0-16a+；K4+2,解得：“一：,♦二抛物线的函数表达式是：尸-12十：户2;

⑵由题意，当且仅当抛物线对称轴右侧与x轴交点与A重合时，此时抛物线与△ABC的边恰有一个交点，由产_

M+2令y=o厕勺=-。2=4,□力(广0).对称轴V，当抛物线平移后，得其与X轴交点为(4,o),(_?o),对

称轴为X=-3，，此时新抛物线向左平移了._3-；口="单位长度，故〃尸:；

(3)(1)平移BC(向上平移)与抛物线切于M,(图中位置)，则此时$的反.“恰有一个M,否则：当直线人交抛物线％,

此时，有S必8c=5一出心故此时有2个M,不成立，由C(O,2),B(40)知:BC为产、+2QR8C，设1方程：尸-:

/4由｛,联立：《y+s/Gybo,且此方程只有一个限，

产->2+；/2

•••△=9+3(2-b尸口得b=5,

将b=5代，入_%2+3.什(2-6)=0,

解得x=2,则%尸2,.%=4,；•点M的坐标为(2.4);

②作DE切OM于点E,作EG_LBC交DC于G,交x轴于F,则点最小，连接MB,则加小在洒而不=2延，

[BE」MA-MFH,

作MQJ_x轴交BE于K,作EP_LMQ交MQ于P,

•?ZMEK=ZBQK,ZMKE=ZBKQ,ME=BQ=2,

/.△MEK^ABQK,

AEK=QK,BK=MK,

・••设EK=QK=x,则BK=MK=4-x,

匚西+西/吐即/+22=(4-工)2,解得x=2，

□EK=QK=：,BK=：,

•••EP〃x轴,.•.△EPKS/XBQK,

£P._EK_1

BQ~HK~5,

C；,MP=』ME'EP^5,

CP0=f,n£(^f).

第三部分：针对提高训练

练I如图，抛物线产权2+2”_34弓和当X轴交于A、B两点，与y轴交于点C,且(OA=OC,直线y=-x与该抛物

线交于E,F两点.

(I)求抛物线的解析式.

(2)P是直线EF下方抛物线上的一个幻点，作PHE尸于点H,求PH的最大值.

(3)以点C为圆心，I为半径作圆，0C上是否存在点D,使得匚8CQ是以CD为直角边的直角三角形?若存在,直

接写出D点坐标；若不存在，请说明理由.

练2(福建福州九年级期中)如图，抛物线尸+以+c与直线AB交于A(-4,-4),B(0,4)两点，直线AC:产一「6交丫

轴与点C,点E是直线AB上的动点，过点.口轴交AC于点F,交抛物线于点G.

⑴直接写出抛物线尸什的解析式为；

⑵在，轴上存在一点H,连接EH,HF,当点E运动到什么位置时，以A,E,F,H为顶点的四边形是矩形?求出

此时点E,H的坐标；

⑶在⑵的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为圆E上一动点,求最小值.

练3(浙江南湖二模)定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标

圆.

(1)已知点P(2,2),以P为圆心，盘为半径作圆.请判断。P是不是二次函数12_叙+3的坐标圆，并说明理由；

(2)已知二次函数严，以+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P,妇图1,求匚QO力周长的最小值；

(3)已知二次函数产一-4.什4(0«/<1)图象交x轴于点A,B,交y轴于点C,与坐标圆的第四个交点为D,连结PC,

练4(2023江苏苏州)如图，二次函数12_6什8的图象与x轴分别交于点A,B(点A在点B的左侧),直线I是对

称轴.点P在函数图象上，其横坐标大于4,连接PA,PB,过点P作尸””垂足为M,以点M为圆心，作半径为

1的圆，PT与OM相切,切点为T.

⑴求点A,B的坐标；

(2)若以。M的切线长PT为边长的正方形的面积与的面积相等，且。M不经过点(3,2),求PM长的取值范

围.

专题19：二次函数与圆综合

［绦I］解:⑴令x=0,则y=-3a,可知点C(0,-3a)「「OA=OC..・•点A(-3a,0),<$-(”+2«x-3a=0,即a(x-l)(x+3)=0,解得:

5=一3网=1,‘点A(-3,0),B(l,0),，-3a=-3,・・・a=lJ抛物线的解析式y=x1+2x~3

(2过点P作PM±y轴交直线EF于点M”•直线EF的解析式为y=-x,，NMOA=45。,，/PMH=45。,设点.尸

G，X2+2L3),点M(x,-x),；・PH二yPM=y(-x-x2-2x+3)=-y1)+半，当时，PH的值最大为警，

⑶当/BCD=90。时.如图2左侧图所示，当点D在BC的右侧时，过点D作DM±y轴于点M,则CD=OB=1,OC

=3,tanZBCO=g

lan/CDM=tana,则sina=^,cosa=W，口切=(：。856(=嘤,同理.力=-3-噂,故点-耳

同理当点D在BC的左侧时，点D的坐标(-嚓，-3+噂)刍/CDB=90。时，如图2右侧图所示，当点D在BC

的右侧时，CD=OB=1厕点D(l,-3).当点D在BC的左侧时,由点的对称性，同理可得：点D

综上所述，点D的坐标为(普一3嘲或(一架，-3+噂)或(1,-3)或(七-W

【练2】解:⑴将点A(44),B(0,4)代入抛物线解析式可得：｛；［：T*c=-4,解得抛物线的解析式

为尸---2x+4

［一软+6=—4

⑵设直线AB解析式为产kx+b,将A(-4,-4),B(0,4)代入得卜=4'解得｛窗

由题意可得:C(0「6),设E(a,2a+4),H(0,p),则F

匚A/?=V42+82=4V5,/?C=10,4oV42+22=2心,4C2+4R2=RC2,

•••△ABC为直角三角形,NBAO90。.

结合图形可得，以A,E,F,H为顶点的矩形为矩形AFHE,EF为矩形的对角线.由矩形的性质可得，线段A

H、FE的中点重合，则“-4+0)=；("a)164+p片;〃a+46/

解得a=-2,p=-lE(-2,0),H(0,・l),由E点坐标可知，E在x轴上

(3®EG的中点P,如图2:

由⑵可知,E(-2,0),H(0,-I),A(-4,-4),・・・EHM,AE=26UPE=；EG=£

连接CP交圆E于点M,连接EM、AM..・.EM=七〃=氏□箓

ME2AE

又〈NPEM=LJM£4匚匚尸EMLMEN,□黑=竿=；匚PC当P、C、M三点共线

时，等号成立.设P(p,2P+4)屋=e+2>+(2p+4)2=(争二化简得53+2)2=：解得或尸―冷去P在点(E的左边),

匚尸6，T),"C=J2)2+(?]+6)2=?即“A/+CI做最小值为

【练3】解：(1)匚尸x2-4X+3=(.L3)(.L1),匚抛物线与坐标轴的交点A(3,O),B(1,O),C(O,3),□。(2,2),4=6,28=

V5,PC=V5,EPA=P4=PC=v5=".0P是二次函数jf2-4x+3的坐标圆.

(2)y=x2-4x+4=(x-2)2,・・・A(2,0),C(0,4),・♦.过两点A,C的圆的圆心在线段AC的中垂线上，"△POA=PO+PA+O

A=PO+PC+2>OC+2=