2026届高三数学专项复习：成对数据的相关关系 专项训练【含答案】

2026届高三微专题12.6成对数据的相关关系

r必背知识

1.变量的相关关系

(1)相关关系：两个变最有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关

系称为相关关系.

(2)相关关系的分类：正相关和负相关.

(3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负用关，而且散点落在一条直线附近，我们

就称这两个变量线性相关.

2.样本相关系数

n

E(*i-x)(yf-y)

(I)r=,i=)

、7jnHi

x尸z(y-y)2

yji=lQi=l

(2)当r>0时，称成对样本数据西送；当r<0时，称成对样本数据负相关.

(3)|r|Wl；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越理：当H越接近。时，成对样本数据的线

性相关程度越嵬.

3.一元线性回归模型

⑴我们将;=取+1称为丫关于)的经验回归方程,

n

人E（再一回（y厂刃

k—{=1

O---51-------

其中,£（方一刃2

<=1

a=y—bx.

(2)残差：观测值减去预测值所得的差称为残差.

4.列联表与独立性检验

(1)2x2列联表

如缸给出成对分类变量数据的交叉分类频数的数据统计表称为2x2列联表.

XY合计

Y=0Y=1

X=0aba+b

X=1cdc+d

合计a+cb+dn=a+b+c+d

(2)独立性检验

①依据上述2x2列联表构造统计量22nCad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

忽略*2的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值a,可以找到相应的正实数力，

使得P（/2>%）=a成立.我们称％为a的临界值，这个临界值就可作为判断12大小的标准.

②基于小概率值a的检验规则是：

当时，我们就推断％不成立，即认为X和丫不独立，该推断犯错误的概率不超过a；

当%时，我们没有充分证据推断Ho不成立，可以认为X和Y独立.

这种利用/的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为f独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称

独M性检验.

下表给出了犬独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值

a0.1().050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【重要结论】

1.线性回归直线一定经过样本点的中心（无为，据此性质可以解决有关的计算问题、判断结论的正确性.

2.根据回归方程计算的y值，仅是一个预报值，不是真实发生的值.

3.根据公的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若炉越大，则两分类变量有关的把握越大.

区教材改编

I.红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤宙，每只红蜘蛛的平均产卵数w个）和平

均温度x（摄氏度）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.

平均产卵数

40()-

350-

3(X)■

25()-

200-

15()-

1(M)-,

5()-・•

°2()222426283()323436平均温度

参考数据（z=1ny）：

777

£H£孙£XiZjXyz

i=1i=1i=1

5215177137142781.33.6

⑴根据散点图判断，），=云+〃与旷=或叫其中e=2.718…为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产

卵数），（个）关于平均温度M摄氏度）的经验回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）由（1）的判断结果及表中数据，求出），关于x的经验回归方程.

AAE（x-x）（yi-y）E苞前八

AAfyA

附：y=bx+Q中，6二^-n--------=-------,a=y-bx.

£（xt-x）2Exf-nx2

i=li=l

2.为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物（单位:只）试验，得到如下列联表:

疾病

药物合计

未患病患病

木服用10080

服用15070220

合计250t400

⑴求用；

⑵记未服用药物A的动物患疾病B的概率为p,给出p的估计值；

⑶根据小概率值«=0.01的独立性检验，能否认为药物A对预防疾病B有效?

附:/=n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.050.01().001

3.8416.63510.828

Xa

【方法储备】

判断数据相关关系的方法：

1.数点图：如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系.如果所有的样本点都落在

某一函数曲线的附近，变量之间就有相关关系.

2.样本相关系数法：若|r|的值越接近于1,说明变量之间的线性相关程度越高；当〃>0时，称成对样本数据

正相关；当〃<0时，称成对样本数据负相关.

3.经验回归方程法:在经验回归方程中，当5>0时，正相关;当5Vo时，负相关.

【典例精讲】

例1.（2025•全国•模拟）某工厂为了确定工效进行了5次试验，收集数据如下：

加工零件个数X1020304050

加工时间y（分）6469758290

经检验，这组样本数据的两个变量x与V具有线性相关关系，那么对于加工零件个数X与加T.时间V这两个

变量，下列判断中正确的是（）

气温/p

30

27

24

城高气温

21

18最低气温一T-

15

12

9

6

3

ti期

A.5号到11号的最低气温与日期之间呈线性相关关系且为正相关

B.9号的最高气温与最低气温的差值最大

C.最高气温的众数为27。。

D.S号到15号的最低气温的极差比最高气温的极差大

考点二一元线性回归模型及其应用

【方法储备】

1.求线性回归万程的步骤：

⑴利用散点图或进行相关性检验判定两个变量具有线性相关关系；

⑵列表求出无产,2X1媛，£%勺%

⑶利用相应公式计算式,乱

⑷写出线性回归方程.

⑸经验回归方程的拟合效果，可以利用相关系数|r|判断，当|r|越趋近于1时，两变量的线性相关性越强.

或利用决定系数R2判断，胆越大，拟合效果越好.

2.利用回归方程可以进行预测和估计总体，回归方程将部分观测值所反映的规律进行延伸，是我们对有线

性相关关系的两个变量进行分析却控制、依据自变量的取值估计和预报因变量值的基础和依据.

3.非线性经验回归方程转化为线性经验回归方程的方法

如：①若夕=a+b\[x,设t=y/x,则y=a+bt；②若满足对数式:y=a+blnx,设亡=Inx,则f=d+bt；

③若满足指数式：y=qeC2x,两边取对数解[ny=]nci+c2》,设z=lny,a==Q，则2=a+bx.

【典例精讲】

例3.（2025•湖南省长沙市模拟）若需要刻画预报变量w和解释变量”的相关关系，且从已知数据中知道

预报变量w随着解释变量x的增大而减小，并且随着解释变量工的增大，预报变量w大致趋于一个确定的值，

为拟合W和*之间的关系，应使用以下回归方程中的（b>O,e为自然对数的底数）（）

A.w=bx+aB.iv=­b\nx+aC.w=—b\T-x+aD.w=be~x+a

例4.（2025•江苏省无锡市月考）为了解某地区未成年男性身高与体重的关系，对该地区12组不同身高修（

单位：C77i）的未成年男性体重的平均值%（单位：kg）（i=l,2,…，12）数据作了初步处理，得到下面的散

点却和一些统计量的值.

不

70-

6」

50-J

40-•

30-.•

20-.•

10-.•••・

___itillIIitilliiii।।

o102030405060-0809010011012013014015016017O18Cf5c

121212

W（'i）2W（勺一以％一夕）W（阳-%）3-⑹

Xy3

i=l1=1i=l

11524.3582.958143006300286

表中=Iny^i=1,2,…,12）,to=

（1）根据散点图判断y=ax+匕和y=哪一个适宜作为该地区未成年男性体重的平均值、与身高工的回

归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）.

（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（3）如果体事高于相同身高的未成年男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏搜，那么该地区的一位未成

年男性身高为175cm,体重为783，他的体重是否正常？

附：对于一组数据（“1，%）,（次,吃），....（〃n，%），其回归直线u=a+夕〃的斜率和截距的最小二乘估计

分别为2=笠曲二粤声，a=v-m2no.693.

次=式葭

【拓展提升】

练2T.（2025•山东省济南市•模拟题）（多选）一组样本数据（肛为）,i<1,2,3,…,100}.其中勺>1895,

求以=2X105,玄谓％=970,求得其经验回归方程为：y=-0.02x4-^,残差为即对样本数据进行

处理：％[=Ing-1895）,得到新的数据Q1,%）,求得其经验回归方程为：y=-0.42x+a2,其残差为

Ui.百，公分布如图所示，且合〜N(0,孑)，位-N(0,蟾),贝|J()

C.厅<统D.处理后的决定系数变大

练2-2.(2025,河南省深河市•期末考试)某制药公司研发一种新药，需要开展临床用药试验.随机征集了一

部分志愿者作为样本参加试验，并得到一组数据(小％)(i=1,2…,10),其中阳，力表示连续用药i天，相应

的临床药效指标值.已知该组数据中y与Inx之间具有线性相关关系，令t=lnx,经计算得到下面一些统计

量的值：

，巴呼=385.理i%=86.£24=15.0.£巴汨=27.5,£2匕乂=528.214M=143.0.

(1)求y关于％的经验回归方程：

(2)该公司要用甲与乙两套设备同时生产该种新药，已知设备甲的生产效率是设备乙的1.5倍，设备甲生产

药品的不合格率为0.008,设备乙生产药品的不合格率为0.006,且设备甲与乙生产的药品是否合格相互独

立.

①从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率；

②在该新药产品检验中发现有三件不合格品，求其中恰有二件是设备乙生产的概率.

参考公式：对于一组数据(勺,为•)«=1,2，…,n),其回归方程歹=5%+6中，斜率和截距的最小二乘法估计

公式分别为：否=学冬喀，^=y-bx.

考点三列联表与独立性检验

【方法储备】

独①性检验的一般步骤：

⑴独立性检验原理只能解决两个对象，且每个对象有两类属性的问题，所以对于一个实际问题，我们首

先要确定能否用独立性检验的思想加以解决：

⑵如果确实属于这类问题,要科学地抽取样本,样本容显要适当不可太小；

⑶根据数据列出2x2列联表；

⑷提出假设%：所研究的两类对象(X,Y)无关；

⑸根据公式计算X2=扁鬻怒鹏的假;

(6)比较X?与临界值力,根据小概率原理肯定或者否定假设，即判断x,y是否相关.

【典例精讲】

例5.(2025•山东省枣庄市模拟)根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到f=6.147.依据a=0.01

的独立性检验(Moi=6.635),结论为()

A.变量％与y不独立

B.变量％与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01

C.变量X与y独立

D.变量％与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01

例6.(2022•湖南省长沙市期中)新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为

能减少空气污染和缓解能源短缺的压力.在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消费者的青

睐，新能源汽车产业也必将成为未来汽车产业发展的导向与目标.某机构从某地区抽取了500名近期购买新

其中购买甲车型的有200人，统计得到如下的频率分布直方图.

(1)将年龄不低于45岁的人称为中年，低于45岁的人称为青年，购买其他车型的车主青年人数与中年人数

之比为3:1.完成下列2X2列联表，依据a=0.005的独立性检验，能否认为购买甲车型新能源汽车与年龄

(2)用分层抽样的方法从购买甲车型的样本中抽取8人，再从中陵机抽取4人，记青年有X人，求X的分布列

和数学期望.

____n(ad-%)2____

附:z2=a+b+c+d-

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.1000.0500.0100.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【拓展提升】

练3-1（2025•广东省东莞市•期末考试）（多选）根据分类变量”与y的成对样本数据，提出零假设％，并计算

得到公=2.974,则下列说法正确的是（）

2

2_n(ad—bc)

~(a+b)(c+d)(Q+c)(Z)+d)

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

A.零假设为“0;分类变量大与y独立

B.根据小概率值a=0.1的12独立性检验，可以认为％与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1

C.根据小概率值a=0.01的f独立性检验，可以认为％与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01

D.若所有样本数据都扩大为原来的10倍，根据小概率值a=0.01的*2独立性检验，可以认为％与y不独立,

这个结论犯错误的概率不超过0.01

练3-2（2025•安徽省合肥市联考）针对“中学生追星问题”，某校团委正在对“性别与中学生追星是否有

关”做相关研究.现从本校随机抽取10。名学生进行调查，得到下表:

性另1」

是否追星合计

男生女生

追星4570

不追星20

合计100

（1）请将上述2x2列联表补充完整，并依据a=0.01的独立性检验，能否认为性别与中学生追星有关联?

（2）根据是否追星，在样本的女生中，按照分层抽样的方法抽取9人作为研究小组.为J'更详细地J'解情况,

再从研究小组中随机抽取4人，求抽到追星人数X的分布列及数学期望.

2

参考公式：入记趣蒜En=a+b+c+d

下表给出了独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.

a0.0500.0250.0100.001

无a3.84105.0246.63510.828

新题放送

1.12025•山东省济南市•模拟题）（多选）为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是

否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2x2列联表，计算得到户之2.727,根据小概率值为

a的独立性检验，则（）

附：

PJ2>k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

A.若a=0.100,则认为“毛色”和“角”无关

B.若a=0.100,则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10%

C.若a=0.010»则认为“毛色”和“角”无关

D.若a=0.010,则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1%

2.（2025•重庆市市辖区模拟）（多选）小张同学收集了某商品销售收入y（单位：万元）与相应的广告支出工（

单位：万元）共10组数据，绘制出散点图，如下图所示，并利用线性回归模型进行拟合.她将图中10个点

中的4点去掉后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（）

八销售收入W万元

60・

50-.***

40-.・・

30■•*A

O|\.01.52.02^53*03*54.04.55.05.5支出/万元

A.决定系数R2变大

B.残差平方和变大

C.相关系数丁的值变大

D.去掉4点后，若所有散点都在一条直线上，则决定系数中=1

332025•河北省唐山市•模拟题谋学术平台引入神智能检测系统对所收到的文本进行筛查.检测系统对4生

成文本的识别准确率为98%,对人类撰写文本的识别准确率为96.5%.检测系统对所收到的文本进行筛查时,

会对每篇文本输出一个“4生成咪率”得分y（分）.y与文本长度工（字）可以用一元线性回归模型来刻画，其

线性回归方程为产=Bx+0.95,且工=480,歹=0.35.已知该平台中15%的文本由A/生成.

（1）求回归系数务；

（2）从该平台随机选取一篇文本，求该文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率（精确到0.001）;

（3）现从平台中随机抽取200篇文本进行统计分析，填写列联表（篇数四舍五入取整数）：

检测结果

文本真实性总计

识别为加生成（篇）识别为人类撰写（篇）

真实加生成（篇）

真实人类撰写（篇）

总计200

依据小概率值a=0.01的犬独立性检验，能否判断“检测结果”与“文本真实性”有差异?

参考公式：参1a+叭缁窑…

提示：d独立性检验中常用的小蹴率值和相应的临界值

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

【答案解析】

1.解（1）由散点图可以判断，随温度升高，平均产卵数增长速度变快，符合指数函数模型的增长特点，

所以更适宜作为平均产卵数）,关于平均温度X的经验回归方程类型.

(2)将y=ce'，两边同时取自然对数，可得Inj=lnc+dx,即z=lnc+dx,

7

由顼中的数据可得，£XiZi-lx2=33.6,

i=1

77

£(勺一君2=£X?-7X2=112,

i=1i=1

7

AEXiZi-7xzAA

所以d=-------=—=0.3,贝I]Inc-z-dx-3.6-0.3X27=-4.5,

-7112

XX1-7X2

i=l

所以z关于x的经珀回归方程为z=0.3x-4.5,故)，关于x的经验回归方程为y=e°"-4.5

2.解(1)5=100+80=180,r=80+70=150.

⑵丁提的估计值为*

(3)零假设从):药物A对预防疾病B无效.

根据列联表中的数据可得

7400x(100x70-80xl50)22000

■~6.734>6.635=^,oi.

*--2-50-X-15-0X-1-80-X-22-0-=-2-97-

根据小概率值a=0.01的独立性检验.推断”。不成立.即认为药物A对预防疾病B有效

考点一成对数据相关性与相关系数

例1.解：由表中数据可得y随X的增大而增大，故丫与X正相关.乂5二：x(10+20+30+40+50)=30,

y=ix(64+69+75+82+90)=76,所以样本点的中心为(30,76),而线性回归直线过样本点的中心,

因比其线性回归直线经过点(30,76),故选O.

例2.解：4选项，因0.839>0,则y与x正相关，但相关系数不是0.839,故4错误；

B选项，回归方程过定点(元歹)，破8错误；

C选项，由回归方程可知x每增大一个单位，夕增大0.839个单位，故C正确；

0选项，回归方程得到的?为预测值，不■定满足实际情况，故。错误.

故选:C

练1-1.解：由图知，都是正相关关系，都是负相关关系，

从敦点密集程度看，心，口相关性分别比4,「2绝对值大，所以丁3>4>0>72>Q.

故选：D.

练1-2.解：由某地3月5日到3月15日的每天最高气温与最低气温(单位：°C)数据，折线图，知：

在.4中，5号到11号的最低气温与日期之间，在一条直线附近，成上升趋势，即呈线性相关关系巨为正相关，

故A正确；

在8中，由图知，6号的最高气温与最低气温的差值最大，故B错误；

在C中，最高气温27。出现2次，次数最多，则众数为27。&故C正确；

在D中，5号到15号的最低气温的极差小于15-3=12,最高气温的极差为27—15=12,故最高气温的

极差大，故。错误

故选；AC.

例3.解：W于力：因为y=%在定义域内单调递增且8>0,所以w随着%的增大而增大，不合题意，故

4错误：

对于B：因为y=lnx在定义域内单调递增且b>0,所以w随着工的增大而减小，

当解释变量为T+8,WT-8,不合题意，故B错误；

对于C：因为y=Q在定义域内单调递增且b>0,所以w随着工的增大而减小，

当解样变量％—十8,WT—8,不合题意，故C错误；

对于0：因为丫=。一'=《尸在定义域内单调递减且匕>0,所以卬随着“的增大而减小,

当解释变量X—+8,WTQ,故。正确；

故选：D.

例4.解：（1）根据散点图，选择模型丫=/>。更适宜作为该地区未成年男性体重的平均值y与身高》的回归

方程类型；

（2）对y=eOd两边同时取对数，可得济y=ex+d,即e=ex+d,

所以2==0.02,则2=ZJ-cx=2.958-0.02x115=0.658,

14300

所以y=e0,002x+0,658.

（3）由仇2ao.693,可得08693^2,

令X=175,则y=e0-02xl75+0,6S£_e6x0,693_（?0.693）6之»=64,

又64x1.2=76.8<78,所以该男生偏胖.

练2T.解：对于A、由经验回归方程的斜率为负可知样本（孙力）负相关，故A正确；

对于小、文=喘^=2X103,5=喘［=9.7,

代入5=—。02%+8］得苗=49.7,故B正确;

对于C、由残差图可知，处理前的残差比处理后的残差更分散，所以*>。春故C错误；

对于0、处理后残差的绝对值更小，

所以处理后的决定系数变大，故。正确，

故选：ABD.

练2-2.解：（1*=糕=1.5,歹=白型1%=8.6,

公_£昌GyTOEy_143.0-10x1.5x8.6_

D=c7=7=乙8,

27.5-10x1.5-

a=y-bt=8.6—2.8x1.5=4,4,

所以y关于t的线性回归方程为：y=2.8t+4.4,

所以y关于“的回归方程为9=2.81nx+4.4；

(2)设事件力:随机抽取一件药品来自设备甲生产,

事件3:随机抽取一件药品来自设备乙生产，

事件C：随机抽取一件该公司生产的药品为不合格品,

①因为设备甲的生产效率是设备乙的15倍，

所以P(4)=1,P⑻4，

则P(C|/1)=0.008,P(C\B)=0.006,

所以P(C)=P⑷•P(C|A)+P(B)•P(C|F)=1x0.008+1x0.006=0.0072,

故所抽药品为不合格品的概率为0.0072；

2

P(8)P(C|8)_W06_i

②P(8|C)=-P(C)-=0.0072=3

即所抽药品为不合格品，该药品来自设备乙生产的概率为今

所以三件不合格品中恰有二件是设备乙生产的概率为P=或0)2x|=1.

例5.解：a=0.01时，Xa=6.635,则大于2。时相关，不独立，

而,丫2=6.147<Xa=6.635,所以变量％与y独立，

但是这个结论犯错误的概率超过0.01,故A,B,。错误，C正确.

故选C.

例6.解：(1)由直方图可知，购买甲车型的青年人数为200(0.005+0.025+0.0325)x10=125人，中年

人数为200-125=75人，

购买其他车型的青年人数为(500-200)x言=225人，中年人数为300-225=75人,

•3-iA

可得2x2列联表:

青年中年合计

甲车型12575200

其他乍型22575300

合计350150500

零假设Ho：购买甲车型新能源汽车与年龄无关.

因为公=嘿箫湍鬻&929>7.879.

根据小概率值a=0.005的独立性检验，我们推断％不成立，即认为购买甲车型新能源汽车与年龄有关,

此推断犯错误的概率不大于0.005.

(2)用分层抽样的方法从购买甲车型的样本中抽取8人，则肖年的8x黑=5人，中年有8x六=3人,

所以X的可能取值为1,2,3,4.

P(x=D=普装虫，P(x=2)=普璃用，

P(X=3)=警埸T叩=4)=普

得分布列：

X1234

1331

P

147714

所以£(X)=1X^+2X2+3X1+4X^=1.

练3-L解：选项A：f独立性检验的零假设也定义为“分类变量x与y独立”，符合基本概念，故4正确；

选项8：当a=0.1时，临界值&.[=2.706,由于计算得到的公=2.974>2.706,

零陵设不成立，即认为“与y不独立，R犯错误的概率不超过。=0.1,故8正确；

选项C：当a=0.01时，临界值沏Qi=6.635,由于公=2.974<6.635,

零假设成立，无法认为％与y不独立，故C错误；

选项D：样本数据扩大10倍时,f公式中分子"(ad—儿产变为10几x[100(ad—be')]2=10nx10000(ad—

he)2,

分母变为104(a+b)(c+d)(Q+c)(b+d),因此新d为原22值的短倍(即2.974x10=29.74),

此时29.74>6.635,零假设不成立，即认为“与y不独立，且犯错误的概率不超过0.01,故。王确.

故选：ABD.

练3-2.解：(1)列联表补充为

性别

是否追星合计

男生女生

追星452570

不追星102030

合计5545100

零假设“。：性别与中学生追星无关联,

100x(45x20-25x10)2

«8.129>6.635=x»

55x45x70x30001

依据小概率值a=0.01的独“.性检验，我们推断％不成立，即认为性别与中学生追星有关联,

此推断犯错误的概率不大于0.01.

(2)由题意知，9人中追星的有5人，不追星的有4人.

由题意可知，X的