2026年八年级数学上下册几何模型专练：全等模型-倍长中线与截长补短（原卷版）

专题01全等模型一倍长中线与截长补短

全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型

（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型I.倍长中线模型

【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题E寸，常常采用“倍长中线法”添加辅助线.所谓倍长

中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.（注:

一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。

【常见模型及证法】

1、基本型：如图1,在三角形48c中，为8C边上的中线.

证明思路：延长力。至点已使得若连结8M则ABOEwAC。％;若连结EC则=

2、中点型:如图2,C为44的中点.

证明思路：若延长七。至点尸，使得。尸=£。，连结/尸，则A4CE=A4C77；

若延长。。至点G,使得CG=OC,连结8G,则AJCO兰A8CG.

3、中点+平行线型：如图3,ABHCD,点E为线段片。的中点.

证明思路：延长CE交于点F（或交延长线于点尸），则AEQC二

例I.（1）方法呈现:

如图①：在△力4。中，若AB=6,JC=4,点。为8C边的中点，求6。边上的中线力。的取值范围.

解决此问题可以用如下方法：延长力。到点£使。£=/。，再连接6伉可证A4CD丝AEBD,从而把48、AC.2月。集

中在yBE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________,这种解决问题的方法我们称为倍

长中线法;

（2）探究应用：如图②，在“8C中，点。是6c的中点，DE上DF亍点D,DE交AB于点、E,。尸交力。于点入连接

EF,判断BE+CF与EF的大小关系并证明;

⑶问题拓展：如图③，在四边形/8CQ中，ABHCD,力b与0c的延长线交于点工点石是8c的中点，若AE昂NBAF

1

的角平分线.试探究线段月8,AF,b之间的数量关系，并加以证明.

图③

例2.倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段〃要满足两个条件：①线段。一个端点是图中一条线段/）的中点；

②线段〃与这条线段6不共线），然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他

的结论，从而解决问题.

【应用举例】如图（1）,已知：力。为A/18C的中线，求证：AB+AC>2AD.

简记:如图（2）,延长到E,使得DE=AD,连接CE,易证XABD三AECD,得4B=在A4CE

中，AC+CE>AB+AC>2AD.

【问题解决】（I）如图（3）,在A46C中，彳。是SC边上的中线，E是.4。上一点，且BE=4C,延长比交力C于f，

求证：力尸=瑁、（2）如图（4）,在中，/力=90。,。是8c边的中点，E、F分别在边48、4c上，DELDF,

若^七二二0尸二乞求后尸的长.（3）如图（5）,力。是A48C的中线，=4E,4c=/F,且NB4E=/F4c=90。,

请直接写出力O与EF的数量关系____________及位置关系.

2

E,

A

图(4)

例3.课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

⑴如图1,△IBC中，若/8=5,JC=3,求8C边上的中线/。的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方

法：延长4。到点E,使DE=HD,请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程.

(2)如图2,/I。是△/历。的中线，BE交八C千E,交/I。丁厂，B.AE-EF.请判听//C与"的数量关系，并说明理由.

图2

例4.阅读材料：如图1,在中，D,E分别是边力。的中点，小亮在证明"三角形的中位线平行于第三边，且等

于第三边的一半”时，通过延长。E到点匕使EF=DE,连接CH证明△力。£且“?此，再证四边形。8c下是平行四边

图

图12图3

3

例2.如图，在“8C中，AC=BC,AD平分/C4B.

图1图2图3

(1)如图1,若4C8=90。，求证：AB=AC+CD](2)如图2,若,4B=4C+BD,求/4C8的度数;

(3)如图3,若N4C8=100°,求证：AB=AD+CD.

例3.如图，在锐角中，N4-60。，点。，E分别是边/8/C上动点，连接8K交直线C。丁点，.

⑴如图1,若相＞力。，且BD=CE/BCD=/CBE,求/。/后的度数；(2)如图2,若AB=AC,且BD=4E,在平

面内将线段4C绕点C顺时针方向旋转60。得到线段。W,连接M/"点N是A//的中点，连接CN.在点。，£运动过程

中，猜想线段8ECRCN之间存在的数量关系，并证明你的猜想.

例4.(1)阅读理解：问题：如图1,在四边形48co中，对角线BD平分乙4BC,N4+NC=1800.求证：DA=DC.

思考：“角平分线+对角互补',可以通过'.截长、补短''等构造全等去解决问题.

方法1：在8c上截取8M=3/1,连接力得到全等三角形，进而解决问题；

方法2:延长到点N,使得8N=4C,连接。N,得到全等三角形，进而解决问题.

结合图1,在方法1和方法2中任选一秋，添加辅助线并完成证明.

(2)问题解次：如图2,在(I)的条件下，连接/C,当/。4。=60。时，探究线段48,吟8。之间的数量美系，

5

并说明理由；（3）问题拓展：如图3,在四边形48CO中，+ZC=180°,DA=DC,过点。作。E_L8C,垂足为

点E,请直接写出线段力3、CE、8C之间的数量关系.

BB

D

BEC

D

图1图2图3

课后专项训练：

1.如图，在四边形/8CQ中，AB//CD,ABLBD,AB=5,80=4,。。=3,点E是,4。的中点，则4E的长为

（）.

DC

一

AB

A.2B.|C.75

D.3

2.如图，在四边形/8CO中，NDAB=NBCD=90。,AB=AtD,若这个四边形的面积是4,则8C+C。等于：）

/------------------E

A.2B.4C.2&D.4a

3.如图，A/18C与△4OC有一条公共边AC,且AB=AD,ZACB=ZACD=x,则NBAD=_______.（用含有x的代数式

表示）

6

D

4.如图所示，已知4c平分N8/。，Z5+ZD=180°fCEJ.4B于点、E,判断乂氏与8E之间有怎样的等量关系，并

证明.

5.利用角平分线构造',全等模型”解决问题，事半动倍.

(1)尺规作图：作/力的平分线。C.

【模型构造】(2)填空:

①如图.在△力^。中，AB<AC.X。是△44。的角平分线，则D"NC.（填“〉:“=”或Y"）

方法一：巧翻折，造全等

在/C上截取=连接Of,则△48O=A4EQ(SAS).

②如图，在四边形/8CQ中，ABHCD,Z5=90°,/历1。和NCQ/1的平分线/E,DE交BC于点E.若BC=12cm,

则点E到AD的距离是cm.

方法二：构距离，造全等

过点E作石尸垂足为点尸，则△4

【模型应用】(3)如图，在A/BC中，/力=60。，BE,C"是A/BC的两条角平分线，目RE,CF交于点P.

7

①请直接写出N8PC=;②试猜想尸E与川"之间的数量关系，并说明理由.

6.（1）如图①，在四边形48C。中，AB=AD,Z.BAD=\2Q°,ZB=ZADC=90°,E、尸分别是8C'、C。上的点，且尸=60。,

探究图中线段8反叶汽。之间的数量关系.某同学做了如下探究，延长短）到点G,使QG=8伉连接的,先证明△相£且△力。G,

再证明△/"且可得出结论，他的结论应该是_____.（2）如图②，若在四边形/8CQ中，//=力。/3+/S180。.反

厂分别是8G。上的点，且NE4吟NB肛上述结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，写出正确的结论,

并说明理由.（3）如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（。处）北偏西30。的.4处，舰艇乙在指挥中心南偏东70。

的2处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里，时的速度前进，舰艇乙沿北偏

东50。的方向以80海里时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达£、尸处，且两舰艇之间的夹角为

70。，试求此时两舰艇之间的距离.

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7.：,果勺块趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1,在4ABC中，若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取

值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E,使得DE=AD,再连接BE（或将aACD绕

点D逆时针旋转180。得到AEBD）,把AB、AC、2AD集中在AABE中，利用三角形的三边关系可得2<AE<8,则1

<AD<4.

【感悟】解题时，条件中若出现中点、中线字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和

所求证的结论集中到同一个三角形中.

【解决问题】受到⑴的启发，请你证明下列命题：如图2,在4ABC中，D是BC边上的中点，DE1DF,DE交AB

丁点E,DF交AC丁点F,连接EF.

（1）求证：BE+CF>EF,（2）若/A=90。，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明.、

A

E

图1图2

8.我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形.如图，OA=OB,OC=OD,NAOB=/COD

=90°,回答下列问题：

⑴求证：△。忙和△。班）是兄弟三角形.（2广取出）的中点匕连接OP,试说明<C=2OP.”聪明的小王同学根据所要求的

结论，想起了老师上课讲的•'中线倍长'’的辅助线构造方法，解次了这个问题，按照这个思路回答下列问题.心请在国中通过

9

作辅助线构造并证明8E=OO；②求证：AC=2OP.

9.如图1,在中，CM是川4边的中线，4BCN二上BCM交月〃延及线丁点N,2CW—CN.(1)求证4。一4N;

CP

(2)如图2,NP平分/ANC交CM于点、P,交BC于点O,若4MC=120°,CP=kAC,求"的值.

CM

I。.已知点O是线段月8的中点，点P是直线I上的任意一点，分别过点A和点B作直线I的垂线,垂足分别为点。和点。.我

们定义垂足与中点之间的距离为•,足中距”.

(1)［猜想验证］如图1,当点P与点。重合时，请你猜想、验证后直接写廿•足中距”OC和的数量关系是.(2)

［探究证明］如图2,当点尸是线段相上的任意一点时，“足中距”0。和O。的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明;

若不成立，请说明理由.

(3)［拓展延伸)如图3,当点P是线段从［延长线上的任意一点时，“足中距和。。的数量关系是否依然成立，若成立，

请给出证明；若不成立，请说明理由;

10

DDD

图1图2图3

11.如图，四边形48CZ)中，/8+NQ=180。，/BCD=150CB=CD,M、N分别为力民/I。上的动点，且

ZA/GV=75°.求证：MN=BM+DN.

C

12.如图，已知：在“8C中，/8=60。，CE、4尸是一8C的