第11章 整式的乘除（单元测试·提升卷）解析版-2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷

第11章整式的乘除♦能力提升

建议用时：120分钟，满分：120分

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1.下列计算正确的是（）

A.=x6B.x3-x3=2x3C.=xD.（x3）3=x9

【答案】D

【分析】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、同底数塞的乘除、塞的乘方等基本法则，需逐一验证各

选项的正确性，熟练掌握运算法则是解此题的关键.

【详解】解:A、F+P=2F,故原选项计算错误，不符合题意；

B、故原诜项计算错误，不符合题意：

C、故原选项计算错误，不符合题意；

D、（x3）"=x9,故原选项计算正确，符合题意；

故选：D.

2.若代数式/一4%+。可化为（x-a>一l,则〃一〃=（）

A.3B.-1C.1D.-3

【答案】C

【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

利用完全平方公式将原代数式转亿为给定形式，比较系数列方程求解.

【详解】由题知，x2-4x+b=（x-a）2-1,

又/一4%+》=（工-2>+》-4,

:.a=2,b-4--\,

解得。=2力=3,

：.b-a=\,

故选：C.

3.当机为自然数时，下列一定能整除（4/〃+5『-9的数是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【分析】本题主要考查了因式分解的应用.把原式利用平方差公式进行因式分解，可得无论初取何自然数,

（4旭+5）2-9恒为8的倍数，即可求解.

【详解】解：（4〃?+5）2-32

=（4m+5+3）（4〃?+5-3）

=（4m+8）（4w+2）

=8（AW+2）（2/W+1）.

・•・无论初取何自然数，（4m+5）J9恒为8的倍数，

・・・一定能被8整除.

故诜：D

4.已知长方形的面积为4片-6，心+2〃，长为2a,则这个长方形的宽为（）

A.2a—3bB.8。-6/2+2C.4ci-3b+lD.2a—3b+1

【答案】D

【分析】本题考查整式的除法及整式加减运算的应用.根据长方形的面积公式可得长方形的另一边长为

（4/-6岫+2〃）+加，根据多项式除法法则进行计算.

【详解】解：•・•长方形的面积为4/一6他+2a,且一边长为2a,

・•・另一边长是：（4/-6a力+2。）+2。=2。-38+1,

故选：D.

5.已知a=〃z+2024,Z?=77/4-2025,c=w+2026»则代数式片+c?-a〃一Z?c-ac的值为（）

A.5B.6C.3D.8

【答案】C

【分析】本题主要考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式，把所求式子变形为含b-c、的

形式是关键.由々=帆+2024,/?=/?/+2025»c=/〃+2026,得。一匕=-1,b-c=-\,a-c=-2,将

/+6+。2-〃力一儿.一必进行因式分解变形，即可得结论.

【详解】解：。=6+2024,8=6+2025,c=〃z+2026,

:.a-b=-\,b-c=-\,a-c=-2,

a'+b2+c2-ub-be-ca

=1(2/+26+2c2-lab-2bc-2ca)

=-(a-b)2+-(b-c)2+-(a-c)2

222

=—+—+2

22

=3,

故选：c.

ab,x-22

6.规定=ad-bc,若.=2,Mx2-4x=()

cd3x-2

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】本题考查了新定义的整式运算.

根据新定义即求出X2-4X的值.

ab

【详解】解」•一…•,

22

x-222|=(X-2)(X-2)-2X3=X-4X+4-6=X-4X-2

3x一

x-22

2,

3x-2

"-4工-2=2,

即x2-4x=4,

故选:B.

7.已知广・3,2〃=5，2'=30，则4，b,c之间满足的等式是()

A.c=a+/?+lB.c=ab+\

C.c=a+bD.c=cib

【答案】A

【分析】本题考查同底数某相乘，掌握同底数寻乘法法则是解题关键.根据指数运算法则，将30分解为已

知的2的基次相乘，进而比较指数得出关系式即可.

【详解】解：•••30=3x5x2,

【详解】解：9x9x...x9=9,n=（32）m=32w=34050

nt不9

3+3...+3=3〃

♦

杯3

4O5OM）49

A/?=3^3=3-,

故选：D

10.现有若干个长为“，宽为〃的小长方形（如图1）.将其中2个小长方形摆放在边长为"的正方形内（如

图2）,右下角阴影部分的面积为9；再将其中3个小长方形摆放在边长为（。+6）的正方形内（如图3）,记

右上角的阴影部分面积为叫右下角的阴影部分面积为%若而则S—的值为（）

23

D.

T

【答案】B

27

【分析】本题考查乘法公式在几何图形中的应用，由图2得。=3,结合"=彳，得出m=6,再

用含4,〃的式子表示出$2-1，代入求值即可.

【详解】解：•.■图2右下角阴影部分的面积为9,

A(4-6)2=9,

:a—b=3（负值舍去）,

,27

•/ab=——,

4

(〃+〃)-=(«―/?)'+4〃〃=9+4x亍=36,

--a+b=6（负值舍去）,

2

由图可得，S2=(a+b-b)(<a+b-2b)=a-ab,Si=h(a+b-a)=b~,

、、9745

5,-S1=a2-ab-b2=(a+b)(a-b)-ab=6x3--—=~

故选B.

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

11.若一个长方形的面积为加力+/，一边长为九则另一边的长为.

【答案】2a+b/b^2a

【分析】本题考查多项式除以单项式.利用面积除以一边长求得另一边长，即可解答.

【详解】解：长方形的另一边长为：(加〃+〃)+〃=加+6,

故答案为：2a+b.

12.若2)十3y-3=(),则9匕27'.的值是.

【答案】27

【分析】本题考查了累的乘方的逆运算，同底数嘉的乘法运算，由已知可得，再利用累的乘方的逆运算和

同底数幕的乘法运算可把代数式转化为327，，进而把J知代人计算即可求解，掌握幕的运算法则是解题的

关键.

【详解】解：•・・2x+3y-3=0,

/.2x+3y=3,

.・,9r-27v=(32)，33)'=32V?3y3f=3=3,

故答案为：27.

2

13.若4=-丁+41-3,B=x+2x+2yt则AB.(填写“〉"或‘<"或“=”)

【答案】<

【分析】本题考查了整式的加减，完全T：方公式的运用，列式得到5-A=(x-l)2+(y+l『+l>0,从而得

出结果.

【详解】•・,8—A=(x2+2x+2y)-(一丁+4、-3)

=x2-2x+y2+2y+3

=(x-l)2+(y+l)2+l>0,

：.A<B.

故答案为：<.

abab

14.4个数a,b,c,d排列为〃，我们称之为二阶行列式，规定它的运算法则为=ad-bc.若

cdca

x-2x+3

=9,则x的值为

x+1x-2

【答案】-1

【分析】本题考查了新定义运算，涉及了完全平方公式，多项式乘法，解一元一次方程等知识，正确理解

新定义的运算规则是解题的关键.

按规定的运算可得关于X的方程，解方程即可求得答案.

abx-2x+3

【详解】、d=°d.bc，川=9,

x-2

.\(X-2)(X-2)-(A+1)(X+3)=9,

/.(?-4x+4)-(x2+4x+3)=9,

..x2-4X+4-X2-4X-3=9,

解得x=—l,

故答案为：-1.

15.若a+b=4,则3标+6。〃+3加一47的值为.

【答案】1

【分析】此题主要考查了因式分解的应用，正确分解因式是解题关键.先用完全平方公式分解因式，把已

知数据代入得出答案.

【详解】解：3/+6他+3必—47=3（/+2"+。2）-47=3（〃+。『-47,

Va+/>=4,

・•・原式=3x4?-47=1.

故答案为：1.

16.有两个正方形A,B,现将B放在A的内部如图①，将4,B并排放置后构造新的正方形如图②，若图

①和图②中阴影部分的面积分别为;和Y，则正方形A，8的面积之和为______.

44

□□回

------图①

7

【答案】y

【分析】本题考查完全平方公式，整式乘法；掌握完全平方公式是解题的关键.

113

设正方形A,B的边长分别为由几何图形得，a2-b2-2b(a-b)=a2-2ab+b2=-,(a+b)2-a2-b2=—,

44

进而即可求解.

【详解】解：设正方形人，B的边长分别为“口，则

图①中阴影部分面积为a2-b2-2b(a-b)=a2-2ab+b2=^~

4

iQ

图②中阴影部分面积为(。+h)2-a2-b2=-

4

13

・•.a2+b2+2ab-a2-b2=—

,,11—1137

..a~+b~=—+2ab=—i—=—.

4442

故答案为：g

17.如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形A8c。的右下方，使其重

叠部分是长方形，面积记为S3,两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为S2.已知UK—6,

则5=

【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形的面枳，根据正方形的性质，可得CE=b+4,设b=x,

则CE=x+4,即得52=(X+4)\进而得到『+"+4丫=120,再利用

(x+4—X『=(X+4)2—2x(x+4)+.d=i6可求得x(x+4)=52,据此即可求解，掌握完全平方公式的运用是

解题的关键.

【详解】解：•••正方形A8CD,

BC=CD,

：.CE+BE=CF+DFt

BE=6,DF=10,

：.CE+6=CF+\0,

C£=C〃+4,

设b=x,则CE=x+4,

・・・$=/,S2=(X+4)\

•.f+$2=120,

・•・，+(X+4F=120,

•:x+4—x=4,

A(x+4-x)2=(x+4)2-2x(x+4)+x2=16,

A120-2x(x+4)=16,

:..r(x+4)=52,

・•・55=CFCE=X(X+4)=52,

故答案为：52.

18.如果一个四位数4=砺各个数位数字互不相等且均不为0,若满足应=/-1，则称这样的四位数为

“好运平方差数”，并规定短(A)："""：：：；*?''',G(A)=与瞪.例如：6237,因为62-32=27,所以

6237是一个“好运平方差数”，6(6237)=3x27+2*3+2x32=]5,G(6237)=与联不=；.若A是最

小的“好运平方差数"，则A是.若3=2(XX)/w+l(X)n+10x+>'+10(m,ntxty是整数，且1<,«<4,

1W〃W9,0SXS8,9)是一个••好运平力差数"，且"(B)--能被6整除,则所有满足条件的“中

in-1

G(3)的最小值为.

14

【答案】5136—

1•J

【分析】由题意可得1Wa,〃,c,"W9,且结合应=]()/?+d得出12K而K98，12W/-c2498,

推出〃之4,再分情况讨论即可得解；由题意得出B=(2，〃)〃a+l)y,加=(2W『-(X+1)2,求出

3万+22〃.（X+1）+2（X+1）2=6,〃_（X+]）,得至迪士=6-主义，即6-当能被6整除,

'72m+x+l'7m-\m-\m-\

m—\=\m-\=\m-\=2Iw-1=3

结合题意得出>12=12成,uV\\：・,分情况计算即可得解.

-x+12=18'x+12=12[x+12=18

【详解】解：•••一个四位数A=砺各个数位数字互不相等且均不为0,

/.\<a,bx,d<9,且

•;而=lOb+d，

12K直工98，

,**bd=a2-c2

12<672-C2<98.

a>4,

，"ja=4,c=l时，a2-c2=\5'此时8=1,d=5,不符合题意；

当〃=4,c=2时，"-/=12,此时〃=1,4=2,不符合题意；

当。=5,。=1时,a2-c2=24,此时b=2,d=4,符合题意,为5214；

当〃=5,c=2时，a2-c2=21,此时〃=2,d=\,不符合题意；

当4=5,c=3时，a2-c'=16»此时方=1,4=6,符合题意，为5136：

V5136<5214,

・•・A是5136：

•・•B=2000〃z+100〃+10x+)，+10(阳，n,x,)'是整数，且14加44，1W〃W9,04x48,\<y<9)

是一个，，好运平方差数，，，

B=(2〃?)〃(x+l)y,

/.ny=(2m)'-(x+1)",

3而+22〃.(X+1)+2(X+1)2

,,F(B)=

2///+X+1

3-(x+1)[+2.2m(x+l)+2(x+l)

2m+x+I

_12/H2+4/n(x+l)-(.r+l)2

2m+x+\

[6〃?-(x+1)][2/〃+(x+1)]

2m+x+I

=6/72-(x+l),

.F(B)-17_6/??-(x+l)-17_6,M-X-18_6(/z2-l)-(x+12)x+12

••~=o-

m-1m-\m-\m-\m-\

•・•网8)T7能被6整除,

in-1

r+12

・・・6—号能被6整除，

/n-1

•・・1W〃W9,l<y<9,

・•.12<ny<98,

Vny=(2iny-(x+l)~,

2m之4,

/.22,

Vl</n<4,0<x<8,

・・・M〃-1W3,12<x+12<20,

77/-1=1[???-1=1\m-\=2/??-1=3

x+12=12[x+\2=18[x+12=12x+12=18

m-\=\即“:，此时〃y=(2/n)2-(x+l)~=15,即4=1,

当・时,)=5,此时B为4115,不符合题意;

x+12=12

式in+-1\2==l18时，即][t“n=62’此时〃—k（,2〃L、？，<、？°，不符合题意;

当“m+-1\2==212时'叫m“=03,此时町—，=(,2对、2《,+1、)2-=35,

即〃=3,y=，此时5为6315,

3x6-2x518-108

G（B）==

3+2x13+25

，〃一I=3,m=4,,—z、2/、，

当72=18时'即“6,此时町=(2m)-(k1)&5,即〃=1>'=5,此时8为8175,

3x8-2x524-1014

0（oI=---------------=-----------=—；

'71+2x71+1415

..148

・一<—»

155

・・・G（8）的最小值为

14

故答案为:5136；—.

【点睛】本题考查了整式加减的应用、因式分解的应用、解二元一次方程组、平方差公式的应用等知识点,

熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键.

三、解答题（共7小题，共78分）

19.（10分）分解因式：

（1）.'/tv2-6〃LV+9〃I.

⑵片(一)+16(…)

(3)|x2+y2)2-4x2y2

【答案】(1)〃口一3)2

⑶

【分析】本题考查因式分解，熟记乘法公式，掌握因式分解的方法是解答的关键.

(1)先提公因式小，再利用完全平方公式求解即可；

(2)先提公因式(x-y),再利用平方差公式求解即可；

(3)先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可求解.

【详解】(1)解:mx2-6mx+9m

=7?t(x2-6x+9)

=M(X-3))(3分)

(2)解：a2(x-y)+16(y-x)

=a2(x-y)-16(x-y)

=(.),)("一16)

=(x-y)(a+4)(a-4)：(6分)

(3)解：(x2+y2)2-4x2/

=(x2+y2-2.ryf)(x2+y~+2邛)

=(x-y『(*+、)•(io分)

20.(10分)老师在黑板上写了一道题目：

求(x+)，-3乂工+)，+3)-(2工+)，)3-4工)一心4)，的值，已知不=-1.针对这道题目小涛和小玲的讨论如图所

示.

这道题只知道r的位.这道题与」的取值

没有告诉、的值.无他无关•句以求

法求出客案.出答案.

小海

（1）你认为谁说得对？请说明理由.

⑵如果x=-2,y=5,求这个式子的值.

【答案】（1）小玲说得对，理由见解析

（2）27

【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值；

（1）先计算整式的乘法运算，再合并同类项即可判断；

（2）把％=-2,y=5,代入（W中的代数式，再计算即可.

【详解】（1）解：小玲说得对.理由如下：

（x+y_3）（x+y+3）_（2x+y）（y_4x）_x・4y

=（x+y）'-9-（2jy-8x2+y2-4x）?）-4xy

=^+2xy+y2-9-2xy+Sx--y2+4AJ»-4盯

=9x2-9.

经过化简，原式的结果只与％的取值有关，所以小玲说得对.（5分）

（2）解：由（1）得，原式=9*2-9.

当了=-2时，原式=9x（—2『-9=27.（10分）

21.（10分）如图1是一个长为2匹宽为劫的长方形（〃＞力），沿图中虚线剪成四块完全一样的小长方形，然

后按图2的方式拼成一个正方形.

（2）利用图2中阴影部分的面积的两种不同计算方法，写出卜.列三个代数式帅之间的数

量关系是.

(3)利用(2)中的结论，对于实数小儿当x—)，=2,不，=0.25时，求x+y的值.

【答案】

(2)1«-/>)2=(«+/>)'-4ah；

⑶x+y=土石.

【分析】此题考查了乘法公式与图形面积，读懂题意，正确计算是解题的关键.

(1)由小长方形的边长即可得到答案；

(2)由图2中阴影部分面积可以表示为(。-6)2,还可以表示为(〃+〃『-4",即可得到答案；

(3)由(2)可知=(x+»-4碎，则有(x+)，y=(x-J+4»,然后把x-y=2,孙=0.25代入

即可得到答案.

【详解】(1)解•：图2中阴影部分的止方形的边长是

故答案为：(3分)

(2)解：图2中阴影部分面积可以表示为还可以表示为(。+与2-4",

(a-b)'=[a+b)2-4ab,

故答案为：=(a+b)2-4ab；：6分)

(3)解：由(2)知(x—y『=(x+)，)2—4Ay,

・・・(工+)，)2=(公),)2+4外，

x-y=2,xy=0.25,

A(x+y)2=22+4x0.25=5,

/.x+y=±5/5.(10分)

22.(12分)阅读下面的材料：我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用.例

如，”同底数冢的乘法”“幕的乘方卬积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：a*"=H,

如下列探究：

探究一：比较*与驴的大小.

解：因为2"=(2，)’=32-1312=(3")'=81，

又因为32<81,所以323<8/，所以2”<3气

小结：指数相同的情况下，通过匕较底数的大小，来确定两个冢的大小，

探究二：比较28和82的大小.

解：因为82=(21=26,且8>6,所以矛*,B|J28>82,

小结：底数相同的情况下，通过匕较指数的大小，来确定两个某的大小.

解决下列问题：

⑴比较2”,4然的大小；

(2)比较7",4%，3金，260的大小；

(3)比较3外即与3隈5口的大小.

【答案】(D244=422

(2)348>436>724>260

(3)3,OX5,2>3,2X5'°

【分析】本题考杳了呆的运算，掌握哥的性质是解题的关键.

(1)仿照探究二比较即可；

(2)仿照探究一比较即可；

(3)利用积的乘方的逆运算转化，进而比较即可；

【详解】⑴解：•・,244=(2，『=16"，422=(42)，，=16,1,

/.244=422;(4分)

(2)解：・・・724=(72>=4索，436=(43)，?=6412,348=(34)"=8112,260=(25)'2=32,2,

XV81>64>49>32,

81'2>6412>49|2>32,2,

•一招〉4%〉？物〉？60;(8分)

(3)解：V3,2X5,O=(3X5)，OX3\3,ox5'2=(3x5)'°x52,

又•••52>32,

.,.3,0X5,2>3,2X5,°.(125>)

23.(12分)我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们

也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所

缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式.

例：计算(8/+6X+1)+(2X+1),可依照672+21的计算方法用竖式进行计算.因此

(8./+6x+l)+(2x+l)=4x+l.

324x4-1

21J6722x+l)8X2+6X+1

638X2+4X

422x+l

422.r+l

00

图1图2

请根据阅读材料，回答下列问题：

(1)模仿例题中列竖式计算的方法计算(f+3x+2)+(x+l)的值.

⑵现在有一个长方体长为(x-l)cm,宽为(x+4)cm.若这个长方体体积为(d+6.d+5x-12)cm)

①求这个长方体的底面积(用含X的代数式表示)：

②求这个长方体的高(用含工的代数式表示).

【答案】⑴"+2

⑵①(%2+31-4)5】2：②(x+3)cin

【分析】本题主要考查了多项式除以多项式，多项式乘以多项式，正确理解题意是解题的关键.

(I)仿照题意利用竖式计算即可；

(2)①用长方体的长乘以其宽即可得到答案；②用长方体的体积除以其底面积即可得到答案.

【详解】(1)解・：

x+2

/+3「+2

x2+x

—

2/2

21+2

|°

工任+3x+2)+(x+l)=x+2；(6分)

(2)解：©(x-l)(x+4)=x2-x+4x-4=(x2+3x-4)cm2,

・••这个长方体的底面积为(f+3x-4)cm2；(9分)

②

x+3

232

X+3X-4)X+6X+5X-12

/+3/-4%

3X2+9X-12

3X2+9X~12

0

・•・这个长方体的高为(x+3)cm.(12分)

24.(12分)题目：若(10T)(X-5)=2,求(107『+(x-5)2的值.

解：观察发现，10-x与x-5中的t与工互为相反数，

所以我们不妨设4=1。7,b=x-5.

因为(10-祖x-5)=2,所以必=2.

因为(10-小(4-5)=5,所以4+〃=(107)+(.”5)=5,

所以(10—工)2+(工一5)2=/+/=伍/+。『-2,必=52-2*2=21.

我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想.

【理解应用】

(1)若(9-x)(x-2)=3,则(9Tf+(x_2)2=.

(2)若％满足(20257丫+(X-2024『=13,求(20257)(工-2024)的值.

【拓展应用】

(3)如图，在三角形A8C中，N48C=90,8C=8，点。是边AC上的点，在边A4上取一点E,使A石=O

设AE=Mx>0).分别以A8、8。为边在三角形A8C外部作正方形A8/P和正方形8DWN,连结AO.若

5E=2,△八A力的面积为12,直接写出正方形八BFG和正方形BDWN的面积和.正方形ABPG和正方形

BDMN的面积和为.

NM

【答案】(I)43(2)-6(3)52

【分析】本题考查完全平方公式公式与几何图形的面积，熟练掌握换元法以及完全平方公式的变形，是解

题的关键：

(1)设9r=a,x-2S,得到而=3,。+力=9-%+%—2=7,利用完全平方公式变形计算即可;

(2)设2025-“=肛％-2024=〃，利用完全平方公式变形计算即可；

(3)易得加>=8-乂人A=2+x,(8-r)(?.+r)=?4,设N—x=〃,2+x=。，利用完全平方公式变形计算即

可.

【详解】(1)解：设9T=a,x-2="

则ab=3,a+b=9-x+x-2=7,

/.(9-x)2+(x-2)-=a2+b2=a2+2ab+b2-lab=(a+Z?)~-2ab,

/.(9-X)2+(X-2)2=72-2X3=49-6=43(4分)

(2)设2025-xm2024=〃，

则m+n=2()25-x+x-2024=1

(2025-x)2+(x-2024)2=13,

/.nr+n2=13>

/.ni2+2nui+n~-2mn=13>

+-2ITUI=13,

/.1-2mn=13»

解得：fnn=-6,

/.(2025-X)(A:-2()2