2026新高考数学一轮复习：幂函数与二次函数（解析版）

新高考数学一轮复习

第6讲幕函数与二次函数

解题方法总结

1、暴函数y=x“（aeR）在第一象限内图象的画法如下:

①当4<0时，其图象可类似y=k画出；

②当0<々<1时，其图象可类似v_1画出；

③当〃>1时，其图象可类似y=》2画出.

2、实系数一元二次方程aP-A+c=O（〃wO）的实根符号与系数之间的关系

A=Z72-4ac>0

b八

（1）方程有两个不等正根.5毛。<x1+x2=——>0

c

x}xy=—>0

、Qa

△=〃-4ac>0

b八

（2）方程有两个不等负根冷电。，%)+x2=——<0

c

X1%,=—>0

一a

（3）方程有一正根和一负根，设两根为牛占。为工=£<0

~a

3、i元二次方程ad+bx+c=O（a。0）的根的分布问题

一般情况下需要从以下4个方面考虑：

（I）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴％=与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.

2a

设招,占为实系数方程a/+hx+c=0（a>0）的两根，则一元二次aP+〃x+c=0（a>0）的根的分布与其

限定条件如表所示.

根的分布图像限定条件

卜y

A>0

b

m<玉<当----->m

2a

Mr*/0n)>0

x,<m<x2/(〃?)<0

•ul\L/*

A>0

b

工、-----<m

2a

x<x<m

i2f(ni)>0

y

/

A<0

—L_1_

01m〃x

△=0

xt=x2<m

或％=x2>m

V0m〃X

L

A>()

b

在区间（〃?,〃）内\-----<m

2a

没有实根/(w)>0

m

Vo\nx

y

A>()

b

------>n

2a

f(n)>0

4fnn;x

k

/(/H)<0

./(/0<0

题型一：幕函数的定义及其图像

【典例Li］已知第函数y=/（〃国CZ且〃M互质）的图象关于），轴对称，如图所示，则（）

B.q为偶数，〃为奇数，且彳＜。

C.q为奇数，〃为偶数，且:＞。

D.q为奇数，〃为偶数，且：＜0

【答案】D

【解析】因为函数广丁的定义域为（YO,0）U（0，E）,且在（0，位）上单调递减,

所以“V0,

q

因为函数），:小的图象关干_y轴对称.

所以函数尸/为偶函数，即〃为偶数，

乂P、夕互质，所以q为奇数，

所以选项D正确，

故选：D.

【典例1・2】给出幕函数：①〃x）=x；②/（x）=Y；③/（x）=V；④/（刈=五；⑤/（x）=L其中满

X

足条件/（七乜）＞，（"）；"*）（占＞0）的函数的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】由题，满足条件＞丁＞。）表示函数图象在表•象限上凸，结合事函

数的图象特征可知只有④满足.

【方法技巧】

确定幕函数y=x”的定义域，当。为分数时，可.转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式

非负.当时，底数是非零的.

【变式7］已知函数/（力=（〃1）.”为暴函数，则+/伽一/）=（）

A.0B.-1C.a2D.ab-a4

【答案】A

【解析】由题意有=可得〃?=2j（x）=f,其定义域为R,

且f㈠=（—）3=-X3=-〃力，则函数f（力为奇函数,

所以/（/-2〃）+/（2〃一/）=。

故选：A.

题型二：幕函数性质的综合应用

【典例24】满足（,〃+1）­＜（3—2例）-%勺实数〃?的取值范围是（）,

f23)2)

A.B.

223

—,+00D.(-00,-1)^*

33^2

【答案】D

【解析】辕函数v=/3在（0，xo）为减函数，且函数值为正,

在（­，（））为减函数，且函数值为负,

（m+1尹＜（3-2加尸等价于，

3-2m>0in+\<03-2m>0

m+1>3—2/葡，"+1>3—2m，"+1<0

23

解得一v机<—或/〃e0或〃2<-1,

32

所以不等式的解集为(-8，-1)2II-

故选:D.

【典例2-2］已知基函数”耳=,2_3卜夕"2在(0,+的上单调递减，函数”(力=3»〃,对任意Ne[l,3],

总存在门叩,2］使得/&)=Mw),则小的取值范围为

【答案】一8一?三6

【解析】因为函数〃月=(/_3卜产―是累函数，则/一3=1，a=±2,

•••/(x)在(0,+e)上单调递减，贝叶/+。一2<0,可得〃二一2,

.\/(x)=x-2\/(X)在［1,3］上的值域为!，1,

力(工)在［1,2］上的值域为［3+〃7,9+叫,

\9+m>\{m>-8r--

根据题意有L1=>26,;•〃?的范围为-8,-之.

3+//Z<-m<-----9

I99

故答案为：-8,-y.

【典例2・3】已知函数/(x)=(x-2)3+3i-3"+2xln3-41n3+l,则满足〃x)+/(8—3x)>2的x的取值

范围是

【答案】(fo,2)

【解析】由题意得/(x)=(x-2丫+3--32T+2(x_2)In3+1,

设a(x)=V+3'-37+2彳加3,则/(x)=g(x-2)+l,火(x)的定义域为R,

且g(-X)=-x3+3-'-3V-2xln3=-g(x),所以g(x)为奇函数，

)，=Jy=31y=-3-x,)，=2xln3都是增函数，所以g(x)是增函数，

/(》)的图象是由g(x)的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，所以/(力图象

的对称中心为(2,1),所以/(力+/(4-力=2.

易知〃x)在R上单调递增，因为“工)+〃8-3刈>2=/(力+/(4-力，

所以/（8—3x）>/（4-x）,所以8-3x>4-x,解得x<2,

故答案为：（-8,2）.

【方法技巧】

紧扣察函数y=x"的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意。为奇数

时，/为奇函数，。为偶数时，£为偶函数.

【变式2・1］已知〃jH，l,2,3卜若某函数/*）=.”为奇函数，且在①,+00）上递减，贝1］。=_.

【答案】-1

【解析】因为塞函数=N在（。，+8）上递减，所以。=-2,-1,-3，

又暴函数/*）=V为奇函数，可知。为奇数，即。=-1.

故答案为：-1

【变式2・2】已知函数=则关于/的表达式/t-2。+/（2『-|）<0的解集为.

【答案】卜小）

【解析】由题意可知，/（X）的定义域为（3,技），

所以/（-x）=（~X）3=-3=-f（x）»

所以函数“力是奇函数，

由恭函数的性质知，困数”x）=j在困数（3，”）上单调递增，

由『（一一2，）+/（2/-1）<0,得/（『—2/）<—/（2/一1）,即/（—一力）</（1—2J）,

所以「一2，〈1一2产，即3产一2，一1<0，解得一；〈/<1,

所以关于，的表达式/（产-2/）+〃25-1）<0的解集为（一；」）.

故答案为：（一；，0•

题型三：由幕函数的单调性比较大小

712）

【典例3・1若〃=（‘，8=log/，c=3-4，则〃，儿c的大小关系为（）

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.a<b<c

【答案】C

,,2.I2-2—16—3—I191

【解析】/^=log,->log,-=1,（7=（-）3=［（_）4p2=（_）12>（2_））2=（_）4=c,而4

所以“，b,C的大小关系为〃

故选：C

232

【典例3・2】设a=（|『，T|J,c=（|,则4瓦0大小关系是

【答案】a>c>b

【解析】因为〃力=J在（。,+8）单调增,

所以但丫/窗,即空。,

因为g（x）=6）在（",位）单调减,

所以（可/可，即c>4

⑸[5）

综上，a>c>b.

故答案为：a>c>b.

【典例3・3】已知〃=e",八兀e,。=（&尸，则这三个数的大小关系为.（用连接）

【答案】c<b<a

【解析】由lna=7t,ln）=eln7r,令人工）=生土且xw[e,*o）,则/'（x）=•!-v-^<0,

XX*

所以/（x）在xe[e,+co）上递减，则回生=7T>eln7T,B[Jln«>lnZ?.

e兀

所以〃<。，

由b=兀°,c=[（V2）nr，只需比较兀与（右）*的大小，

根据），=（&）、与）相交于（2,2）,（4,4）两点，图象如下，

由2<兀<4,结合图知兀〉（啦）3故匕=/>。=[（五）*『，

综上，c<b<a.

故答案为：c<b<a

【方法技巧】

在比较塞值的大小时，必须结合基值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.

1/1Y।

【变式3・1】已知log“w＜L＜＞＞凉＜1，则实数。的取值范围为（）

1

A-(/OnJX

4B.\9/

【答案】A

［解析】由log”，得或0＜a＜；,

由（:＜1,得。＞0,

由）＜1,得0＜。＜1,

工当log“!＜l，f-1＜1，/同时成立时,取交集得0＜a＜；.

4141al4

故选:A.

【变式3・2】已知第函数小）的图象过点［，用，尸（…），Q（"J（O＜N＜F）是函数图象上的任意不同

两点，则下列结论中正确的是（）

A.xJ（xJ＞W（X2）B.司/（七）〈七/（内）

（）

rfM.fMn/（X）/%

X2%%为

【答案】D

【解析】设幕函数/（x）=x"，

因为“X）的图象经过点修耳］则出、字，解得a=g，

所以/（X）=X2.

因为函数/"）=）在定义域（°，+8）内单调递增，

则当。＜玉＜七时，。＜/（与）＜/（9），

所以药/（芭）＜//（七）»且"'＜"，

X2A

故选项A,C错误；

又因为函数£区=）单调递增，

则当0<x(<X2时，'J(一)，且工2,(内)VX/(七)，

%X,

故选项D正确，选项B错误.

故选:D.

题型四：二次函数的图象、单调性与最值

【典例4.1】满足(力7?工内匕m==的实数对“7,〃构成的点(〃?,〃)共有()

A.1个B.2个C.3个D.无数个

【答案】C

【解析】ttl{.v|/22<x<7?}={yIy=x2,7H<x</?},xy=X2>0,

则〃足0,所以y=一在［孙网单调递增,

故值域为"(MJ5)］，

即用，〃是炉=”的两根，解得％=0,占=1，

当〃2=〃=0时，点(m,n)为(0,0),

当加=〃=1时，点(〃?,〃)为(1,1),

当m=0,n=1时，点(m,n)为(0,1).

故选：C

【典例4・2】若函数/(幻=k2-(〃!-2次+1|在一；［上单调，则实数机的取值范围为()

【答案】C

9I

解得34mK］或一］WmW1,

1。

即实数用得取值范围为6叽吟.

故选：c.

【方法技巧】

解决二次函数的图象、单调性与最值常用的方法是数形结合.

【变式已知=i)(口),并且〃7、〃是方程/。)=。的两根，则实数。、〃、加、〃的大小关

系可能是()

A.rn<a<b<nB.a<m<n<b

C.a<m<h<nD.m<a<n<b

【答案】A

【解析】设g(i)=-(x-a)(x-3,X/(x)=l-(x-a)(x-Z?),

分别画出这两个函数的图象，

其中/(幻的图象可看成是由g(x)的图象向上平移1个单位得到，如图，

【变式4・2]若函数〃力=[;：2+?”>0在区间5_],3一%)上有最大值，则实数。的取值范围是

2x~,x<0

【答案】。1)

【解析】令g(x)=-2Y+4x,x>0.

所以以刈在(0,1)上单调递增，在(L«c)上单调递减，

又f⑴=2=/(—1),作出函数f(x)的大致图象，

由于函数/(%)=,；：/在区间(〃一1,3-2〃)上有最大值,

，•儿Vz

3-2a>\

结合图象，由题意可得解得0«。<1,

-1<«-1<1

所以实数〃的取值范围是［0,1),

故答案为：［0,1)

题型五：二次方程实根的分布及条件

【典例5・1】若关于x的一元二次方程f+(3a-l)x+a+8=。有两个不相等的实根小W，且用<1,9>1.则

实数。的取值范围为一.

【答案】"一2

【解析】令函数/。)=/+(3”1：戊+4+8,依题意，f(x)=。的两个不等实根牛毛满足N<1,毛>1，

而函数”6图象开I响上，因此/⑴<0,则12+(3a-l)xl+a+8v0,解得。<一2,

所以实数〃的取值范围为。<-2.

故答案为：a<-2

【典例5・2】方程〃浸-(〃?-1卜+1=0在区间(。,1)内有两个不同的根，则〃?的取值范围为

【'冷案】m>3±25/2

【解析】令/(x)=g'-(〃I)x+l,图象恒过点(0,1),

方程">—(〃-l)x+l=0在区间(0,1)内有两个不同的根，

/«>()

八，〃一1.m>0

0<----<1

2m=机>1，解得机>3+2&.

/(0>0(-1)2_4〃？>0

A>0

故答案