2026新高考数学一轮复习：三角函数概念与诱导公式（解析版）

新高考数学一轮复习

第讲三角函数及诱导公式

角可以看成平面内一

泉9城场日违点从一

个位・境丹翎另一个

位图所成的阳形

任意角

r<M)

负角

，所“叮角。伸/nix的细・>“用•八内,

[”「伯％的♦<»Jt&z).)

»n«：便编的限点与&点・合，角的姑边

与X*的不负半・审合.务么，角的绛边在

第几象用.it说这个角度第n息阳角；如果

的的终边在坐除■上.籁u为这个角不■于浮动越)

任何一个象间.

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-1也角笛强度改足了人故,例角的孤度收足二个例收;书角的戈度心必o.

1M)•二“trd・1'=Infd=)

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麻影的工长公立''(/»la|-rJ

扇形的面积公式

平方关系3$加'0"”匕=1

)

M收大条：-"a/^iaCa«-4Arx)

comL

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!

题型一：络边相同的角的集合的表示与区别

【典例1」】若角。的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y=J久•上，见角。的取值

集合是（）

27r

A.a\a=2kn+^,keZ-B.a\a=2kn+—,keZ

C.a\a=kK+—,keZ-D.ct\a=kn+—.keZ

313

【答案】D

【解析】根据题意，角

a

的终边在直线y=&上，。为第一象限角时，a=1+2/仪eZ）；

47r

a为第三象限角时，a=—+2/ai（keZ）；

综上，角。的取值集合是Jaa=（+EMeZ,.

故选:D.

【方法技巧】

（1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决.

（2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐

角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角.

【变式1・1】如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角。的集合是（）

57T

a|——+EKaK(Z+l)兀«eZ

6

C.«a|——-+2kn<a<(2k-\)n,keZ­D.\a\--+2kn<a<2kTi,keZ-

6JI6

【答案】B

【解析】终边落在阴影部分的角为L++兀，k£Z,

6

即终边落在阴影部分（包括边界）的角a的集合是［a|^+EKaK（&+l）7UcZ

O

故选：B.

题型二：等分角的象限问题

【典例2・1】已知。是第二象限角，则（）

A.［是第一象限角B.sin^>0

22

C.sin2a<0D.2a是第三或第四象限角

【答案】C

【解析】••••是笫二象限角，

7Z—,—EHnOlTC..

—+2k7r<a<7r+lkf7v,kfwZ、即一+Ay/rv—v—+Z/r,kwZ,

2422

是第一象限或第三象限角，故A错误；

由？是第一象限或第三象限角，sin3>0或sin?<0,故B错误；

222

是第二象限角，

—+2k亢<a<7r+2k冗,kwZ、

2

•••乃+4&乃<2。<2乃+4々乃，kwZ,

•••2a是第三象限，第四象限角或终边在丁轴非正半轴，sin2a<0,故C正确，D错误.

故选：C.

【方法技巧】

先从a的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2）区的象限分布图示.

n

【变式2・1】已知sina>0,coso<0,则。的终边在（）

A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限

C.第一、三、四象限D.第一、二、四象限

【答案】D

【解析】因为sina>0,cosa<（）,

所以。为第二象限角，即3+2配<C<7T+2E,AGZ,

2

“一兀2Ea兀2/ai,7

所以:+=+=

63333

则J的终边所在象限为传，外俘，小俘，当所在象限,

3163八6八231

(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.

【变式3・1】已知扇形的周长为20cm,则当扇形的圆心角一扇形面积最大.

【答案】2

【解析】设扇形的半径为小弧长为/,

由题意,2r+/=20=>/=20-2r(0<r<10),

扇形的面积为S=g〃=g(20-2+=10一户

=-(r-5)2+25(O<r<IO),所以当r=5时，

扇形面积取最大值25,此时/=20-10=10,

所以扇形的圆心角。=,=¥=2时，扇形面积最大.

r5

故答案为：2

【变式3・2】下图是第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”，可将其视为一扇环"CQ.已知A8=2兀，

AD=3.且该扇环A8CO的面积为9兀，若将该扇环作为侧面围成一圆台，则该圆台的体积为一.

【解析】如图，设=OA=r,CD=1，

则CD=—X6=4K,将该扇面作为侧面围成一圆台，

则圆台上、下底面的半径分别为1和2,

所以其高为)32-(2-1)2=2J5,

故该圆台的体积为V='(兀+4TT+J；CX4花)x2\/i=',匚"

33

故答案为：竽

【变式3・3】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如

图，AB是以。为圆心，。人为半径的圆弧，C是八8的中点，。在A8上，CQ14B.“会圆术”给出AB的

67)2

弧长的近似值s的计算公式：5=4/?+—.当04=2,408=60。时，s=()

OA

AH-35/3R11-4行「9-3石9-

222-2

【答案】B

【解析】如图，连接0C,

因为C是48的中点，

月亍以OC1A9,

乂COJL/W,所以O，C力三点共线，

\^OD=OA=OB=2,

又ZAO6=6（r,

所以4/?=OA=O4=2,

则。C=6，故CD=2-6,

所以ADC）（2-6）ll-4x/3

川［以s=A8+------=2+-----------=--------—•

0A22

故选：B.

题型四：三角函数的定义

【典例4-1】已知角。的终边经过点（3,4）,把角。的终边绕原点。逆时针旋转］得到角尸的终边，则

sin尸二（）

A.--B.-C.--D.-

5555

【答案】D

【解析】因为角a的终边经过点（3,4）,

33

所“以cosa=J/?R7=-5,，

因为把角夕的终边绕原点。逆时针旋转：得到角夕的终边，

所以/=o+

「冗、3

所以sin/?=sina+—=cosa.

k2J5

故选:D.

【典例4・2】已知角夕的终边经过点P（l,2sina）,则sina的值不可能是（）

A.且B.0C.-立D.；

222

【答案】D

.2sina

【解析】由定义，sma=/,

VI+4sm-a

当sina=0,合题意；

当sinawO,化简得sii?a=；,由于横坐标1>0,角的终边在一、四象限，

4

所以sina=±—.

2

故选:D.

【方法技巧】

（1）利用三角函数的定义，已知角。终边上一点。的坐标可求a的三角函数值；已知角。的三角函

数值，也可以求出角a终边的位置.

（2）判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符

号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.

【变式4-1］（多选题）若角a的终边上有一点2-4,a）,且sina-cosa=立，则a的值为（）

4

A.4GB.6C.-473D.-午

【答案】CD

CSa=

【解析】由三角函数的定义可知，而劣=卜^+笠,°r_^+a2»

G-4ax/3

又fintrcosa==-,贝！J；~7=下，

4(-4)+a'4

解得a=-4G或-G,

故选：CD.

【变式冬2】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，动点P、。从点4(1,0)出发在单位圆上运动，点P按

逆时针方向每秒钟转已弧度，点。按顺时针方向每秒钟转岩弧度，贝UP、。两点在第1804次相遇时，点

C.

2,2

【解析】相遇时间为1=1804x2兀卷+等］=3608秒,

1111乙)

故P转过的角度为m3608=300工+

2冗27tf1⑸

cosy,sin—,即

(2'2

故选：C

题型五：象限符号与坐标轴角的三角函数值

【典例5・1】在平面直角坐标系X。)，中，角。以。r为始边，终边在第三象限.则()

A.sina-cosa<tanaB.sina-cosa>tana

C.sinacos6Z<tanaD.sinacosa>tana

【答案】c

【解析】由题意川得sinavO、cos«<0,tana>0,

对A：当sinaT(r时，cosaf-1,W!jsina-cosafl,tana—>0,

此时sina—cosa>tana,故A错误；

对B：当。=空时，sin«-cost?=sin--cos—=()<tan—=1,故B错误;

4444

2

对C、D：sinacosa=cos2a-55—=cosatanaf由一l<cosa<0,

cosa

故cos?a£(0,1),WOcos2a-tana<tana»即sinacos。<tana，

故C正确，D错误.

故选：C.

【典例5-2】若。是第二象限角，则()

a

A.cos(-a)>0B.tany>0

C.sin(7i+ar)>0D.cos(兀-a)v0

【答案】B

【解析】若a是第二象限角，则8s(-a)=cosa<0,故A错误；

CtCf

三为第一、三象限角，则tan彳>0,故B正确;

22

sin（7T4-a）=-sina<0,故C错误；

cos(n-«)=-cos«>0,故D错误.

故选：B.

【方法技巧】

正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；.

余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；.

正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负.

.aa_

sin—2cos—3tan

【变式5-1］（多选题）若角。的终边在第三象限，则「%+____2___2的值可能为（）

aa

cos-tan—

2?

A.0B.2C.4D.-4

【答案】BC

【解析】由角1的终边在第三象限，得F+2E<av£+2E,0Z,则++H入Z,

因此多是第二象限角或第四象限角,

.aa»a

sin—o2cos—3tan—

当g是第二象限角时，一『—春----京=1-2-(-3)=2,

/•vA,

_CMC_cc。_tnr>_

.a.aa

sin—2cos—3tan—

当g是笫四象限角时，厂%+—/----A=_I+2-(-3)=4.

zI•exIexIX

-sin—cos—tan—

I2|22

故诜：BC

【变式5-2】已知尸都是第二象限角，则"sin(a-/?)<0”是“tanavtan△”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C,充分必要条件D.既不充分也不

必要条件

【答案】C

【解析】若sin(a-/?)<0,plI]sinacos/7-cosasin/?<0即sinacos/7<cosasin/7,

而巴夕都是第二象限角,故cos/?cosa>0,故tanavtan尸,

故"sin(a-<0”是“tana<tan^”的充分条件.

若tanavtan6,因为。,夕都是第二象限角,故cosQcosa>0,

所以sinacos力vcosasinp即sin(cr-^)<0,

故"Sin(a-/?)<0”是“lana<lan尸”的必要条件，

所以“Sin(a-4)<0”是“tana<tan尸”的充要条件.

故选:C.

题型六：弦切互化求值

【典例6-1】已知5由。+85。=3(：05。1011。，则cos?alana=()

【答案】D

【解析】因为5皿。+85。=388。0111。,

sina

所以sina+cosa=3cosa・

cosa

I'Psinacosa+cos'a=3coscrsinQ*UPcos'a-2cosasina,

显然cosa工0,所以cosa=2sina,则tana=—,

2

4

又siYa+cos2a=1,所以

所以cos2atan(z=—x—=—.

525

故选：D

【典例6・2】化简］匕包13_)匕包巴,其中。为第二象限角.

V1-sinav1+sina

【解析】Qa为第二象限角，

/1+sina11-sina

V1—sina\1+sina

I(1+sina)2I(l-sincr)2

\(1-sina)(l+sina)(1+sina)(l-sina)

|(l+sina)2(1-sintz)2

\cos2acos2a

1+sina1-sin<7'

=-----------+----------=-2tana

cosacosa

【典例6・3】设甲：sin2a+sin2/?=l,乙：sina+cos4=0,则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】B

【解析】当sin?a+sin2/=1时，例如a=5，〃=。但sina+cosGwO,

即£in?a+sin?尸=1推不出sina+cos6=0；

当$ina+cosb=0时,sin2«+sin2p—(―cos^)2+sin2/?=l,

即£［11。+85夕=0能推出§也2<7+Sin20=1.

综上可知，甲是乙的必要不充分条件.

故选：B

【典例6・4】(多选题)已知sina-cosa=且，0<a<n,则下列选项中正确的有()

5

2.3亚

A.sinacosa=­B.sina+cosa=-----

55

.亚

C.tana+---=—D.sina=—

tana35

【答案】AB

【解析】［tlsina-cosa=—»得(sina-cosaf=1-2sinacosa==,

55

2

所以sinacosa=一，故选项A正确：

5

因为sinacosa=—,ae[0,7c]所以sina>0,cosa>0,

9cR

又因为(sina+cosa)?=l+2sinacosa==，所以sina+cosa=也一，故选项B正确;

55

1sinacosa15上乙3TH-H山

因为tana+----------------n-------------------=—,故选项C错i天；

tanacosasinasinacosa2

由sina-cosa=@，sina+cosa=2^,所以0访。=二^,故选项D错误;

555

故选：AB

【方法技巧】

(1)若已知角的象限条件，先确定所求三角函数的符号，再利用三角形三角函数定义求未知三角函

数值.

(2)若无象限条件，一般“弦化切”.

【变式6・1］若lan6=2,则sinO(cos。-sin〃)=.

7

【答案】-:/-04

sin^cos^-sin20_tan<9-tan20_2-22_2

[解析]由已知sine(cos9-sine)=sinOcosO-sin?0

sin26^4-cos20tan26^+122+15

故答案为：-彳2

sin0—2cos0sin5/9+cos<9

【变式6-2】已知=2,则

sin0+cos0IsinO+cos'e

47

【答案】

135

【解析】由嘤心呼=2可得sin/9=4os。，即tan8=T；

sinO+cosO

所以siife+cos。=(Hose):cose=."osW+cos。=-64cos2。+1

2sine+cos»2x(-4cos6)+cosV—8COS9+COSV—8+cos?夕

-64cos2^+sin2^+cos2^_-63cos2^+sin20_-63+tan20

-8(sin2^+cos2^)+cos2^-8sin?7cos沼-8tan20-1

-63+1647

将tan。=T代入计算可得3+鳖2。

-8tan2<9-7-8xl6-7-135

sin七+cos。_47

ZsinO+cos'。135

47

故答案为:

135

【变式6・3］（多选题）已知ae（O,兀），sina+cosa=裂，则下列结论中正确的是（）

5

・r3口2x/io

A.sin2a=——B.cosa-sina=------

55

4

C.cos2a=—D.tana=-3

5

【答案】AD

【解析】对于选项A,由sina+cosa=巫两边平方得：1+sin2a=］故得sin2a=-1,即A项正确;

555

对于选项B,由sin2a=2sinacosa=-1<0,。£（0,九）可得：a兀）故sscrvsina,

由（cosa-sinaf=1-sin2a=g“J得：cosa—sina=-豆旦,故B项错误；

55

2

对于选项C,cos2a=cosa-sin-a=（sina+costz）（cosa-sina）=2^2.x（-^2.）=-1»故C项错误;

Vio.3V10

snia+cosa=-----sina=------

对于选项D,由，‘L，可解得：',—，故得：lana=-3.故D项正确