2026新高考数学一轮复习：圆中的最值、隐圆、圆综合问题（解析版）

新高考数学一轮复习

专题突破圆中最值.隐圆.圆的综合问题

题型一：斜率型

【典例也若实数I、），满足条件则等的范围是（）

【答案】B

【解析】令^^^=4,可得（女一1）工一＞+女+1=0,

则直线（"l）Ay+Z+l=0与圆f+V=］有公共点,

k+u［

所以‘砌币‘解得

即止『的取值范围是1

x+1I4J

故选:B.

【变式LD已知实数、满足方程），二"H'则;的最大值为（）

A.0B.1C.6D.2

【答案】C

［解析】方程），=7-X2+4A-1化为（X-2『+V=3（”0）,

表示的图形是一个以（2,0）为圆心，G为半径的半圆，

当宜.线与半圆相切时,圆心到直线的距离d"3

J1+A

解彳3k=M或k=一石（负值不满足条件，舍去）,

所以上的最大值为百，故选：C.

题型二：直线型

【典例2・1】已知点P(x,y)是圆F+y2_6x-4)，+12=0上的动点，则x+y的最大值为()

A.5+及B.5-&C.6D.5

【答案】A

【解析】由(％-3)2+(>一2尸=1,令/：+8s，，贝iJx+)，=5+&sin(6+£),

y=2+sin94

所以当sin(夕+£)=1时，x+y的最大值为5+VL

故选：A

【变式2・1】已知3y满足x2+y2+2x—4)，=0,则2x+y的范围是.

【答案】[-5,5]

【解析】因为丁+)，2+24-”=0,所以(x+lf+G，—2)2=5,表示以(一1,2)为圆心，6为半径的圆，即

点(x,y)为圆(X+1)2-2)2=5上的点，

令2x+y=z,gp2x+y-z=0,当直线与圆(x+l>+()，-2>=5相切时z取得最值，所以

2x1+2z

6/=|(-)-|=^>即归=5,解得z=±5,所以一542x+)，W5

V22+l2

故答案为：[-5,5]

题型三：距离型

【典例3・1】已知x；+y；=¥+£=8,且x/z+VM=0,则(玉+工2—2)2+(%+%)2的最大值为

()

A.9B.12C.36D.48

【答案】C

【解析】设A(X],y)与8(%2，%)为圆。：/+9=8上一点,

则OA08=x/2+y)'2=0，得403=5，|OA|=|OB|=2j2，

即△A3。为等腰直角三角形，设必为AA的中点，

则==2,得ti+)，j=4，

即点M在以。为圆心，2为半径的圆上，

2

故(芭+/一2)2+(y+)J=4=4[(XA{-1)+^],

因为点M到定点的距离的最大值为"=3,

因此（玉+W—2『+（y+乃f的最大值为36.

故迄C

【变式3・1】已知4(-2,-2),8(1,3),点p在圆/+>2=4上运动，则附「+附『的最大值为()

A.16-6>/2B.26+2、5C.26+4&D.32

【答案】C

【解析】设P(2cose,2sin8),

则伊川2+|Q8/=(2cos夕+2『+(2sin6+2)2+(2cos0-l)2+(2sin®_3)2

=4cos2<9+8cos<9+4+4sin26>+8sin6>+4+4cos2<9-4cos^+l+45in26>-12sin<9+9

=4cos6-4sin0+26=4夜cos(6+：)+26,

当cos[+[)=I时，网「十|依「取得最大值26+4夜.

故选：C.

题型四：数量积型

【典例4・1】已知PQ,MN是半径为5的圆O上的两条动弦，|地卜6,|西二8,则|丽+丽最大值是（）

A.7B.12C.14D.16

【答案】C

如图圆c(l,o),尸在直线x-y+l=o上，

若圆存在点Q,使得NCPQ=30,

当P在直线x-y+l=O上运动，极端情况，P0与圆C相切，ZCPC=30.

在KTzdCPQ中，|CQ|=L所以|C尸1=2.

所以以(1,0)为圆心，2为半径的圆与直线交于P,片两点.

符合条件的点在线段％之间.

x-y+\=0(x=\，x=_]

所以1\2.=>10或<n-

(x-1)+y2=4[j=2、y=0

故飞的取值范围为卜1』].

故答案为：卜1』

题型六：方程中的参数型

\PB\

【典例6・1】已知点力(0,-4),点B(2,0),尸为圆O:%2T•)/=4上一动点，则焉的最大值是()

\PA\

A2603G46D.述

八・---15・-----Lr•-----

3432

【答案】A

【解析】因为点。为圆O：f+y2=4上一动点，故设P(2cosa2sine),ew[0,27i],

/P8|_7^os®-2)2+(2sin®)2_j8-8cos0__(1-cos。)

〃何|J(2cose)2+(2sin6+4)2j20+16sin8V5+4sin^

令仁l-cos。则(5+4sin6)f=l-cos6,

5+4sin6

即4/sin。+cos8=1—5],则J16/+1(sin0+8)=1—5/,，(sin。+⑵=J,

,16产+1

其中"询助角’24

5

则I/一'K1,整理得9r2-10r<0./.0<r<^,

,16厂+19

故i3=昭粤=后的最大值为咨

\PA\V5+4sin。3

故选：A

【变式6・1］如图，在直角梯形ABC。中，A=B=90°,AO=4J8=BC=2,点M在以C力为宜.径的半圆

上，且满足4M•=〃*巨万，则加+〃的最大值为（）

A.2B.3C.-ID.毕

【答案】D

如图,以A为原点建立直角坐标系,设CD中点为E,易得A(Q0),3(2,0),C(2,2),D(0,4),则8中点

^(1,3),CD=2&，

故以8为直径的圆的方程为(X-I『+()，-3)2=2,过七作、轴平行线交V轴于Q,交半圆于?.则

NDEQ=APEC=45,设/PEM=0,

则M(l+&cose,3+0sine)(-45又

AM=(l+x/2cos0,3+亚sin0)=niAB+nAD=(2???,0)+(0,4/?)=(2mAn),

故2〃?=14-V2cos0.4〃=3+\/2sin0,则m+n=1+血80,+3+及sin'=3+sin(夕+(p),其中

2444

245x/5

sin«>=—,cos^?=—♦

显然当sin(6+e)=l时，〃取最大值当吧..

故选：D.

【变式6-2】已知。（0,0）,尸的卜Q（l+4cosl6-4sin",8《0,2句,则△OPQ面积的最大值为

（）

O

A.4B.5C.5>/3D.-x/3

【答案】B

L%=1+4COS8,、

Q

【解析】设点Q（X,"）,因为J=/r_4si,所以（%-1）-+（%-行）~=16,

Q点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，

又直线的方程为/“：x-V3.y=O,|OP|=J（G『+12=2,圆心M到直线。尸的距离

卜-6x\13\

d=J（嘀=1，所以。到直线OP的距离最大值为4+〃=1+4=5

则AOPQ面积的最大值为S=：x2x5=5.

故选：B.

题型七：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长

【典例7・1】已知Z1是单位向量，小方=0,若向量乙满足|2-3+5|=1,则|2-向的取值范围是（）

A.[V2-1,V2+1]B.[1,72+11C.[0,2]D.[>/5-l,x/5+l]

【答案】D

【解析】单位向量£,/；满足〃石=0,即415，作。4=2。巨=/；,以射线04,03分别作为黑），轴非负

半轴建立平面直角坐标系，如图,

a=(1,0),6=(0,1),设彳=(x,y),则c-a+B=(x-,由|。一。+5|=1得：(x-1)2+(3(4-1)2=1»

x=\+cos0-

令，.(0<6^<2TT),g|Jc=(1+cos-1+sinO'),

y=-l+sin^

\c-b\=yj(\+cos^)2+(-2+sin^)2=,6-2(2sin8-cos8)=46-2亚sin(8-(p)，其中锐角。满足

即飞1

“飞2，

因此，当sin(0—0)=-l时，|c-^|niax=76+2>/5=75+1»当sin(0-0)=1时，几加=星韭=6-1，

所以I工-5的取值范围是[石-1,4+1].

故选：D

【变式7・1】已知单位向量值与向量分=(0,2)垂直，若向量3满足k+5+W=l,则同的取值范围为()

A.[1,^-1]B.[铝，"]C.[逐T6+1]D.[",；

【答案】C

【解析】由题意不妨设，=。，0),设乙=(苍y),fiiJa+5+?=(l,0)+(0,2)+(x,y)=(l+x,2+y).

22

v|fl+5+c|=l,.*.(i+x)+(2+y)=l*即表示圆心为(一1,一2),半径为I的圆，设圆心为P,二

|OP|=J(—1丫+(—2)=石.

•・・耳=庐丁表示圆。上的点到坐标原点的距离，6-1业|=C，6+i,.#1的取值范围为

[6-1,石+1J,

故选：C.

题型八：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值

【典例84】已知48C。四点共面，BC=2,AB2+AC2=20,①=3C5，则|B/5]的最大值为.

【答案】10

【解析】设AC=〃z,由题意可得：DC=3m,AB=d20一m2，

coscJC'Bjzq

贝IJ：

2ACxBC2m

ABC构成三角形，则：｛i------,解得：2<〃Y4,

由余弦定理:

BD=VBC2+CD2-2BCxCDxcosC=J4+9m2-2x2x3wx=^52+W,

V2m

当〃=?4时，|而|取得最大值为10.

【变式8・1】正方形人BC。与点P在同一平面内，已知该正方形i勺边长为I,且|以『+|P如=|PC「，则

|P/)|的取值范围为.

【答案】［2-72,2+72］

【解析】如图，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，

则A(O,O),B(1,O),C(L1)Q(O,1),

设点夕(,2)，则由俨1+|尸5「=|PC「,

^x2+/+(x-l)2+y2=(x-l)2+(y-l)2,

整理得f+()，+I)2=2,

即点P的轨迹是以点M(0,-1)为圆心，72为半径的圆，

圆心M到点。的距离为|。闸=2,所以阀v=2-®叫厘=2+&,

所以伊口的取值范围是［2—a,2-

故答案为：［2-72,2+72］.

题型九：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90。

【典例9・1】己知向量口出为单位向量，且。0=。，若^满足伍-。伍Y)=。，则同的最大值是

【答案】0

【解析】向量75为单位向量，Lab=0,

不妨设2=(L0)，5=(0,1),令六(x,y),

贝ij“一三=(1一尤_)，)，^-c=(-x,l-}?),

伍—W=r(17)-)，(l—y)=(^x2+y2_x_y=o,它表示以为圆心，正为半径的圆,

可知同=旧+f=^(x-0)2+(y-0)2表示圆上的点到原点距离，故其最大值是2r=V2.

故答案为：V2.

题型十：隐圆的第四定义：边与对角为定值、对角互补、数量积定值

4

【典例10・1】在平面四边形AAC力中，连接对角线80,已知S=9,BD=\6,/或心=9/，sinA=-,

5

则对角线AC的最大值为.

【答案】27

4

【解析】画出图像如下图所示，由于小皿4=《、80=16为定值.故A在以30为弦的圆上运动，由正弦定

理得2R=4=20,R=10,故圆心的坐标为(8-6),AC的最大值即为CA的值，也即是C0+R的值，由

5

两点间的距离公式有CO+R=W+152+10=27-

题型十一：隐圆的第五定义：到两定点距离之比为定值

【典例11・1】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，

阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点48的距禽之比为定值〃4>0,且％工1)的点的轨迹是圆，此圆被称

为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系g中，A(-2.0),8(4,0)，点/,满足犒=；.设点，的轨迹为曲线c,

则下列说法错误的是()

A.。的方程为。+4)2+V=16

B.当AH三点不共线时，^\ZAPO=ZBPO

C.在C上存在点例，使得|MO|=2|M4|

D.若。(2,2),则归即+2|叫的最小值为4日

【答案】C

【解析】设p(x,)，)，由圈=:

化简得(x+4)2+)2=16,故A正确;

1J(i)2+V5

叽L国

当儿三点不共线时所以PO是NAP8的角平分线，所以NAPO=N4PO,故B正

\OB\2\PB\

确;

设材(X,)，),则J777=2j(x+2f+)，2,化简得(x+/+/邛，因为卜+知+仅时,々」,

39333

所以C上不存在点M,使得|MO|=2|MA|,故c错

误；

因为制=3,所以I叫=2|尸4所以|叫+2|叫=2|/训+2|距怛2|4)|二46，当且仅当P在线段A。

上时，等号成立，故D正确.

故选：C.

【变式11・1]如图，已知平面a，夕，u[}p=l,A、3是直线/上的两点，C、。是平面。内的两点，

且。A_L/,CBLl,AD=3,AB=6,CB=6.P是平面。上的一动点，且直线PD,PC与平面。所成

角相等，则二面角P-8C-£)的余弦值的最小值是—.

【解析】•.•QA_L/,aLp,=ADa.p：.ADLa,同理6C_La,

NOPA为直线PD与平面。所成的角，NCPB为直线PC与平面a所成的角,

:.ZDPA=ZCPB,又ND4P=NC3P=90。，

pA[)A

.•.ADAPMCPB,在平面。内，以A8为x轴I,以A8的中垂线为丫轴建立平面直角坐标

1LJLJ4

系，则4(-3,0),8(3,0),设P(x,y)(y>0),l^x+^+y2=^x-3)2+y2,整理可得：

"+5『+)，2=16,.•，在。内的轨迹为M(—5,0)为圆心，以4为半径的上半圆

•.•平面PBCPI平面尸=8C,PB-BC,../PKA为二面角P-8C-O的平面角，

・••当P3与圆相切时，N0况4最大，COSNP84取得最小值，此时PM=4,M8=8,MP1PB,尸8=46,

cosNPBA=里=更=叵.故答案为:—.

MB822

题型十二：距离的创新定义

【典例12・1】数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实.匕很多代数问题可以转化为

几何问题加以解决，例如，与，叫2相关的代数问题,可以转化为点A(x»)与点8(4力)之间

距离的几何问题.结合上述观点，可求得方程J$+4x+5+Jx2—4x+5=6的解是()

A3疤R*3曲「6万门J亚

4455

【答案】D

［解析］因为+叙+5=+2y+1=—(一2)/+(1—0)2,

所以6+41+5可以转化为M«l)到N(-2,0)的距离，

同理，Jf-4x+5可以转化为ME1)到P(2,0)的距离，

因为&+4x+5+&-41+5=6^所以知“』)到两定点N(-2,0)和P(2,0)的距离之和为6，

所以股(国1)在以点N(—2,0)和尸(2,0)为焦点的椭圆「.，

设椭圆的标准方程为：5+1=15>〃>0),

a~b~

则，2a=6,即。=3,又〃-6=4,所以从=5，

所以椭圆的方程为：—+^-=1，由y=L得二+_1=1,解得，X=±^H.

95955

故选:D.

题型十三：曼哈顿距离、折线距离、直角距离问题

【典例13・1】在平面直角坐标系My中，定义"(A8)=k-司+流一力|为人(5,,),3(天,必)两点之间的

“折线距离已知点01.0),动点P满足”(Q,P)=；,点M是曲线)，=二上任意一点，则点尸的轨迹所围

ZX

成图形的面积为,d(PM)的最小值为.

13(-}

【答案】：/().5-2^-1

221)

【解析】设*%)，)，d(Q,P)=\x-\\+\y\=^

I3

当工之l,y之0时，||lijx-l+y=-,g|Jx+y--=0,

I3

当工21,)，<0时，Mx-l-y=-,即x—)，一］二(),

当x<l,y<0时，则I-A-y=~,B|Jx+y--=O

22

当x〈l,)，20时，l|iij|-x+y=-,即x_y_g=O,

故点P的例迹所围成图形如下图阴影部分四边形人BCO的面积:

4

D

,各―

-1O/2、

B

-1

则5=&&、4=，.

2222

如下图，设P（毛,%），”（内，凶），显然）1＞%，

d(P,M)=|百一⑷+|y-%+X-%=%++%),

求d（P,M）的最小值，即内+M的最小值，%+%的最大值,

3

又（%+%）max=5，下面求内+）'1的最小值，

令y=x+y=x+!y=i/¥=0,即寸成，

百人I人1

令了＞0,解得：兀＞23,令）/＜。，解得：王＜2"

所以V在上单调递减，在2\+oo上单调递增,

所以x=2：时，y有最小值，且％in==,

''23

333，！、i

所以小8加入.二丁一号二万23-1.

2彳22（

\3，，）

故答案为：—；—21-1.

22

【变式13・1】（多选题）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准

坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点A（%y）,以林乃）的曼哈顿距离

或48）二|西一百+色一对，则下列结论正确的是（）

A.若点尸（2,4）,Q（—2,1）,则d（P,Q）=7

B.若点“（T,O）,N（1,O）,则在x轴上存在点，使得“（P,M）+,/（P,N）=l

C.若点点〃在直线x-2y+6=0上，则d（P,M）H勺最小值是3

D.若点“在圆W+），2=4上，点N在直线2x-），+8=0上，则d（M,N）的值可能是4

【答案】ACD

【解析】对于A选项，由曼哈顿距离的定义可知"（只。）=|2+2|+|4-1|=7,则A正确；

—2x,x<—1

对于B选项，设P（x,O）,则d（P,M）+d（P,N）=k+l|+|x—l卜/2,-檄k1,从而d（只M）+d（P,N）..2,

2x,x<1

故B错误；

对于C选项，作轴，交直线x-2y+6=0于E,过P作PH上ME，垂足为

由曼哈顿距离的定义可知d（P，Mj=|P〃|+|M川.

当P不与E重合时，因为直线x-2y+6=O的斜率为:，所以/叫>怛川，所以

\PH\+\MH\>\EH\+\MH\=\ME］：

当尸与E重合时，|尸”|=|用.

综上，归”|..怛M，则d（P,M）=|PM+|M*..但川+|""|=|阿=3.故^^确.

对于D选项，若M（0,2）,N（—2,4）,则d（KN）=4,故D正确.

故选：ACD

题型十四：闵氏距离问题

【典例14・1】闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为

A二(q,%，…，卬)和8=佃也,…也)，这两组数据间的闵氏距离定义为九(4)=[自/一々『"其中q表

示阶数.现有下列四个命题：

①若A=(1,2,3,4),B=(0,3.4,5)，则九⑴=4；

②若A=(a,a+l),8=(1。),其中a,b£R,则%(1)=%(2)；

③若A=(a,b),B=(c,d),其中a,b,c,deR,则服式1)2服8⑵;

④若A=(a,/)]=(〃,。-1),其中则4:(2)的最小值为述.

8

其中所有真命题的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】对于①：，3(1)=|1-。|-|2-3|+|3-4|+|4-5|=4,故①正确.

对于②：九⑴=2|。-〃+1|,%(2)=&|。-〃+1|,故②错误.

22

对于③:dAB(\)^a-c\+\b-d\,dAB{l)=yj(a-c)+(b-d)，不妨设|〃一。|=|=N，

(M+N)WJ"+N1,且均为非负数，所以M+Nzji77方故③正确.

对于④：构造函数/(x)=V,g(x)=x—[,则“⑵二就级电八⑺-匕)？，乙£2)的最小值即两曲线动

V=X7

点间的最小距离，设/(幻=/与直线g(x)=x-l平行的切线方程为y=x+m联立,、得：