第13章 勾股定理（单元测试·提升卷）解析版-2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷

第13章勾股定理•能力提升

建议用时：120分钟，满分：150分

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1.VABC的三边长分别为mb,c,下列条件不能判断是直角三角形的为（）

A.ZA:ZB:ZC=5:12:13B.a:b:c=3:4:5

C.a2=b2+c2D.ZA=ZB-ZC

【答案】A

【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理的逆定理.根据角之间的关系和三角形内角和定理

分别求出三角形的三个内角判断三角形是否直角三角形，或者根据三角形三边的关系利用勾股定理逆定理

判断三角形是否直角三角形，即可求解.

【详解】解：A.ZA:ZB:ZC=5:12:I3M，设NA=5x,NB=12x,/C=13为则5x+12x+13x=180。，解

得工=6。，最大角NC=13X6=78，H9O。，故VABC不是直角三弟形：

B.a:〃:c=3:4:5,设a=32,b=4k,c=5k,验证勾股定理：（321+（4&]=9公+16公=25犬=（5炉，满

足条件，V4BC为直角三角形；

C.直接满足符合勾股定理逆定理，VA8C为直角三角形；

D.由N4=N3-NC及N4+NB+NC=180。，得？890?,为直角三角形“

故选A.

2.在VABC中，/4：NB：NC=1：1：2,BC=8cm,则力B的长为（）

A.4cmB.8cmC.45/2cmD.8夜cm

【答案】D

【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理.

由角度比确定VABC为等腰直角三角形，利用勾股定理计算斜边长度.

【详解】解：VZ4：ZB：ZC=1:1:2,

NA=NB=180°x=45°,AC=BC=8cm

1+1+2

・・・VABC为等腰直角三角形，446=90。，

•**AB=y]AC2+BC2=8x/2cm，

故选：D.

3.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1,A,B,C三点均在正方形格点上，则下列结论错误

的是（）

H

A.AB=2旧B.ZfiAC=90°

C.S08c=10D.点A到直线BC的距离是2

【答案】C

【分析1本题主要考查了勾股定理以及逆定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之

和一定等于斜边长的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么/+从=。2.根

据勾股定理以及其逆定理和三角形的面积公式逐项分析即可得到问题答案.

【详解】解：A、AB=>]22+42=2>/5>故本选不符合题意；

B、•AC==5/5，BC=x/3?+4'=5»

/.AB'+AC2=BC2=25,

二."8是直角三角形，

AZC4B=9O°,故本选不符合题意；

C、S.A8c=gAC・AB=gxx/5x275=5H10，故本选符合题意；

D、点A到直线的距离="必=还工叵=2,故本选不符合题意；

BC5

故选：C.

4.反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学

之益也，说在诽者“，是通过证明''学习无益"的命题为假，以此才说明“学习有益''的命题为真，这就是反证

法的例子.若我们用反证法证明自题“已知：在VABC中，AB=AC,求证：N8<90。”时，应假设（）

A.4>9CfB.ZB>90°C.Z5<90°D.NBw90。

【答案】B

【分析】此题考查了反证法的证明的第一步，注意从结论的反面出发假设是解题关键.反证法即假设结论

的反面成立，即可得出答案.

【详解】解：用反证法证明命题“已知：在"WC中，A/3=AC,求证：/8<90。”时，应假设NBN90。.

故选:B.

5.如图，将VABC绕点C顺时针旋转90。得到若点A,D,E在同一条直线上，A8=2,AC=5,

5aD.55/2-2

【答案】D

【分析】根据旋转的性质，得。E=A8=2,CE=AC=5,利用勾股定理解答即可.

本题考杳了旋转的性质，勾股东理，熟练掌握性质和定理是解题的关键.

【详解】解：根据旋转的性质，得。E=AB=2,CE=AC=5,ZACE=90°，

故AEuJCA'CE。=56

故AO=AE—OE=5夜一2.

故选：D.

6.如图，某港口。在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、

慢两船每小时分别航行12海里和5海里,2小时后两船分别位于点A,B处,且相距26海里，如果知道快

船沿北偏西50。方向航行，那么慢船沿（）方向航行.

北偏西40。C.南偏西50。D.北偏西50。

【答案】A

【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理、方位角等知识点，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题

的关键.

根据勾股定理逆定理求出NACB=90。，进而可得N8C尸=180。-/48-NACN=40。，进而完成解答.

【详解】解：如图:由题意得：AC=2xl2=24（海里），8c=2x3=1。（海里），NAC7V=5（T,A%=26海

B

9L7L

A.2GB.3V3C.—>/3D.—v2

【答案】C

【分析】如图所示，延长3。与AC交于点，证明出BDC^EDC(ASA),得到EC=4C=3,然后证明

出V8EC是等边三角形，得到NEBC=60。，BE=BC=3,勾股定理求出AB=QAC2-BC：=3G，然后利用

三角形面积公式求解即可.

【详解】如图所示，延长80与AC交广点£,

:.N8DC=NEDC=90。

〈CO平分/AC5

/./BCD=NECD

'：CD=CD

・•・BDC丝EDC(ASA)

・•・EC=BC=3

•・•ZA=ZABD=30°

/./3£C=60°

・•・V8EC是等边三角形

AZEBC=60°,BE=BC=3

，ZABC=ZABE+NEBC=90°

,?^A=ZABD=300

・•・AE=BE=3

•二Mi=rjAC2-BC2=3x/3

Z.VA8C的面积=，48.8C」X3X/5X3=2G.

222

故选：C.

【点睛】此题考查了勾股定理，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题的关犍是掌握

以上知识点.

9.如图，在VA8C中，NB4C=450AO_L3C于点O,CE_L/W于点和CE交于点尸，若AB=7,B£=3,

则。尸的长为（）

43

A.1B.12C.-D.-

55

【答案】D

【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，证明

.BEC%FEA（ASA）,得到8E=EE=3,则AE=CE=4,则CF=CE-EF=1,A尸=5,

BC=AF=5,AC=442,根据S诋=g=4力得到A£>=笥彩,即可得答案.

【详解】解：•:ADJ.BC于HDCEJ.AB于点、E,

・•・ZADB=ZADC=ABEC=ZAEC=90°,

'：ZBAC=45°,

：.ZACE=45°,

:.AE=CE

,/ZAFE+Z.EAF=ZCFE+ABCE=90°,ZAFE=/CFE,

：.^EAF=ABCE,

•・•ZBEC=ZAEC=90°,

BE8,FEA（ASA）

・•・BE=EF=3

：.AE=CE=AB-HE=4

**-CF=CE-EF=l,AF=\lAE2-iEF2=V42+32=5

・••BC=AF=5,AC=VAE2+CE2=742+42=4>/2

SABC=^ABCE=^BCAD

.'AABCE7x428

..AD—-------==—

BC55

28

DF=AD-AF=—-5=0.6

5

故选D.

10.如图，。是正VA8C内一点，04=3,03=4,OC=5,将线段80以点A为旋转中心逆时针旋转60。得

到线段8。'，下列结论：①,30幺可以由60c绕点3逆时针旋转60。得到；②乙408=150。：③四边形

AOBO,的面积是6+46；④5八℃+5海=6+或，其中正确结论有（）个.

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】证△反"即可■判断①；连接。O,可推出△。“。是等边三角形，即可判断；由

△^/4力/\8"得02=0。=5,推出04=042+00〃，NAOO=90°,即可判断②；作““■Lay,则

NOBH=；NOBO，=30。,可求出OH=；O8=2,BH“B?-OH?=2g，根据四边形”用点的面积

=-xOO'xBH+-xOO,xAO,即可判断③；将VAO8绕点A逆时针旋转60。得到VAO"C,连接OO〃,CO〃,

22

作AK_LO。，同理可得：VO4。是等边三角形，。。2=0。"2-CO",ZC6TO=90°,求出

22

AK=-JoA-OK=当叵,根据5AOC+SAOa=SAOC+SAO-C=SAO（r4-Scoo>,即可判断④：

2

【详解】解：连接O。，如图所示:

A

由胭意得：Z1+Z2=Z3+Z2=60°,AB=BCQB=O'B,

；・Z1=Z3,

△BU24BOC,

可以由.BOC绕点8逆时针旋转60。得到；故①正确;

'：OB=O'B,/。8。=60。，

/.,\OB(y是等功三角形，

*.*经△8OC,

:.(7A=OC=5,

。4=04+00,2,

，43=90。，

•・•△OB。是等边三角形，

/.40。—60°,

・•・ZAOB=AAOO+Z.BCXJ=150°,故②正确；

作如图所示：

OH=-OB=2,

2

•*-BH=\JOB--OH1=26

•••四边形八OBOC的面积=-xOO,xBH+-xOO,xAO=6+4y/3,故③正确；

22

将VAOA绕点A逆时针旋转60。得到V/VTC,连接OO",C。，作AK_LCXT,如图所示:

同理可得：VCMO*是等边三角形,。。2=002+92,"。"。=90。，

则乙OAK=-ZOAO=30°,

2

113

・•・OK=-OO"=—OA=二，

222

・•・AK=\loA2-OK2=—

2

=SAOO.+Scoo.=—x3x4+—x3=64-2^.,故④」E确;

=s+s.

°AOC干0SOBAOCAOCcc/c/2224

故选：D

【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识

点，几何综合性较强，掌握举一反三的数学思想是解题关键.

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

11.直角三角形的两边长分别为8,15,第三边边长为％,则/=

【答案】289或161

【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是分情况讨论.

分两种情况进行讨论，利用勾股定理即可求解.

【详解】解：①当第三边为斜边时，

由勾股定理得，d=8?+15?=289;

②当第三边为直角边时，

由勾股定理得,X2=152-82=161；

综上，f的值为289或161,

故答案为：289或161.

12.如图，在VA8C中，48=5,AC=3,ZC=90°,则BC=.

A

【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.在RlZ\A8C中，利用勾股定理，进行计

算即可解答.

【详解】解：在VA8C中，AB=5,AC=3,ZC=90°,

:.BC=ylAB2-AC2=A/52-32=4

故答案为：4

13.如图，在四边形ABC。中，NA=N8=90。，点E在线段A8上，连接力NEDC=NECD,

若CD=4立,则CE的长为.

【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边，勾股定理，根据NEDC=NECD得出ED=EC,

进而根据HL证明得出Z4EO=NACE,进而证明ZDEC=90。，得出.QEC是等腰直角三

角形，即可求解.

【详解】解：•:NEDC=NECD,

；・ED=EC,

VZA=ZB=90°,AD=BE,

：.RtAED^RtBCE(HL).

・•・ZADE=/BEC,

又,:ZADE=90°-ZAED=ZBEC,

ZSEC+ZAED=90°,

zTD£C=90°,

••...OEC是等腰直角三角形,

,；CD=4厄，

.・.EC=—CD=4

2

故答案为：4.

14.如图，RtZ\48C中，NAC4=90。，以的三边为边分别向外作正方形，它们的面积分别记作

工应应，若£+邑+53=50,则S的值为

【答案】25

【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理定理可知:S'=S、,结合SI+S2+S3=50,进行求解即可.

【详解】解：・・・446=90。，

AC2+BC2=AB1,

•・•以RtZXABC的三边为边分别向外作正方形，它们的面积分别记作S、,邑,S、,

:.s2+s,=sif

S1+S2+S3=50,

2sl=50,

・•・$=25；

故答案为：25

15.如图，四边形4BCO的对角线AC,8。交于点0,且AC,30.若人犷+台^二奴），4B=3C。，则

CD=.

【答案】2

【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理的结构特征是解题的关键.

分别在RtZ\CORRlA4O4,RtA/\OD,RtABOC,由勾股定理列式计算即可.

【详解】解：・・・AC•3。,

・••在RlZ\CO£>,RtA4O8中，由勾股定理得：OC?+OD”=CD\OA2+OB2=AB\

将两式相加得：（oT+OD2）+（OC2+OB2）=CD2+AB-,

在RtZ\AODRtZ\8O。中，由勾股定理得：OA2+OD2=AD2,OC2+OB2=BC2,

将两式相加得：（。片+。。2）+（OC?+。公）=AD2+BC2,

CD2+AB1=AD2+BC2，

VAD2+BC2=40,AB=3CD,

ACD2+（3CD）2=40.

解得：CD=2（舍负），

故答案为：2.

16.按国际标准，A系列纸为长方形.将A4纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为4E,

点B落在线段4。上的点*处，第二次折叠折痕为AF,点石与点。恰好重合.则==_____.

B：.D(E)

【答案】a

【分析】本题考查矩形的折叠问题，勾股定理，第•次折叠后得到正方形第二次折叠，得出AD=AE,

由此可解.

【详解】解：由题意可知：第一次折叠，形成一个正方形，即四边形A8E&为正方形，

••AE=dAB?+BE?=6AB，

第二次折叠，得出AO=AE=0A5，

.ADCABFT

-------=--------=yZ9

ABAB

故答案为：O.

17.如图，四边形A8CO的面积为4,N3CO=90。，AC平分N8CO,RC+CD=2,则AD+A8的最小值

为.

D

B

【答案】io

【分析】过点A作4石_LC8交C5延长线于E,4/_LCD交。。延长线于八A〃_LAC交CB延长线于从

AG1AD交CB延长线于G,由角平分线的性质得到AE=AF，根据S四边形=4可得AE=4：

证明"AC”是等腰直角三角形，得到NA〃C=45。，AC=再证明△/1£；”,AAEC都是等腰直角三角形，

得到“E=AE=CE=4,则CH=HE+CE=8；证明,DAC(ASA),得到CO=〃G,AD=AG,

则3G=CH—8C—〃G=6：作点3关于4厂的对称点M,连接AM,GM,可证明八£I八"，由轴对称的

性质可得8W=2AE=8,AM=AB,则当A、M、G三点共线时，AM+AG有最小值，即此时A5+AD有最

小值，最小值为MG的长，在Rl8MG中，由勾股定理得山二加77五庐=10，即AB+4)的最小值为

10,

【详解】解：如图所示，过点4作AE1C3交延长线于E,4/_1_。。交(?。延长线于F，4HJ_AC交C8

延长线于从AG_L4O交C8延长线于G,

ZBCZ?=90°.AC平分N8CO,

・•・ZACB=NACO=-/BCD=45c；

2

VAE1CB,AF1CD,且N8CQ=90。，

J四边形AEC产是矩形，ZEAC=ZECA=45°,

・•・EA=EC,

・•・矩形AEb是正方形,

，AE=AF；

S四边形A8CD=SABC+S；\ADC=4»

：.-BCAE+-CDAF=4,

92

・•・BCAE+CDAE=Sf

JAE(BC+CD)=S,

'：BC+CD=2,

AAE=4；

VAHLAC,AGLAD,

・•・ZC4//=ZZMG=90°,

JZC477-ZCAG=ZDAG-ZCAG,

・•・ZGAH=ZDAC：

VZC4//=90°,NAC〃=45。,

・•・.AC”是等腰直角三角形,

/.ZAHC=45°,AC=AH,

又•：AELCH,

•••△AE”,△AEC都是等腰直角三角形,

,HE=AE=CE=A,

1・CH=HE+CE=8；

在;.GAH和△D4C中,

NGAH=ZDAC

AH=AC

NH=ZACD=45°

G4%.DAC(ASA),

:.CD=HG,AD=AG,

:.BC+HG=BC+CD=2,

/.BG=CH—BC—HG=6；

如图所示，作点8关于"的对称点M,连接AM,GM,

VZBCD=90°,AFLCD,

/.A卜〃BC,

AEA.BC,

/.AE±AF,

由轴对称的性质可得8M=24E=8,AM=AB^

・•・AB+AD=AM+AG,

・••当A、M、G三点共线时，AM+AG有最小值，即此时4?+4。有最小值，最小值为MG的长，

在RhBMG中，由勾股定理.得MG=JBG、BM?=10，

・•・AB+4D的最小值为10,

故答案为：10.

【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质与判定，全等三

角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键.

18.已知等腰直角三角形A8C和笔腰直角三角形八。石的直角顶点A重合，AB=AC=3g,AO=AE=2.连

接BE,CD,将VAOE1绕点A在平面内旋转，旋转后的三角形为A£77,若点M是g的中点，当E,D,C

三点共线时，线段AM的长为.

【答案】2+走或2—也

22

【分析】分点D0在CE之间和点£在CD'之间两种情况,分别画出图形，进行解答即可.

【详解】解：如图①，当点以在C&之间时，延长EA到点G,使AG=£A,连接8G,过点A作加/J.Z7E

丁点H,

E'

由旋转可得，AI7=AD=2,AE=AE=2^NEA。'=NE4O=90。，

**•D'E'=yj^A2+E'A2=y/12+22=2&，

,,,f

VAH±DE,AD=AEt

:,AH=-D'E,=y/2

22

在RlAC“中，VZA^C=90°,AC=3应,

:.CH=4AC2-AH?=J(3夜/一(可=4,

・•・D(=CH-UH=4一五,

ZGAZ7=180°-NOAE=90°,

・•・Zl+ZG4C=90°

N2+NGAC=ABAC=90°.

；・Z1=Z2,

AG=AE',

：.AG=AI>,

在Rb^ABG和RtAC。中，AB=AC,Z2=Z\,AG=AD\

：.RtABG^RtACD(SAS),

・•・BG=CZ/=4-夜，

•・L0为8£的中点，AG=A£,

AAM=-BG=2--,

22

如图②，当点E在C,Q'之间时，延长£4到点G,使AG=£A,连接3G,过点A作A4F点〃,

由旋转可得，Aiy=AD=2,AE=AE=2rNEAP'=NEW=90。,

-"­D'E'=，D4+E，A2=V22+22=2x/2，

VAHA.DfE,,AD,=AE,,

/

AD'H=-D'E:=41tA/7=-D'£=V2

22

在RtAC”中，VZA^C=90°,AC=3五,

:.CH=y/AC2-AH2=“3扃-(可=4,

，C=CH+UH=4+O,

•・•ZGAZT=180。-NZX4E'=90。，

.../BAG=XGAD+/BAD=90°+NBAD

•・•NC4。'=ZBAC+/BAD=90°-/BAD,

・•・ZaAG=ZG4Z7,

VAG=AE,

・•・AG=AIyt

在R【ZsABG和Rl.46,中，A8=AC,Z8AG=ZCAD1,AG=AD',

RtABG^RlACO(SAS),

・\BG=S=4+&，

•・L0为3£的中点，AG=A£,

AM=-BG=2+—,

22

综上可知，AM为2-立或2+正，

22

故答案为：2-更或2+如.

22

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质、旋转的性质等知识，熟练

掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.

三、解答题（共7小题，共78分）

19.（10分）如图，在VABC中，E为边AA上的一点，连接CE并延长，过点A作AO_LCE,垂足为Q.已

【答案】见解析

【分析】此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟记勾股定理的逆定理是解题的关键.根据勾股定理

求出AC,进而推出A82+BC2=4C2,据此即可得出结论.

【详解】证明：AD1CE,

.\ZD=90°,

AD=1,0c=24,

••AC=>jAD2+CD2=25^

AB=20,BC=15,202+152=252=625,AC?=25?=625，

AB2+BC2=AC2,（5分）

.・二ABC是直角三角形，且为直角，

:.ABLBC.（10分）

20.（10分）如图，在正方形网格中，VA4C的顶点均在格点上，请仅用无刻度直尺完成下列作图（保留作

（1）在图1中，作VABC关于点。充■称的图形△A4G；

（2）在图2中，作出将V44C绕点A逆时针旋转90。，再向左平移2个单位长度后的图形

（3）在图3中，找一格点尸，连接阳，使/心。=45。.

【答案】（1）见解析

⑵见解析

（3）见解析

【分析】本题考查旋转作图，作中心对称图形，平移图形，勾股定理，熟练掌握旋转的性质和中心对称的

性质是解题的关键.

（I）利用中心对称的性质，分别作出点4、B、C关于点。的对称点A，稣G，再顺次连接即可；

（2）根据旋转和平移的性质，分别作出点A、8、C绕点A顺时针方向旋转90。，再向左平移2个单位长度

后的对应点&，修,。2,再顺次连接即可；

（3）取格点0，使"±BCXP=CB,即可.

【详解】（I）解.：如图，△A4G即为所求；

（3）解：如图，点夕即为所求.

（10分）

21.（10分）去年第13号台风“贝碧嘉”在我国沿海地区登陆，影响范围大，破坏力极强.如图，台风中心

沿东西方向由人向B移动，已知点。为一海港，与A,B的距离分别为AC=300km,8c=400km,且

AB=500km.根据实测数据，台风中心半径260km范围内的地区会受到台风影响.

⑴海港C受台风影响吗？为什么？

（2）若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续8h,求台风中心的移动速度.

【答案】（1）海港。受台风影响

(2)25kni/h

【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用.熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键;

（1）利用勾股定理的逆定理得出VA3C是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出CO

的长，进而得出海港C是否受台风影响;

（2）,利用勾股定理得出EO以及E尸的长，进而得出台风中心的移动速度.

【详解】（1）解•：海港C受台风影响.

过C作CZ）_LA8于点Q,

BC=400km，AB=500km，

.•.心+BC^AB\

3c是直角三角形，：

・•・ZACB=90°

:.SAHRLC=2-ACxBC2=-CDxAB,

/.CD=240km.

•・•240km<260km,

・•・海港C受台风影响.（5分）

（2）设台风从E点开始影响C港，到产点后停止影响C港.

由题意，得CE=b=260km.

XVCD=240km,CDLAB,

；・ED=FD=ylCE2-CD2=100km，

・•・EF=2ED=200km.

又l・f=8h,

・•.y=—=25（km/h）.

答：台风中心的移动速度为25（km/h）.（10分）

22.（12分）（1）如图①，AC平分N8=ND=90。，若。C=3,则8C=_.

（2）探究：如图②，四边形ABC。，AC平分//MB,ZB+Z£>=180°,求证：DC=BC.

(3)应用：如图③，四边形48cO,AC平分NZMB,ZB=45°,N£>=135。，4)=2,BC=6人.求AC

的长.

图③

【分析】（1）根据角平分线的性质即可求解;

（2）过C作CE_ZAB于E,过。作5_1八。延长线于F,由补角性质可得N8=NC/»"又由角平分线

的性质得CE=CF,进而可得-C比-C0F（AAS）,即可求证；

（3）过点C分别作CE工于E,b_LA。延长线于尸，同理（1）可得C£=B,由sCEB是等腰直角

三角形得CE=Y2BC=6•进而由CDF是等腰直角三角形得到。F=CF=CE=6,即得A^=AZ>+。/=8,

2

最后利用勾股定理解答即可求解；

本题考查了角平分线的性质，全等二角形的判定和性质，等腰直角二角形的性质等，掌握角平分线的性质

是解题的关键.

【详解】解：（1）丁/8=/。=90°,

：・CBtAB,CDLAD,

又：AC平分NZM8,

:.BC=DC=3,

故答案为：3；（4分）

（2）如图②，过C作CE2A4于E,过。作b_LA。延长线于产,

VZB+ZADC=18(F,ZCDF+ZADC=180°,

・•・4B=NCDF,

〈AC平分NZM8,CE1AB,CF工AD,

:.CE=CF,

,?/CEB=/CFD=90。,

A.CBE^.CDF(AAS),

；・DC=BC；(8分)

(3)如图③，过点C分别作CE人AB于E,CFJL4。延长线于尸,

图③

同理（1）可得C£=C/，

在4.CEB中，N8=45。，ZCEfi=90°,

:./BCE=45。，

・•・_CM是等腰直角三角形,

.・.CE=—BC=—x642=6,

22

在VCOb中，ZCDF=180°-ZADC=45°,

・・・&CDF是等腰直角三角形，

，DF=CF=CE=6,

/.AF=AEH-DF=2+6=S

•**AC=VAF24-CF2=>/82+62=10•（12分）

23.（12分）我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边上高的长度之差.如图I,VABC

中，AO为3c边上高，边4c的“边高差”等于4C-AO,记为〃（8C）.

图I图2

（1）如图2,若VA3C中，AB=AC,ZBAD=ZCAD,AO=5,B£>=3,贝1」力（8。）=_；

（2）若VA8C中，?B90?,AB=5,BC=12t求力（4。的值；

⑶若V4BC中，A3=25,AC=17,BC边上的高为15,求人伊。的值.

【答案】（1）1

⑵吧

13

⑶：3或-3

【分析】本题主要考查了新定义下的三角形边高的数量关系，等腰三角形的性质，勾股定理等内容，解题

的关键是理解题意，掌握勾股定理.

（1）根据条件判定等腰三角形，利用等腰三角形的性质求出底边，然后根据新定义即可得出结果：

（2）画出示意图，利用勾股定理求出相关边长，最后根据新定义求解即可；

（3）分两种情况画出示意图，利用勾股定理求出相关边长，最后根据新定义求解即可.

【详解】（1）解：•・•AB=AC,

・•・VA4C为等腰三角形，

NBAD=NCAD,

根据等腰二角形的二线合一,

:.BC=2BD=6,ADJ.BC,

，A。为VA8C底边BC上的高，

：.h（BC）=BC-AD=6-5=\,

故答案为：1;（4分）

（2）解：如图所示，8。是边AC上的高,

由勾股定理得AC=」AB2+BC?=6+3=]3,

利用等面积法可得BD==鬻=*,

AC1313

：.h（AC）=AC-BD=\3--=—；（8分）

v71313

（3）解：①如图所示，AO是边BC上的高，

由勾股定理得，CD=>lAC2-AUr=>/172-152=8»

BD=y]AB2-AD2=V252-152=20»

・•・BC=CD+8D=8+20=28,

・・・力（5。）=2。-4）=28-15=13；

②如图所不，AD是边BC上的高.

同①可得，此时8。=8£>+8=20—8=12,

・•・h（BC）=BC-AD=\2-\5=-3.

综上，〃(BC)的值为13或一3.(12分)

24.(12分)某学校数学兴趣小组对特殊三角形外一点与该三角形三个顶点所形成的线段数量关系展开探

究：

图①图②图③图④

⑴如图①，已知等边三角形A8C边C8的延长线上一点人且满足N4相=30。，求线段抬、PB、PC的

数量关系，马超同学一眼看出结果为，PA?+PB，=PC?,你是否同意，请眼明的你说明理由；

(2)在探究过程中，小组同学们发现，当点P不在任意边的延长线上时，所形成的图形形似“鸡爪”，于是兴

趣小组同学们对“鸡爪”图形的特点展开深入探究：如图②，VA8C为等边三角形，乙49=30。，(1)中的

结论是否仍成立？小孙同学是这样做的：首先将线段AP朝外作等边三角形4P。，连接A。，PC……，请

沿着小孙同学的思路尝试走下去看看结论是否符合(1)中的结沦；

(3)如图③，“鸡爪”图形Q4C3中，VA8C是等腰直角三角形，ZMC=90°,ZAPB=45°,请简述线段FA、

PB、PC的数量关系；

(4)如图④，“鸡爪”图形小。中，V/WC是等腰直角三角形，ZI3AC=90°,ZAPB=45。，若PB=1,PC=2,

请直接写出Q4的长.

【答案】(1)同意，理由见解析

(2)成立，见解析

(3)2PA2+PB2=PC2

(畔

2

【分析】(1)由等边三角形的性质可得NABC=4AC=NC=60°,AB=BC=AC,由三角形外角的性质

可得/243=/48。一/408=30°,ZPAC=ZPAB+ABAC=90°,由等边对等角可得08=AB=AC,由勾

股定理可得PA2+AC2=PC2,等量代换可得PA2+PB2=PC2;

⑵线段AP朝外作等边三角形4PD,先证&D4B知PAC(SAS),得出80=尸C.

Z.DPB=ZAPB+ZAPD=90°,由勾股定理可得。犷+P4=40,，等量代换可得夕川+的？=PC?；

(3)线段必朝外作等腰直角三角形4P。，先证.D4B经PAC(SAS),得出M=PC,再证/。噂=90。,

利用勾股定理可得尸厅+PB2=/汉＞2,等量代换可得2H4?+PB2=PC2;

(4)过点A作">_LAP,交心延长线于点。，仿照(3)证明。AB"PAC(SAS),推事BO=PC,可得

*安考

【详解】(1)解：同意,

理由如下：;在等边三角形A8C中,

：・ZABC=/BAC=NC=60。，AB=BC=AC,

•・•乙4尸8=30。，

JAPAB=ZABC-ZAPB=60°-30°=30°，

/.PB=AB=AC,Z.PAC=NPAB+ZBAC=90°,

PA2+AC2=PC2,即E42+p6?=pc2；(3分)

(2)解：(1)的结论成立,

证明：如图，线段AP朝外作等边三角形APD.连接BO.

Bv

在等边△4/7),等边VABC中，AD=AP=PD,AB=AC,ZDAP=ZBAC=ZDPA=60°,

JZmB=ZE4C,

DAB”PAC(SAS),

・•・BD=PC,

•・•ZAPB=30°,

・•・ADPB=ZAPB+Z4PD=30°+60°=90°,

，PD2+PB2=BD2，

•••PAjPB=/V；/分)

(3)解：如图，线段AP朝外作等腰直角三角形APD,连接。HDB,DA,DC,

在等腰直角△AP。，等腰直角V48C中，PD=^AD=&AP，AB=AC=与BC，/DAP=/BAC=90°,

：./DAB=/PAC,NDPA=45°,

DAB^r.PAC(SAS),

・•・BD=PC,

ZAP8=45°,

JZD™=ZAPB+ZAPD=45O+45O=90°,

；・PDr+PB2=BD2，

(42PA)2+PB2=PC2,BP2PA24-PB2=PC2;(9分)

(4)解：过点A作/U)_LAP，交PB延长线于点。，

•?ZAPB=45°,

.tZA£）P=45°,

・•・PD=6AD=6AP，

ZR4C=90°,

・•・ZBAC—NBAP=ZDAP-/BAP,即ZDAB=APAC,

又TAB=AC=^BC，

・•.DAB^PAC（SAS）,

・•・BD=PC,

,:PB=1,PC=2,

:.PD=PB+PC=\+2=3,

：,PA=—PD=—.（12分）

22

【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三

角形外角的性质等，正确添加辅助线是解题的关键.

25.（12分）【特例感知】

如图1,小秦把一块二角板（Ab=6C,乙46c'=90。）放入一个、7T形槽中，使二角形的二个顶点A,B、C

分别在槽的两壁及底边上滑动，已知ND=NE=90。，在滑动过程中，你发现线段力。与跖之间的数量关系

是___________：

【问题探究】

小秦在解决完这个问题后，将其台名为“一线三等角''模型，如图2,在四边形A8C。中，

48C=ZACB=ZA£)C=45。，.5。力的面积是18且4)=9,求,44)的面积.

【拓展应用】

如图3,在VABC中，4V=AC,44=45°,点。、尸分别是边4艮