乘法公式 自主学习达标测试题-华东师大版八年级数学上册

2025-2026学年华东师大版八年级数学上册《11.3乘法公式》自主学习达标测试题(附答案)

一、单选题(满分24分)

1.若等式()(3。+5匕)=9小一25。2成立，则括号内所填的代数式是()

A.3a+5bB.-3a+5bC.3a-5bD.—3a—5b

2.若。2+4〃-4=(。一2匕)2,则a与b的关系一定是：)

A.相等B.互为相反数C.互为倒数D.无法确定

3.下列多项式的乘法中，可用平方差公式进行计算的是()

A.(x—2)(%—2)B.(—ci+b)(a-b')

C.(x2-y)(x+y2)D.0+》(力一,)

4.若M=2/+%,N=r2-x-5,则M与N的大小关系为()

A.M>NB.M=NC.MVND.无法确定

5.已知(x+y)?=25,(%—丫/=9,贝by的值为()

A.4B.8C.12D.16

6.如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“创新数〃，如8=

32-12,16=52-32,所以8,16都是“创新数〃，下列整数是“创新数"的是()

A.58B.60C.62D.64

7.若ri满足关系式(n-2024)2+(2025-7i)2=3,则代数式(n-2024)(n-2025)的值是

()

A.-1B.-2C.--D.1

2

8.如图，边长为。的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成

新的图形.根据图形能验证的等式为()

-b2=(a+b)(a-b)

C.(a-b)2=a2-2ab+b2D.(a+b)2=a2+2ab+b2

二、填空题(满分24分)

9.若4/—2(m—3)x+16是完全平方式，则m.

10.若％+y=3,x-y=7,则/一好的值为

11.若［a2+/=Q—2b—2,则ga—3b=.

12.计算：(2+1)x(22+1)x(24+l)xx(232+1)的值为.

13.设Q=X-2024/=T-2026,C=X-2025.若。2+坟=56,则c?=.

14.用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为Q+2匕的正方形，需要B类

卡片的张数为.

a

15.为落实劳动素质教育，推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园内开辟了劳动教育

基地,如图是由劳动教育基地抽象出来的几何模型:两块“长分别为m,Mm＞切的正方形,

其中重叠部分B为池塘，阳影部分工，S2分别表示八年级和九年级的劳动教育基地面积.若

m+n=6,mn=8»则S1—S2=.

16.有两个正方形4,B,将B放在A的内部得图1,将A,B并列放置后构造一个大正方形

得图2.若图1和图2中阴影部分的面积分别为5和45,则图2中大正方形的面积为.

图1图2

三、解答题

17.计算：

(l)(-2x-7y)2；

⑵(一2。+5尸；

(3)(X-3)(X+3)(X2+9)；

(4)(2%+3)2(2%—3)2：

18.用乘法公式进行简便运算:

⑴10仔+992；

(2)30002-2998x3002.

19.先化简，再求值：(2x+y)2-4(x-y)(%+y),其中％=卷，y=-10.

20.已知a+b=2,ab=-1,求下列代数式的值：

(l)a(l-b)十匕；

(2)a2+b2：

(3)3-4

21.计算：

⑴(x+2y)(x-2y)-(x-4y)2-4y(2x-y)；

(2)(a-2b-3)(a+2b-3)-(a-2b+3)2.

22.数学活动课上，老师准备了若十个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为。的止方形，

B种纸片是边长为的正方形，C种纸片是长为从宽为。的长方形.并用A种纸片一张，B

种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形.利用图2正方形面积的不同表示方法，

可以验证公式：(。+6)2=02+2。匕+匕2

⑴类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证:(a4-b)(Q+2b)=a2+3ab+2b2,

请画出图形；

(2)已知a+b=5,a2+b2=13,求ab的值；

(3)己知(2025-a)2+(a-2024)2=4053,求(2025-a)(a-2024)的值：

(4)己知(a-2024)2+(a-2026)2=64,求(Q-2025＞的值.

23.乘法公式的探窕及应用.

探究问题：如图①是一张长方形纸条，将其剪成长短两条后刚好能拼成图②.

参考答案

1.C

【分析】本题考查了平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键.

根据平方差公式进行计算，即可解答.

【详解】解：0(3a+5b)(3。—5b)=9a2—25b2,

闭括号内所填的代数式是3a-5b；

故选：C.

2.C

【分析】本题考查了倒数的定义，完全平方公式，利用完全平方公式把右式展开，化简得到

ab=l,再根据倒数的定义即可判断求解，掌握乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键.

【详解】解：0a2+4b2-4=(a-2b)2,

0az4-4b2—4=a2—4at+4b2,

Bab=1,

加与b的关系一定是互为倒数，

故选：C.

3.D

【分析】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是根据平方差公式(a+b)(a-b)=a2—

炉，逐项进行判断即可.

【详解】解：A.(x-2)(x-2)=(x-2)2,不可用平方差公式进行计算，不符合题意；

B.(-a+b)(a-b)=-(a-b)2,不能用平方差公式计算，则不符合题意；

C.(、2-')(%+'2)不能用平方差公式计算，则不符合题意：

D.(7+》)仅一词=从一(»2,能用平方差公式计算，则符合题意；

故选：D.

4.A

【分析】本题考查了多项式的加减混合运算及应用，完全平方公式，作差得M-N=2/+

x-(x2-x-5),结果与0比较大小即可.

【详解】解：M—N=2/+%一(/一“一5)

=2x2+x-x2+x+5

=x2+2x+5

=(x+I)2+4>0,

:.M-N>0,

•••M>N,

故选：A.

5.A

【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键.根据完全平

方公式变形求值即可求解.

【详解】解：0(x+y)2=25,(x—y)?=9,

0x24-2xy+y2=25,x2-2xy4-y2=9,

两式相减得：4xy=16,

=4.

故诜：A

6.D

【分析】本题考查了平方差公式，理清“创新数〃的定义是解答本题的关键.

根据“创新数〃的定义，利用平方差公式逐一判断即可.

【详解】解：设两个连续奇数是2九-1和2几+1(其中—取正整数)，

(2n4-I)2—(2n—I)2=(2n+14-2n—l)(2n4-1-2n4-1)=4n-2=8n,

・•・由这两个连续奇数构造的“创新数”是8的倍数.

•.•58、60、62都不是8的倍数,

它们不是“创新数”,

•••64是8的倍数，且64="2-152,

.•.64是“创新数”.

故选：D.

7.D

【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式，并且灵活运用换元法是解

题的关键.

设九—2024=Q,2025—n=b,则可得Q?+/=3,a+b=1,根据完全平方公式

(a+b)2=小+2帅+/即可求出泌的值，即(n-2024)(2025-n)的值,进而即可解答.

【详解】解：设n-2024=m2025-n=b,

则a?+炉=3,

a+b=(n-2024)+(2025-n)=1.

0(a+b)2=a24-2ab+b2,

2ab=(a+b)2—(a2+b2)=I2—3=-2,

•••ab=-1,

0(n-2024)(2025-n)=-l

Q(n-2024)(n-2025)=-(n-2024)(2025-n)=1.

故选：D

8.B

【分析】本题考查了利用几何方法验证平方差公式.解决问题的关键是根据拼接前后的面积

不变得到等量关系.

边长为。的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后的面积为十一b2,新的图形面积等于

(a+bXa-b),由两图由阴影部分面积相等，即可得到结论.

【详解】解：图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，

即/一匕2；

剩余部分通过割补，拼成的矩形的面积为(a+b)(a-b),

回前后两个图形中阴影部分的面积相等，

Ha2—b2=(a4-b)(a—b).

故选：B.

9.一5或11

【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键.先根据两

个平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定，〃的值.

【详解】解：4/一2(加一3)工+16是完全平方式，

-2(m-3)=2x2x4或一2(m-3)=-2x2x4,

解得=-5或〃i=11,

故答案为：-5或11.

10.21

【分析】本题考查了平方差公式的应用，解题的关键是掌握平方差公式。2-廿二

(a+b)(a-切,并利用已知条件直接代入计算.

观察到所求代数式/一V可根据平方差公式分解为。+y)(x-y),而题目中已给出％+y=

3和％-y=7,将这两个值代入分解后的式子即可求出结果.

【详解】解：根据平方差公式4—y2=(x+y)a—”

已知％+y=3,x-y=7,

则7-y2=(x+y)(x-y)=3x7=21.

故答案为：21.

11.4

【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，完全平方公式，先把原式整理得

Qa-1)+(b+I)2=0.结合-1)N0,(b+I)2>0,得出a=2,b=-1,然后代入

：Q-3b进行计算，即可作答.

【详解】解：^-a2+b2=a-2b-2,

4

屋a?—a+b2+2b+2=0,

4

M-a2-a+l+b2+2b4-1=01

4

2

0(1a-1)+(b+1)2=0,

2

团ga-l)>0,(f?+l)2>0,

区Q-1=0,6+1=0,

解得Q=2,b=-1,

即-3b=1x2-3x(-1)=1+3=4.

故答案为：4

12.264-l

【分析】此题主:要考查了平方差公式的应用，解题的关健是将原式变形为平方差的形式.

在原式前乘以(2-1),再根据平方差公式进行求解即可.

【详解】解：原式=(2-1)(2+l)x(22+1)x(2。+1)x…x(232+1)

=(22-1)x(22+1)x(24+1)x…x(232+1)

=(24-1)x(24+1)x…x(232+1)

=(232-1)x(232+1)

=264-1,

故答案为：264-1.

13.27

【分析】本题考查完全平方公式的运用，找到。、氏c之间的关系是解答的关键.先根据已

知得到a=c+l,b=c-l,进而得到(c+1)2+(c-1)2=56,然后利用完全平方公式即

可求解.

【详解】解：Q=%—2024,b=x—2026,c=x—2025,

/.a=c4-1,b=c—1.

,:a2+b2=56»

(c+I)2+(c—I)2=56,即c?+2c+1+c2—2c+1=56,

02c2+2=56,

c2=27.

故答案为：27.

14.4

【分析】本题考查了完全平方公式与几何背景的结合，利用完全平方公式求出拼成后的正方

形的面积，然后即可得出所需各类卡片的数量，根据完全平方公式求出拼成后的正方形的面

积的表达式是解题的关键.

【详解】解：0(a+2b尸=a2+4ab+4b2,

团拼成一个边长为a+2b的正方形需要4类卡片1张，8类卡片4张，C类卡片4张，

故答案为：4.

15.12

【分析】本题考查了完全平方公式的应用，由图得Si-§2=m2-n2,由(m-n)2=

(m+九)2—4mn求出m-n,即可求解；掌握(m+n)?、(rn-n)2>mn之间的关系，能表示

出面积是解题的关键.

【详解】解：由题意得Hl*—S]="—52，

S]—S?

=m2—n2

=(m4-n)(m—n),

•••m+n=6,mn=8

・・•(m-n)2

=(m+n)2-4?nn

=36-32

=4,

m>n,

m—n=2,

•*.S]—S]

=6x2

=12；

故答案为：12.

16.95

【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，设两个壬方形4B的边长分别为％y,图1

和图2中阴影部分的面积分别为(x-y)2=5和。+y)2-x2-y2=45,进而求出2%y=45,

则％2+y2=50,即可得解.

【详解】解：设两个正方形48的功长分别为乂y,

由图1可得：(％-y)2=5,

•••x2+y2-2xy=5,

由图2可得:(x+y)2-x2-y2=45,

•••2xy=45,

:.x2+y2—45=5,

---x2+y2=50,

•••图2中大正方形的面积为(％4-y)2=%2+y24-45=50+45=95,

故答案为：95.

17.(1)解：(-2x-7y)2

=(2x+7y尸

=4xz+28xy+49y2：

(2)解：(-2a+5y=4。2—20a+25.

(3)解：&-3)(%+3)(7+9)

=(x2-9)(/+9)

=X4-81

(4)解：(2%+3)2(2%—3/

=[(2x4-3)(2%-3)]2

=(4x2-97

=16-—72/+81；

18.⑴20002

(2)4

【分析】本题考查利用平方差公式、完全平方公式进行简便运算，掌握平方差公式、完全平

方公式是解题的关键.

(1)将原式变形为(100+1尸+(100—1)2,利用完全平方公式展开计算；

(2)将原式变形为300为一(3000-2)x(3000+2),利用平方差公式计算.

【详解】(1)解：原式=(100+1尸+(100-1)2

=1002+2x1x100+I2+1002-2X1X100+12

=10000+200+14-10C00-200+1

=20002.

(2)解：原式=30002-(3000-2)x(3000+2)

=30002-(30002-4)

=30002-30002+4

=4.

19.4孙+5y2,496

【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方公式，平方差公式，先利用完全

平方公式和平方差公式进行计算，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答.

【详解】解：(2x+y)2-4(%-y)(x+y)

=4x2+4xy+y2-4(x2-y2)

=4x2+4xy+y2-4%2+4y2

=4xy+5y2,

当％=V，y=-10时，原式=4x卷x(-10)+5x(-10)2=-4+5x100=-4+500=

496.

20.(1)3

(2)6

(3)8

【分析】本题主要考查代数式的求值，完全平方公式变形求值，解题的关键是掌握整体代入

思想的运用与完全平方公式.

(1)把原式去括号变形，将Q+匕，萌的值代人计算即可；

(2)利用完全平方公式把原式变形，将Q+b,尤的值代人计算可得；

(3)利用完全平方公式把原式变形，将Q+b,Qb的值代入计算可得.

【详解】(1)解：回a+b=2,ab=-1»

团a(l—b)+b=a—ab+b=a+b—ab=2—(—1)=2+1=3；

(2)解：0a+b=2,ab——1,

0a2+〃=(Q+匕尸—2ab=22—2x(-1)=4+2=6；

(3)解：(3a+b=2,ab=—lt

0(a-b)2=(Q+b)2-4ab=22—4x(-1)=4+4=8.

21.⑴-16y2

(2)—8〃+4ab+12b-12a

【分析】本题考杏平方差公式，完全平方公式,，单项式乘以多项式，合并同类项，掌樨知识

点是解题的关键.

⑴根据平方差公式，完全平方公式，单项式乘以多项式，逐一计算，最后合并同类项即可；

(2)根据平方差公式，完全平方公式，单项式乘以多项式，逐一计算，最后合并同类项即可.

【详解】(1)解：原式-4y2--+8%y-16y2-8xy+4y2

=-16y2.

(2)原式=[(a-3)-2b][(a-3)+2b]-[(a+3)-2b]2

=(a—3)2—4b2—(a+3)2+4b(a4-3)-4b2

=a2-6a+9-4b2-a2-6a-9+4ab+12b-4b2

=-8b2+4ab+12b—12a.

22.⑴见解析

(2)6

(3)-2026

(4)31

【分析】本题主要考查完全平方式、多项式乘多项式、完全平方公式的几何背景.

(1)根据(a+b)(a+2b)=a?+3ab+2b2,画出宽为(a+b),长为(a+2b)的长方形即

可；

(2)根据完全平方公式变形可得出答案：

(3)设2025-a=x,a-2024=y,则x+y=l,再由完全平方公式变形可得出答案；

(4)设Q-2024=%,a-2026=y，则x-y=2,再由已知得M+y2=64,再由完全

平方公式变形可得出秒=-2026,再将(a-2025产变形为(a-2024-l)(a-2026+1),

将a-2024=%,a-20226=丫代入求解即可.

【详解】(1)解：如图，可以验证：(a+b)(a+2b)=/+3ab+2b2；

(2)解：v(a+b)2=a2+b2+2ab,

2ab=(a+b)2—(a2+b2),

...=9+吁解+叱

2

乂a+b=5,a2+bz=13,

,52-13

•••ab=-------=6；

(3)解：设2025—Q=X,a-2024=y,则％+y=l,

v(2025-a)2+(a-2024)2=4053,

•••x2+y2=4053,

v(x4-y)2=x2+2xy+y2,

1-4053

=-2026,

即(2025-a)(Q-2024)=xy=-2026；

(4)解：设Q—2024=x,a—2026=y,则x—y=2,

v(a-2024)2+(a-2026)2=64,

x2+y2=64»

•,(x—y)?=x2—2xy+j2,

(x2+y2)_(x_y)z_64-2?

•••xy=2——2~=30,

vx-y=2,

(a-2025)2=(a-2025)(a-2025)

=(a-2024-l)(a-2026+1)

=(x-l)(y+1)

=xy+x-y-l

=304-2-1

=31.

23.(1)

(a—b)(a+b)(2)a2—b2

(3)(a—b)(a+b)=a2—b2

(4)---m2；4x2-y2

49J

【分析】（1）用代数式表示长方形的长、宽，再根据面积公式表示出长方形的面积即可；

（2）图2中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，表示两个正方形的面积差即可;

（3）由两个图形的阴影剖分的面积相等得出答案；

（4）利用平方差公式进行计算即可；

（5））利用平方差公式，把每一项展开并计算，约分就可以得到结果.

本题考查了平方差公式的几何背景，解答本题的关键是利用阴影部分面积相等得到平方差公

式的表达式，注意灵活运用平方差公式.

【详解】解：（1）图①中长方形纸条的面积可表示为（Q—b）（Q+b）,

故答案为：（a-b）（Q+b）；

（2）拼成的图②阴影部分的面积可表示为a?—/,

故答案为：a2-b2；

（3）比较两图阴影部分的面积，可以得到乘法公式：^a-bXa+b）=a2-b2,

故答案为：（a-b）（a+b）=M一炉；

（4）

=6+1同（一渭M

=-1---qzn/2,

49

(2x+y)(2x—y)=(2x)2—y2=4/_y2,

故答案为：»扣2,4x2-y2；

⑸（1——x（l—翥）x（1—…X（1—康）x（1-募）

2024）+2024）乂[-2025）-+202s）

1324352023202520242026

=2X2X3X3X4X4X"X2024X2