等腰三角形（课堂讲义）-人教版八年级数学上册（原卷版）

■15.3等腰三角形

--------------------£1讲解目录/---------------------------

【知识点1】等腰三角形的性质..........................................................1

【知识点2】等腰三角形的判定..........................................................2

【知识点3】等边三角形的性质........................................................3

【知识点4】等边三角形的判定..........................................................4

【知识点5】直角三角形的性质..........................................................4

【知识点6】含30度角的直.由三角形....................................................5

【知识点7】直角三角形斜边上的中线...................................................6

【题型1】等腰三角形的概念应用问题...................................................7

【题型2】等边对等角的应用问题.......................................................8

【题型3】三线合一的应用问题.........................................................10

【题型4】等腰三角形性质与折叠问题..................................................11

【题型5】等腰三角形的性质与尺规作图..............................................12

【题型6】等腰三角形性质的实际应用..................................................13

【题型7】用定义判定等腰三角形......................................................14

【题型8】用等角对等边求边长、周长或面积问题.......................................15

【题型9】等边三角形的性质应用......................................................16

【题型10］等边三角形的判定问题.....................................................17

【题型11】含30°角的直角三角形的性质问题.........................................17

【题型12］等腰直角三角形的性质与判定问题..........................................19

❾知识讲解/

【知识点1】等腰三惫形的性质

(1)等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

(2)等腰三角形的性质

①等腰三角形的两腰相等

②等腰三角形的两个底角相等.【简称：等边对等角】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】

(3)在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线.以上四个元素中，从中任

意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论.

>即学即练

1.(2025春・灵璧县期末)4ABC为等腰三角形，其中顶角为40°,则该三角形的底角为

()

A.75°B.70°C.65°D,60°

2.(2024秋・姜堰区期末)如果等腰三角形的两边长为2cm,4cm,那么它的周长为()

A.8cmB.10cmC.11cmD.8cm或1Cem

3.(2025•城关区校级模拟)如图，在aABC中，AB二AC,NA=30°,以点B为圆心，BC的

长为半径画孤，交AC于点D,连接BD,则NABD二()

【知识点2】等腰三角形的判定

判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.【简称：等角对

等边】

说明：①等腰一三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法.

②等腰三角形的判定和性质互逆；

③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未

来底边的中线；

④判定定理在同一个三角形中才能适用.

>即学即练

1.(2025春・萍乡期末)下列长度的三段钢条，能组成一个等腰三角形框架的是(单位:

cm)()

A.2,3,4B.3,7,7C.2,2,6D.5,6,7

2.（2024秋・蔡甸区校级月考）已知0为原点，A（2,2）为坐标平面内一点，B是坐标轴

上一点，且4AOB为等腰三角形，那么符合条件的点B的个数为（）

A.5B.6C.7D.8

3.（2024春•宝安区期中）若长度分别为a,2,5的三条线段能组成一个等腰三角形，则a二

4.（2023*东海县三模）在aABC中，NA=80°,当NB=时，Z\ABC是等腰三角形.

【知识点3】等边三角形的性质

（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰

三角形.

①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；

②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况.在等边三南形中，

腰和底、顶角和底角是相对而言的.

（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°.

等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边

的垂直平分线是对称轴.

>即学即练

1.（2024秋・旬阳市期末）如图，在aABC中，NA=60°,AB=AC,若AABC的周长为12,

则BC的长为（）

A.3B.4C.8D.9

2.（2024*泰安）如图，直线l〃m,等边三角形ABC的两个顶点B,C分别落在直线l,m上,

A.45°B.39°C.29°D.21°

性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）.

性质2:在直角三角形中，两个锐角互余.

性质3:在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.（即直角三角形的外心位于斜边

的中点）

性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.性质5:在直角三角形

中，如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半；

在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.

>即学即练

1.（2025春•象州县期中）在一个直角三角形中，一个锐角是40°,另一个锐角是（）

A.70°B.50°C.30°D.10°

2.（2025春・于都县期中）将两把相同的直尺如图放置.若N1=164°,则N2的度数等于

A.103°B.104°C.105°

3.（2025•雷州市校级开学）如图，在AABC中，ZACB=90°,CD是AABC的高，若/A二24°,

贝BCD的度数是（）

A.66°B.22°C.26°D.24°

【知识点6】含30度角的直的三角形

（1）含30度角的直角三角形的性质：

在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.

（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相

关问题中常用来求边的长度和角的度数.

（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形

或一般直角三角形不能应用；

②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边.

>即学即练

1.（2025春•法库县期末）加图，AC=BC二6cm,NB=15°,AD_LBC于点D,贝"AD的长为（）

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

2.（2025春・三水区校级期中）如图是一个跷跷板的示意图，立柱0C与地面垂克（0C±AC

于点C）,跷跷板的一头A着地时NOAC-30°,点A、C、B'在同一水平线上，若0C-1m时，

3.（2025春・碑林区校级月考）如图，在aABC中，ZB=15°,ZC=90°,AB的垂直平分

线分别交AB,BC于点D,E,若BE=6cm,则AC的长是（）

【知识点7】直角三角形斜边上的中线

（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.（即直角三角形的外心位于斜

边的中点）

（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边

为斜边的直角三角形.

该定理可以用来判定直角三角形.

>即学即练

1.（2025春・增城区期末）如图，在aABC中，NACB=90°,D为AB的中点，若AB=10,则

CD的长为（）

A

D

CB

A.5B.4.8C.2.4D.无法确定

2.(2025*安徽三模)如图，在RtZ\ABC中，/ABC=90°，点D是AC的中点，作AE_LBD于

点E,若DE=2BE,AB=V6,则BC=()

3.（2025春・海淀区校级期中）如图，在直角三角形ABC中，CD为斜边AB上的中线，点E

是AB上方一点，且AE二BE,连接DE,若CD二3,AE=4,则DE的长为.

£1题型专练/

【题型1】等腰三角形的概念

【典型例题】如图，AB=AD,AC=BC=CDy则劭图中等腰三角形（）的底边.

A.XABCC.XABDD.△板和△胸

【举一反三1】如图，AB=AC,DE=DC,则等腰的底角是（）.

A.4BB.NCC.N8和NCD.NZ?£Z?和NC

【举一反三2】如图，△/!仇?中，AB=AC,AULBD于E,则图中等腰△48C腰上的高是线段（）

BC

A.BEB.BDC.AED.CE

【举一反三3】如图，在△48C中，BHBC,则等腰△8，C的顶角是（）.

且

必第鬻“

A.ZAB.NABCC.NDBCD.Z.EBC

【举一反三4】如图，AE=BE,EC=BC?,则等腰△4能的底边是_______________,等腰△8C£•的

底边是_______________.

DC

AB

【题型2】等边对等角

【典型例题】如图，在△力8c中，AB=BC,48的垂直平分线分别交BC干点、E,D,4?平

分乙BAC,则NC的度数是（）

c

D

C.54°D.72°

【举一反三1】如图，在△力比中，劭平分N/J8C，点E在8c的垂直平分线上，若N/4=60°,

ZABD=24°,则的度数为（)

B.50°C.55°D.60°

【举一反三2】如图，N斤50°,N4l/U120°,A归AN、则N例8的度数等于（）

C.60°D.50°

【举一反三3】点"是△彳仇?三边垂直平分线的交点，连接MA、MB、MC,专/MB2/ACM=75°,

则NEW的值是（）

A.45°B.30°C.25°D.15°

【举一反三4】如图，彳代47,"8的垂直平分线交8c于点。，那么）

B

A.50°B.60°C.70°D.80°

【题型3】三线合一

【典型例题】如图，在△48。中，AB^AC,D为BC中点、,/%035°，则NC的度数为（）

A.35°B.45°C.55°D.60°

【举一反三1】如图,△4仇?中，AB^AC,点。是8c边上的中点,点£在力。上，那么下列结

论不一定正确的是（)

A.AD_L8CB.匕EBO匕ECBC.4ABF4ACED.AE=BE

【举一反三2】如图，在△48C中，AB^AC,N外/80°,AD工BC于D,则N8等于（）

C.20°D.40°

【举一反三3】如图，△48。中，/分/120°,A斤AC,ADI.BC,垂足为。，则/胡。的度数

是

ADI.BC,8庐5,则附

【题型4】等腰三角形性质与折叠

【典型例题】如图，纸片△力灯?中，AB^AC,N片40°,将纸片对折，使点力与点8重合，折

痕为DE,连结BE.则NEBC的度数为（)

A

A.30°B.40°C.60°D.80°

【举一反三1］如图，在Rt^ABC中，NC=90°,直线BO交4C于，，把直角三甭形4BC沿

着直线BO翻折，点。恰好落在斜边A8上的点£处，并且△480是等腰三角形，那么々等于

)

C.30°D.22.5°

【举一反三2】如图将一张长方形纸的一角折叠过去，使顶点4落在处，BC为折痕，若48=

A.45°B.67.5°C.22.5°D.89.5°

【举一反三3】如图所示，在等腰△力8c中，AB^AC,N布36°,将△49C中的N4沿。£向下

翻折，使点力落在点C处.则NBEC的度数是.

【题型5】等腰三角形的性质与尺规作图

【典型例题】如图所示，以△A8C的顶点8为圆心，84长为半径画弧，交BC边于点D,连接AD.

若28=40°,NC=36°,则-DAC的大小为（

A.44B.40°C.36°D.34°

【举一反三1】如图，在△/IBC中，AB^AC,N本32°以点8为圆心，8c长为半径画弧，交

4;于点。，连接8。则N4劭的度数是（）

A.42°B.45°C.40°D.35°

【举一反三2】如图，在Rt丛ABC中，NAC卬90°,N4=52°,以点8为圆心，8c长为半径

画弧，交AB于点、D,连接3,则N4?C的度数为（）

D

B

A.142°B.132°C.119°D.109°

【题型6】等腰三角形性质的实际应用

【典型例题】如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中4斤4?,工人师傅在焊接立柱时，只

用找到8c的中点。这就可以说明竖梁4?垂直于横梁8c了，工人师傅这种操作方法的依据

是（）

D.等腰三角形“三线合

A.等边对等角B.等角对等边C.垂线段最短

一”

【举一反三1】在中国古代建筑中，有一种常见的装饰元素叫做“斗拱”.斗拱由多个小木

块组成，它们之间通过样卯结构相互连接，形成了一种独特的美感.如图1,从正面观察斗

拱可发现其外轮廓形状类似于一个等腰三角形,如图2,若底角N6=5O°,则顶南N4的度

数为（）

图1图2

A.50°B.60°C.70°D.80°

【举一反三2】玉树地震后，青海省某乡镇中学的同学用下面的方法检测教室的房梁是否水

平：如下图，在等腰直角三角尺斜边中点栓一条细绳，细绳的另一端挂一个铅锤，把这块三

角尺的斜边贴在房梁上，结果绳子经过三角尺的直角顶点，于是同学们确信放量是水平的，

其理由是（）

oB

A.等腰三角形两腰等分

B.等腰三角形两底角相等

C.三角形具有稳定性

D.等腰三角形的底边中线和底边上的高重合

【举一反三3】“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的

“三等分南仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒。4组成，两根棒在0

点相连并可绕0转动，C点固定，OC=CD=DE,点D,£可在槽中滑动，若N垃正'=69°,则

NC2店的度数是（）

A.60°B.69°C.76°D.88°

【题型7】用定义判定等腰三角形

【典型例题】三角形一边上的高和这边上的中线重合，则这个三角形一定是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形

【举一反三1】下列各组线段中，能构成等腰三角形的是（）

A.1,1,2B.2,2,4C.3,3,5D.3,4,5

【举一反三2】如图，在△彳BC,8伉外，点。在48上，£AkCFDB,则图中共（）个等

腰三角形.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【举一反三3】如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是三

角形.

【举一反三4】如图，在△48C中，已知边48的垂直平分线与边8c的垂直平分线交于点P,

连接21、PB、PC.则图中有个等腰三角形.

A

【题型8】用等角对等边求边长、周长或面积

【典型例题】如图所示，已知0c平分N478,CD"0B,若勿=4cm,则CZ7等于（）

A.3cmB.4cmC.1.5errD.2cm

【举一反三1】如困，在八府6■中，48=5,AC=8,BD,6。分别平分N48C,/ACB,过点0

作直线平行于8a交出AC于点、E,F,则的周长是（）

【举一反三2】如图，£为47上一点，连接CD平分NACB交BE干热D,且BE1CD,ZA

=NABE,AC=W,BC=6,则劭的长为（）

【举一反三3】如图，N朋合100°,Z5=40°,ZZ?=20°,AB=3,K1)CD=

【举一反三4】如图，在△48C中，乙BAC,N48C的平分线交于点。，过点。作仔〃彳8,分

别交47,BC干点、E,F.当/=2,8尸=4时，EF的长为

【题型9】等边三角形的性质

【典型例题】如图，直线a〃6,等边三角形力玩?的顶点C在直线6上，Z1=40°,则N2的

度数为（）

A.100°B.90°C.80°D.60°

【举一反三1】如图,在等边△48C中，劭是4C边上的中线,延长8C至点£梗CE=CD,

若DE=4,贝UBD=()

c.2V3D.4^3

【举一反三2】如图,AB//CD,点K力分别在直线48,EF上,连接砌若△日，为等边三

)

C.108°D.106°

【举一反三3】如图，直线/〃加，等边△48C的两个顶点48分别在直线/和加上，有乙CAD

=27°,则NC跳的度数是（）

【题型10］等边三角形的判定

【典型例题】一个三角形任诙一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断

是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形

【举一反三1】P为N478内一点，N47后30°,P关于04、08的对称点分别为KN,则4

解加定是（）

A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

【举一反三2】将含30,前的直角三角板和直尺按如图所示的方式摆放，若N1=60°,则4

ABC是（）

A.不等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形

【举一反三3】如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△48。

的形状是.

【举一反三4】已知N47后30°，点夕在N加8内部，2与户关于08对称，H与夕关于"对

称，则只，0,8三点构成的三角形是三角形

【题型11】含30°角的直角三角形的性质

【典型例题】如图，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上,另

一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30c角，则三

角板的近南边的长