第四章 图形的相似（一）讲义-北师大版九年级数学上册

2025秋季初三数学同步讲义07图形的相似（一）

【基础巩固】

1、线段的比、比例线段、比例的性质。

2、平行线分线段成比例。

3、多边形的相似。

【精准突破】

一、比例线段

例1.下列各组中的四条线段成比例的是（）

A.a=4,b=6,c=5,d=10B.a=>/2,b=3,c=2,d=V3

C.Q=2,b=3,c=4,d=1D.a=2,b=y/5,c=2V3,d=V15

例2.已知a,b,c,d是成比例线段，且a=3cm,b=2cm,c=6cm,则线段d的长为（）

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

【实战演练】

1.四条线段a,b,c,d成比例，若a=3cm,b=4cm,c=6cm.则线段d的长为cm.

二、比例性质

例1.已知实数x,『，z满足g=?=B试求怒言的值.

例2.若第”产5（a—2c+3"0）,则篙鲁二一•

【实战演练】

1.已知巴=2=200,且a+2b=16,Me=.

234

2.已知T=g=3H°，贝1.2氏的值为（）

A.：B.；C.2D.；

54/

2.若£=；=£=2（□+口+□”,若0+0+£7=72则.

三、平行线分线段成比例

例1.（A字）（2021秋•李沧区校级期中）（1）如图，已知DEIIBC,DFWAC,那么下列比例

式中正确的是（）

“ADACCE_C£cBFCE

A.一=一D.­=一

ABECB送呜'BF-AECFAE

⑵如图，AD||BE||CF,直线，1、L与这三条平行线分别交于点A、B、。和点。、E、F.若

力8=4,BC=8,DE=3,则EF的长为()

C.6D.7

例2.（8字）（1）如图，已知ABIICDIIEF,AF交BE于点、H,下列结论中错误的是（）

KBHAHcADBCHC_HDDc.—AF=—BE

A・记=记*DF-CE,HE-DFDFCE

(2)如图，%II。II，3，已知4B=6cm,A1B1=4cm,&G=2cm,则AC的长为cm.

例3,（需作辅助线）（1）如图,在△4BC中,E在BC边上,BE.EC=1:3,。是BD的中

点，连接8。并延长交AC亍。，则力DMC=—•

（2）如图，在aABC中，。为BC边上一点，E为线段AD上一点，延长8E交AC于点£若

8D

【实战演练】

1.如图，在△ABC中，。、E分别为48、4;边上的点，DE||BC,8E与C。相交于点立则

下列结论一定正确的是（）

ADFAEcADDE「ADAEDFEF

A.一=一D.=--cD.

FCECDBBCABAC~BF~~FC

2.如图，已知直线a||b||c,直线m、九与直线a、b、c分别交于点4、C、E、B、D、F,其中

则OF=()

C.4D.6

3.如图，lxIIl2IIl3,直线a、b与小%、4分别相交于点力、B、C和。、E、F.若募号

4.如图，已知直线a||〃|c,若48=2,BC=3,EF=2.5,则。E=()

9.如图，在^ABC中，D,E分别是8C,4c上的点，连接4D,BE交于点F,若器=2端=%

则等的值为一.

CL

10.如图，等腰三角形48c中，AB=AC,P点在8C边上的高4。上，且费=58P的延长线

交4C于E，若S&MC=10,则%ABE=一.

11.如图，在Rt^ABC中，/4CB=90。,点分别在边AB、AC上，且DB=2AD,AE=3EC,

连接BE、CD,相交于点。，若Rt△力8C的面积为4,则△A3。面积为.

12.如图，在直角△ABC中，£ACB=90°,AC=3,BC=4,且点D,E分别在3C,

AB上，连接AD和CE交于点H.若2=2,黑=1，则BE的长为—.

CDun

13.如图，力。是44BC的中线，E是4。上一点，BE的延长线交AC于F,△力BE的面积与4DBE

的面积之比是1:3,且AF=2,MFC=.

14.如图所示，力。是△48C的中线.

⑴若E为力0的中点，射线CE交48于忆求笫

(2)若E为AD上的一点，且啜=3射线CE交力8于F,求黑.

ElJKHr

四、相似多边形

例1.如图，网格中小正方形的边长均为1,阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中

是相似图形的为（）.

A.甲和乙B.丙和丁C.乙和丙D.甲和丁

例2.将等边三角形，菱形，矩形，正方形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所

示的4组图形，变化前后为两个多边形一定相似的有（）

A.1组B.2组C.3组D.4组

例3.矩形相邻的两边长分别为25和%（“<25）,把它按如图所示的方式分割成五个全等的

小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则》的值为（）

C.10D.5^10

例4.如图，四边形力8CZ）〜四边形AB'C'O，.则4%的度数为

【实战演练】

1.在如图所示的三个矩形中，相似的是（）

3cm-）1-^1c

乙2cm丙2cm

H4cm4cm15mm

A.甲和乙B.甲和丙C.乙和丙D.甲、乙和丙

2.一块矩形的纸片的长HB=a,宽4。=1,按照图中的方式将它裁成相同的两个矩形，且

使裁成的每个矩形的宽和长的比与原纸片的宽与长的比用同，即空=空,则。的值为（）.

AEB

A.V2B.A/3C.2D.V5

3.如图，已知矩形ABC。的边AD长为8cm,边A8长为6cm,从中截去一个矩形（图中阴影

部分），如果所载矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是cm2.

------------1。

J-------------f-------------1c

4.在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：

甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距

为1，则新三角形与原三角形相似.

乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为

1,则新矩形与原矩形不相似.

对于两人的观点，下列说法正确的是（）

ZL不1

/、、1IJ1

42^、、卜』

;一n—j

■«MMMMMM

图1图2

A.两人都对B.两人都不对

C.甲对，乙不对D.甲不对，乙对

5.如图,四边形ABC。〜四边形AB'C'D'.

(1)48=度;

⑵求边x,y的长.

6.如图①，等腰内△ABC面积为

(1)如图②，延长力8到Bi，使8iB=B4延长力C到Ci，使CiC=CA,以84为边长在力B的左

侧作正方形，具面积记作即]，以BiG为边长在BiG右上方作止方形，具面积记作Sg，贝Ug-

§8]=,

(2)如图③，延长到4,使延长力。到G，使QG=2CA,以々力为边长在AB的

左侧作正方形，其面积记作品2,以82c2为边长在82c2右上方作正方形，其面积记作&工，则

SQ~S%=---------♦

⑶延长48到使8“B“_i=B4延长AC到Q，使GCi=nCA,以B74为边长在4B的左侧

作正方形，其面积记作S%，以斗。为边长在与Cn右上方作正方形，其面积记作S&,则SQ-

2025秋季初三数学同步讲义07图形的相似（一）

【基础巩固】

1、线段的比、比例线段、比例的性质。

2、平行线分线段成比例。

3、多边形的相似。

【精准突破】

一、比例线段

例1.下列各组中的四条线段成比例的是（）

A.Q=4,b=6,c=5,d=10B.a=V2,b=3,c=2,d=x/3

C.a=2,d=3,c=4,d=1D.a=2,b=y/5,c=2V3,d=V15

【答案】D

【分析】本题考查了成比例线段，根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条

相乘，看它们的积是否相等即可得出答案.理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的

时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断是解题的关

犍.

【详解】解：A、•••4x10=40工5x6=30,Q,瓦c,d不成比例，故不符合题意；

B>V2x3=3V22xV3=2V3,a,b,c,d不成比洌，故不符合题意；

C、1X4=4H2X3=6,a,仇c,d不成比例，故不符合题意；

D.v2xVT5=2V15=2\/3XA/5,Aa,瓦c,d成比例，故符合撅意:

故选D.

例2.已知a,b,c,d是成比例线段，且Q=3cm,b=2cm,c=6cm,则线段d的长为()

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

【答案】C

【分析】本题考查比例线段，利用比例线段的定理得到3：2=6：d,然后利用比例的性质求

d即可.

【详解】解：团Q，b,C,d是成比例线段，

0a:b=C'.dy即3:2=6:d,

解得：d=4,

故选：C.

【实战演练】

1.四条线段a,b,c,d成比例，若a=3cm,b=4cm,c=6cm,则线段d的长为cm.

【答案】8

【分析】本题考查了比例线段的定义.此题比较简单，解题的关键是熟记比例线段的定义.由

四条线段a、从c、d成比例，根据比例线段的定义，即分类讨论，即可求得b的值.

【详解】解：团四条线段a,b,c,d成比例，

唠/

0a=3cm,b=4cm,c=6cm,

一

解得：d=8cm.

故答案为：8.

二、比例性质

例1.已知实数x,y,z满足;="(，试求悬焉的值.

【答案】J

6

【分析】本题主要考查了比例的性质，设;=3=(=k(kwO),则％=3匕y=4k,z=5k,

然后把所求式子中的X、丁、Z分别用含A的式子替换，最后约分即可得到答案.

【详解】解：设：=3=|=k(kwo),

0x=3/c,y—4k,z=5k,

3x-2y+z

6k+4k—5k

=9k-Sk+5k

5k

=6k

5

=

6

例2,若合:产?(。-2c+3"0),则盘二—

【答案】2

【分析】本题考查了比例的性质，代数式求值，由比例式可得b=2a,d=2c,/=2e,代

入代数式计算即可求解，掌握比例的性质是解题的关键.

【详解】解：卑=(=尸/

Ob=2a,d=2c,f=2e,

.-2d+3/_2a-2c+6e_2(a-2c+3e)_?

a-2c+3ea-2c+3ea-2c+3e'

【实战演练】

3.已知与=7=7^0,且Q+2h=16,则c=________.

234

【答案】8

【分析】本题考查了比例的性质.熟练掌握比例的性质是解题的关键.

由题意得，贝联+2><I=16,计算求解即可.

2424

【详解】解：吟二*：H0,

回a=£,b=—>

24

团a+2b=16,

H^+2x-=16,

24

解得，C=8,

故答案为：8.

2.已知？=?=0,见竺组勺值为（）

234c

451

A.-B.-C.2D.-

542

【答案】B

【分析】本题考查了比例的性质，设比值为k是解题关铤.

设；=?=：=k,用k表示出Q、氏C,代入求值即可.

234

【详解】解：设三=g=.=k也手0）,

Z34

a=2k,b=3k,c=4k,

a+b2k+3k5

c4k4

故选：B.

4.若£=（='=2,（ZZ7+£7+ZZ7H0）,若□+□+口=12,则£7+£7+£7=.

三、平行线分线段成比例

例1.（A字）（2021秋•李沧区校级期中）（1）如图,已知DEAC,DFWAC,那么下列比例

式中正确的是（）

ADACDECE…CECE~BFCE

AA.—=—Rn.—=—C.—=—D.—=—

ABECBCBDBFAECFAE

【答案】D

【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理的推论，平行于三角形一边的直线截其他两边

（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，由此可解.

【详解】解：:DEWBC,DFWAC,

BD_CEBD_BF

'AD~AE1AD~CF'

BF_CE

CF-AE

故选D.

（2）如图，AD||BEIICF,直线，1、。与这三条平行线分别交于点4、乐C和点。、E、F.若

48=4,BC=8,DE=3,则EF的长为（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线

段成比例成为解题的关键.根据平行线分线段成比例，由4。IIBEII6得到黑=需然后

oCbr

根据比例性质求EF即可解答.

【详解】解:MDIIBEIICF,

•••一AB=—DE,即riri一4=3一,

BCEF8EF

解得：EF=6.

故选：C.

例2.（8字）（1）如图，已知ABIICDIIEF,AF交BE于点、H,下列结论中错误的是（）

ABHAHcADBC》HCHDcAFBE

A.—=—B.—=—C.—=—D.—=—

HCHDDFCEHEDFDFCE

【答案】C

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例的性质，根据相似三

角形的性质逐一分析四个结论的正误是解题的关键.

【详解】解：A、因为力8||0则4力"864。“配所以瞿=瞿，故该结论是正确的，不

/JCitU

符合题意;

B、因为4BIICDII”，所以*=笠，故该结论是正确的，不符合题意;

DFCE

C、因为CDIIEF,则&FHE-DHC,所以黑=腺故该结论是不正确的，符合题意；

HEHF

D、因为力BIICDIIE凡所以芸二生故该结论是正确的，不符合题意；

DFCE

故选：C

（2）如图，l2||l2||13,已知4B=6cm,&当=4cm,B£=2cm,则4c的长为cm.

【答案】9

【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据“两条直线被一组平行线（不少于3条）

所截，截得的对应线段的长度成比例”，即可求解.

【详解】ft?：v12II12II13,

AB

•.•ii_Big,

ABBC

二—4=—2,

6BC

•••BC=3,

:.AC=AB+BC=6+3=9,

故答案为：9.

例3.（需作辅助线）⑴如图，在△4BC中,E在边上,BE-.EC=1:3,。是BD的中

点，连接B。并延长交4c于。，^iAD-.AC=—.

【答案】1:3

【分析】该题主要考查了相似性质，解题的关键是列出比例式；

过点。作DFIIBC,交AE于点F,由。FII8E,利用相似性质,可得出DF=BE,结合BE:EC=1:3,

可得出DF:CE=1:3,再rflDFIICE,利用相似性质解答即可；

【详解】过点。作DF点C,交AE于点F,如图所示.

-DFWBE,。是8。中点，

故上BOE〜&DOF,

DF0D

—=--=1,

BEOB'

•••DF=BE,

•：BE:EC=1:3,

Z）F:C£'=1:3.

•••DF\\CE,

故4AFD6b力EC,

ADDF1

'~AC=~CE=3,

^AD-.AC=1:3.

故答案为：1:3.

（2）如图，在△ABC中，。为BC边上一点，E为线段力D上一点，延长交AC于点足若

【答案w

【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，掌握作出辅助线是解题的关键.过点C

作CGII所交4D的延长线于点G,根据平行线分线段成比例得到第=笫根据CGII8E得出

第=告”，等量代换即可得到结论.

tzcUDL

【详解】解：如图，过点C作CGIIBF交71。的延长线于点G,

•••CGIIBE,

DG_DC

~DE~~DB

BAE=ED,

:.AG=AD+DG=2DE+|0E=尹心

AFAEDE2

—=—=—=—

ACAGAG7

【实战演练】

1.如图，在△力8c中，D、£分别为48、力。边上的点，0EII8C,BE与CO相交于点居则

下列结论一定正确的是()

cADAE

C.一=一D.竺=竺

ABACBFFC

【答案】C

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，根据。£||8。得

出△OEFyCBF,△AOE〜△/18C,仁=笑，再由相似三角形的性质逐项分析即可得解.

DoCE

【评解】解：0DF||BC,

0ADEF-ACFF,^ADE,故B错误，不符合题意；

DBCE

嗒二条年二寮故A、D错误，不符合题意；C正确，符合题意；

故选：C.

2.如图，已知直线Q||5||C,直线m、九与直线a、匕、c分别交于点小C、E、8、。、凡其中

AC=4,CE=6,BD=2,则0尸=()

【答案】B

【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理.

直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论.

【详解】团Qllbllc,AC=4,CE=6,BD=2,

的=吗

CEDF

gp-=—

6DF

解得：DF=3

故选：B

3.如图，Zi||l2||Z3,直线Q、力与小々、％分别相交于点力、B、C和0、E、F.若蔡詈

则器等于__________

【答案】|

【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准时应关系是解题的关

键.根据平行线分段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，代入

数据计算即可.

【详解】解:叫||，2口3,U

碎=丝，，

BCEF3

设DE=2x,

0EF=3x,

WF=DE+EF=2x+3x=5x,

故答案为：

4.如图，已知直线Q||b||c,若＜8=2,BC=3,EF=2.5,则DE=()

D

15

A.-B.-C.—D.

53154

【答案】B

【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可

【详解】、解：回a||b||c,

=—,即匹=2,

EFBC2.53

0DE=

3

故选B.

【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据题意得到器=*是解题的关健.

ErBC

AD=9,则。尸的长为（）

4

C.15D.21

【答案】B

【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理中的对应线

段是解答的关键.

根据平行线分线段成比例求解即可.

【详解】解：MBIICDIIE凡

喔，4D=9,

解得。F=12,

故选：B.

【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握两条直线被一组平行线所截，所得的

对应线段成比例是解题关灌.根据平行线分线段成比例定理求解即可.

【详解】解：vAC=CGtAG=FGf

:.FG=AG=2AC=2CG,CF=3AC=3CG,AF=4AC=4CG,

••噌故D选项正确；

vAB\\CD\\EF,

喑=?=%。=<=1，：=：=.故A、C选项正确,

BGAG2EGFGEFFG2

...票=华=：,故B选项结论错误，

故选：B.

7.如图，在图力BCD中，乙18。的平分线交4D于点E,尸是线段4E上的一点，4F=0E=1,

连接交BE于点G.若EG=：BG,则48的长为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】c

【分析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例定

理.先根据平行四边形性质得到4。=8C,ADWBC,再利用平行线分线段成比例定理得出

箓=翌=3设"=%,MFC=AD=2%,求出x的值，最后通过角平分线的定义及平行

BCDG2

线的性质证明AB=HE=3.

【详解】解：•••在团48。。中，AD=BC,AD\\BC,EG=^BG,

EFEG1

—=—=—,

BCBG2

设E『二x,则BC=AD=2x,

AF=DE=1,

:.1+x+1=2x,

解得％=2,

AE=AF+EF=1+2=3,

•••BE平分〃BC,

•••乙ABE=乙CBE,

vADWBC,

•••Z.AEB=乙CBE,

•••/-AEB=/.ABE,

:.AB=AE=3,

故选C.

8.如图，PQ是△ABC中位线，M是PQ中点，连结CM并延长，与相交于点N,则警=（）

【答案】C

【分析】本题考查了中位线的判定和性质，平行线的性质，取AN的中点F,连接尸Q,则尸Q

是△ACN中位线，根据中位线的性质得FQIIMN,再根据平行线的性质得熟=翳=1,则PN=

NF=AF,BN=BP+PN=4AF,AN=AF-VNF=2AF,进而可得答案.

【详解】解：如图，取AN的中点F,连接FQ,

(3PQ是AABC中位线，

团P、Q分别是48、AP的中点,

团"Q是△ACN中位线，

0FQIIC/V,即FQIIMN,

团M是PQ中点,

团PN=NF=AF,

0FP=AP=3AF,

(2BN=BP+PN=4AF,AN=AF+NF=2AF,

樱="=上

BN4AF2

故选：C.

9.如图，在4ABC中，。"分别是8C,4c上的点，连接力D,BE交于点F,若黑=2吟=%

则言的值为一.

EC

【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，过点。作。川附占，交AC.于〃，根据平行

线分线段成比例定理计算即可.

【详解】解：如图，过点。作DHIIBE,交AC于H,

设C7/=无，贝i」EH=2x,

EEFHDH,

gAEAF4

EH-而一下

^AEiEH-.HC=8:6:3,

设AE=8x,则E，=6x,CH=3x,EC=EH+CH=9x,

唠吗

故答案为:

10.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,P点在8c边上的高力。上，且芸=$8P的延长线

交AC于E,若S&.C=10,则旌4BE=一.

【答案】2

【分析】本题主要考查构造三角形中位线，利用平行线分线段成比例，导出边之比，过点。

作8E的平行线交4c于点卜，可推导出边AE,“和rC之比，然后利用SA4BC可以求SAABE-

【详解】取EC中点F,连接DF；

^AB=AC,力。为边上的高；

团。为中点；

同尸为EC中点；

WF||BE,则IIPE；

造="=工；

EFPD2

团SAABE=S*ABC=~X10=2;

故答案为：2.

IL如图，在RtUBC中,/ACB=90。,点。，上分别在边48、IC上，且DB=2AD,AE=3EC,

连接BE、CD,相交于点。，若内△ABC的面积为4,则△AB。面积为.

【答案吗/2|

【分析】过点。作叩。根据平行线分线段成比例定理可得槊=翳/根据已知器=r

所以得=三℃，即

得DF=2EC,D。=2OC,D。=Q•JDC,S“DO=JS^BO。J5^8SA/BO=

]SAA8C・

【详解】解：如图，过点。作。尸IL4E,交BE于点F,

WF=2EC,

WO=20C,

^DO=-DC,

3

团S^ADO=3^A>4DC，=gS^BDC，

228

团SUB。=&SAABC=、x4=§.

故答案为：

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是掌握平行线分线段成比例

定理.

12.如图，在直角AABC中，乙4c8=90。，AC=3,BC=4,且点D,E分别在BC,

AB上，连接AD和CE交于点H.若2=2,震=1，则BE的长为—.

CDUn

【答案】手

4

【分析】本题考查了平行线分线段成比例、勾股定理等知识，由题目的比例关系可作对应的

平行线，根据平行线分线段成比例和勾股定理可列等式，从而得出答案，准确作出平行线是

解题的关键.

【详解】解：如图，过点D作。FIICE

AH

~DH=1

AH=DH

•••AE=EF

•••DF||CE

BDBF

:*—=—=2

CDEF

:.BF=2EF

设AE=EF=k,则8F=2k

AE+EF+BF=AB=4k

/-ACB=90°,AC=3,BC=4

AB=5

AB=4k=5

.kJ

4

15

BE=3k=—

4

故答案为:

4

13.如图，力/）是448c的中线，E是4D上一点，BE的延长线交4c于F,△4BE的面积与^DBE

的面积之比是1:3,且Ar=2,则FC=.

【答案】12

【分析】本题考查平行线分线段成比例定理、三角形面积等知识，熟练掌握平行线分线段成

比例定理是解题的关键.作交/C于〃，证出“〃=〃。，根据三角形面积关系得喋=；,

ixCA

根据平行线分线段成比例定理得到芸=*=g则会=1进而得到答案.

rnUt3rCo

【详解】解:作DHII8F交4?于H,

BD=DC,

vDHWBF,

:.FH=HC,

•••△4BE的面积与4Z)BE的面积之比是1:3,

•••DH^BF,

AFAE1

:.—=—=-

FHDE3

AF1

PC6

FC=6AF=6x2=12；

故答案为：12.

14.如图所示，是△冬BC的中线.

⑴若后为4?的中点，射线CE交48于F,求第

(2)若E为4D上的一点，且需射线CE交48于尸,求笫

【答案】⑴:

砒

【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点，添加适当的辅助线是解

此题的关键.

(1)过点。作DGIICF,交于点G.由。GIIC/得出第=器结合4。是△48C的中线得出

GFDC

FG=BG,由DGIICF得出芸二空，结合E为力。的中点得出河="=BG,即可得解；

rGED

(2)过点。作。G||CF,交AB于点、G.由。GIICF得出"=口结合〃=，得出FG=忆45,由

FGEDEDK

(1)知FG=8G,从而得出BG=FG=k・AF,进而得出8尸=2k•AF,即可得解.

【详解】(1)解：如图，过点。作。GIICF,交48于点G.

BC_BD

'''GF_DC*

又•••40是△/BC的中线，

:.BD=CD,

•••FG=BG.

•••DGIICF,

AF_AE

,•茄一茄’

又「E为AO的中点，

AE=ED,

•••AF=FG=BG，

AF1

:・—=

BF2

(2)解：如图，过点。作。GIICF,交AB于点G.

AF_AE

,・FG~EDf

AE1

V—=

EDk

AF1

•・而-i，

即FG=kAF,

由(1)知FG=BG,

:.BG=FG=k，AF,

:•BF=2k•AF,

AFAF1

A—=--------=一.

BF2kAF2k

四、相似多边形

例1.如图，网格中小正方形的边长均为1,阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中

是相似图形的为（）.

A.甲和乙B.丙和丁C.乙和丙D.甲和丁

【答案】D

【分析】本题考查了相似图形，正确理解相似图形的概念是解题的关键.根据“对应角相等，

对应边成比例的图形是相似图形"进行判断即可.

【详解】解•：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边成比例，它们的形状相

同，大小不同，是相似图形.

故选：D.

例2.将等边三角形，菱形，矩形，正方形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所

示的4组图形，变化前后的两个多边形一定相似的有（）

A.1组B.2组C.3组D.4组

例3.矩形相邻的两边长分别为25和x(x<25),把它按如图所示的方式分割成五个全等的

小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，贝卜的值为()

A.5B.5V5C.10D.5m

【答案】B

【分析】本题考查了相似图形的性质以及矩形的性质，结合比例关系建立方程求解是册决本

题的关键.

可得到小矩形的短边长，根据每一个小矩形均与原矩形相似，可建立方程，代入数值求解即

可.

【详解】解：团大矩形的长边为25,

则切割后的小矩形的短边长为5,

又囹大矩形的短边与小矩形的长边都为X，

团由相似可得史=?

X5

即％2=25x5=125,且¥>0,

解得％=5V5

故选：B.

例4.如图，四边形48G)〜四边形ABI，。.则4r的度数为

【分析】本题考查相似多边形的性质.根据相似多边形的应角相等求解即可.

【详解】解：E)四边形4BCDs四边形AB'C'D',

团44'=Z.A=60°.

故答案为：60.

【实战演练】

1.在如图所示的三个矩形中，相似的是（）

|甲13cm

2cm1丙12cm

乙

4cm4cm15mm

A.甲和乙B.甲和丙C.乙和丙D.甲、乙和丙

【答案】B

【分析】本题考查的是相似多边形的判定，掌握两个多边形的对应角相等，对应边的比相等,

则这两个多边形是相似多边形是解题的关键.分别求出三个矩形的邻边之比，根据相似多边

形的判定定理判断即可.

【详解】解：甲、乙、丙三个长方形的角度都相等，都是90。,

由甲、乙边长可得:4:3=42,

故甲与乙小相似;

15mm=1.5cm,

由甲、丙边长可得:4:3=2:1.5,

故甲与内相似;

由乙、内边长可得:4:2W2:1.5,

故乙与丙不相似.

故选：B.

2.一块矩形的纸片的长力8=a,宽4。=1,按照图中的方式将它裁成相同的两个矩形，且

使裁成的每个矩形的宽和长的比与原纸片的宽与长的比用同，即党=%则a的值为（）.

ADAB

AB

A.V2B.V3C.2D.V5

【答案】A

【分析】此题考查了相似多边形的性质.注意相似多边形的对应边成比例.

由裁出的矩形的宽与长的比与矩形的宽与长的比相同，构建方程求解即可.

【详解】解：根据题意可知，AB=a,AE=^a,AD=1.

由些二也，得幺=2,

ADAB1a

即42=1.

2

团。2=2.

开平方，得a=V2（a=-企舍去），

故选：A.

3.如图，已知矩形力BCD的边AD长为8cm,边A8长为6cm,从中截去一个矩形（图中阴影

部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是—cm2.

----r---\n

J----1：---lc

【答案】27

【分析】本题主要考查了用似多边形，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键.先求出矩

形4BCD的面积，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方即可得答案.

【详解】解：0i4D—8cm,AB=6cm,

2

团S更形ABCD=力。♦AB=8x6=48（cm）,

团矩形AEF8和矩形48。。相似，

[/中形AEFB=（丝）2=⑶2;工

S矩形ABCD18，16

团S矩形柿=*矩形A8CD=看X48=27（cm2）,

故答案为：27

4.在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：

甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距

为1,则新三角形与原三角形相似.

乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为

1，则新矩形与原矩形不相似.

对于两人的观点，下列说法正确的是（)

图1图2

A.两人都对B.两人都不对

C.甲对，乙不对D.甲不对，乙对

【答案】A

【分析】根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边

形相似，即可判断.