第一章 有理数（讲义）-2024人教版七年级数学上册（解析版）

第一章有理数（举一反三讲义）全章题型归纳

【人教版2024]

■题型归纳

【培优篇】.........................................................................................................4

【题型I正负数的意义】.......................................................................................4

【题型2相反意义的量】.......................................................................................5

【题型3有理数的概念及分类】................................................................................7

【题型4数轴上的点与有理数之间的关系】....................................................................9

【题型5相反数】..............................................................................................11

【题型6绝对值】..............................................................................................12

【题型7有理数的大小比较】.................................................................................13

【拔尖篇】.................................................................................................15

【题型8正负数的实际应用】.................................................................................15

【题型9数轴上整点问题】....................................................................................18

【题型10利用相反数化洵多重符号】..........................................................................19

【题型II绝对值的非负性】....................................................................................21

【题型12有理数大小比较的实际应用】.......................................................................22

举一反三

知识点1正数和负数的概念

1.正数和负数的定义:

定义示例补充

大于0的数叫做正数.有时，为

正3,1.8%,3.5,「都是正数前的“+”可以

3,一了明确表达意义，在正数的前面5

数省略不写

也加上符号（读作“正”）正数

负在正数前加上符号的数叫—3,-2.7%,一弓,—4.5负数前的“一”不

4

数作负数能省略

都是负数

2.注意：0既不是正数，也不是负数.

3.D的意义

（1）0是正负数的分界；

（2）0可以表示“没有”;

（3）0可以用来表示基准，一般地，高于基准的量用数表示，低于基准的量用负数表示.

知识点2具有相反意义的量

1.定义：在日常生活中，人们常用正数、负数来表示一对具有相反意义的量.

2.表示方法：一般地，对于具有相反意义的量,我们可以把其口一种意义的量规定为正的，并用正数来表

示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示.

例如：若规定海平面的海拔高度为0m,珠穆朗玛峰高于海平面8848.86m,记作+8848.86m.

知识点3有理数

1.定义：正整数、。、负整数统称为整数:正分数和负分数统称为分数:整数可以写成分数的形式；可以

写成分数形式的数称为有理数.

2.有理数的分类:

按有理数的定义分类按有理数的性质符号分类

f

L正整数f「正整数1可以写成正

整数T正有理数一

0正分数J分数形式的

,负整数

有理数Y行理数V0

L正分数「负整数1

负有理数-可以写成负

分数一1负分数j分数形式的

负分数

3.各类数的含义：

名称描述名称描述

正整数大于0的整数负整数小于0的整数

正分数大于0的分数负分数小于0的分数

非负数正数和0非正数负数和0

非正整数负整数和0非负整数正整数和0

知识点4数轴

定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴,它满足以下条件:

（1）在直线上任取一个点表示数。，这个点叫作原点;

（2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向,从原点向左（或下）为负方向:

（3）选取适当的长度为单位长度,直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点,依次表示1,2,3,…;

从原点向左，用类似的方法依次表示一1,-2,一3,….

单位长度

原点

IfIdI刊

0123正方向

知识点5数轴上的点与有理数之间的关系

1.每个有理数都可以用数轴上的二点来表示，也可以说，每个有理数都对应数轴上的二

2.一般地，设。是一个正数，则数轴上表示数〃的点在数轴的正生轴上，与原点的距离是《个单位长度；

表示数的点在数轴的负半轴上,与原点的距离是生个单位长度.

表示-a的表示。的

点到原点点到原点

*的距离+的距离阕

1111I»

-aTOIa

知识点6相反数

1.相反数的定义：像3和-3,:和-［这样只有符号不同的两个数，互为相反数.

数字部分相同

地一

只仃符号不同

2.相反数的表示方法：一般地，4和-a互为相反数.这里，〃表示任意一个数，可以是正数、负数,也可

以是。

例如：当Q=1时，-Q=-1,I的相反数是一1,同时，一1的相反数是1.

特别地，0的相反数是0.

3.相反数的几何意义：到数轴原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数.

-1与1互为相反数

。巨离1距离。

\^2距

-2。2互为相反数

4.求一个数的相反数：在任意一个数前面添上“二”号，新的数就表示原数的相反数.

5.多重符号的化简：与“+”号个数无关，有奇数个“-”号,结果为负，有偶数个“-”号,结果为正.

知识点7绝对值

1.定义：一般地，数釉上表示数〃的点与原点的距离叫作数〃的绝对值,记作⑷.

2.绝对值的判断：一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是也即如

果a>0,那么|a|=a；如果a=0,那么|a|=0；如果aV0,那么|a|=-a.

3,绝对值非负性的应用：根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0,则每一个非负数必为0"，即若Ml+

\b\=0,则|a|=0且|b|=0.

知识点8有理数的大小比较

【变式1-2］在地形图上表示某地的高度时，需要以海平面为基准（规定海平面的海拔为0m）,通常用正数

表示高于海平面的某地的海拔，奂数表示低于海平面的某地的海拔.

（1）珠穆朗玛峰的海拔为8848.86m,它表示的含义是；

（2）吐鲁番盆地的海拔为-155m,它表示的含义是.

【答案】珠穆朗玛峰高出海平面8848.86m吐鲁番盆地低于海平面155m

【分析】本题主要考查正数和负数的定义，熟练掌握止数和负数的定义是解题的关键.

（1）根据正数和负数的概念得出结论即可；

（2）根据正数和负数的概念得出结论即可.

【详解】解：（1）珠穆朗玛峰的海拔为8848.86m,它表示的含义是珠穆朗玛峰高出海平面8848.86m,

故答案为：珠穆朗玛峰高出海平面8848.86m；

（2）吐鲁番盆地的海拔为-155m,它表示的含义是吐鲁番盆地低于海平面155m,

故答案为：吐鲁番盆地低于海平面155m.

【变式1-3］如图所示的是图纸上一个零件的标注，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm）,其中不合格

的是（）

430土歌

A.29.8mmB.30.03mmC.30.02mmD.29.98mm

【答案】A

【分析】依据正负数的意义求得零件直径的合格范围，然后找出不符要求的选项即可.

【详解】解：030+0.03=30.03,30-0.02=29.98,

团零件的直径的合格范围是：29.98mmW零件的直径430.03mm.

团29.8mm不在该范围之内，

田不合格的是A.

故选；A.

【点睛】本题主要考杳的是正数和负数的意义，根据正负数的意义求得零件直径的合格范围是解题的关键.

【题型2相反意义的量】

【例2】（24-25七年级上•四川成都・期末）我国是最早使用负数的国家，东汉初我国著名的数学著作《九章

算术》明确提出了“正负术”.如果盈利50元记作+50元，那么亏损100元记作（）

A.一100元B.1007EC.50元D.一50元

【答案】A

【分析】本题考查正负数的意义，理解正负数可以表示相反意义的量是解答本题的关键.

根据正负数的意义解答即可.

【详解】解：如果盈利50元记作+50元，那么亏损100元记作-100元，

故选：A.

【变式2-1］（2025•湖南长沙•模拟预测）弹簧与单摆都是物理学中一个极具启发性的基础模型.在实际生

活中，弹簧振子广泛应用「各种减震和避震系统，在车船、机床、建筑、民生乃至航天工业中都有重要的

应用.如图是弹簧振子在工作时的状态，若弹簧振子从自然状态向右拉伸3cm,记作+3cm,则弹簧振子

从自然状态向左压缩5cm,记作（）

HWWWWWV0--------1

Hwvwvw^vwOH

।；________I

|VI7IV17I।I.

A.-5cmB.-3cmC.+5cmD.-8cm

【答案】A

【分析】本题考查正负数的应用，根据正负数是表示具有相反意义的量，结合题意求解即可.

【详解】解：若弹簧振子从自然状态向右拉伸3cm,记作+3cm,则弹簧振子从自然状态向左压缩5cm,记

作一5cm,

故选：A.

【变式2-2］（24-25七年级上•浙江杭州•期末）地球上海拔最高的地点是珠穆朗玛峰，其海拔高于海平面

8848.86米，记作+8848.86米，则地球上海拔最低的地点是我国新疆吐鲁番盆地的艾丁湖，其海拔低于海

平面154米,记作_米.

【答案】-154

【分析】本题考查正数和负数，用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可求得答案，理解具有相反

意义的量是解题的关键.

【详解】解：由题意可得海拔低于海平面154米，记作-154米，

故答案为；-154.

【变式2-3］（24-25七年级上•广东茂名•期中）某地提倡“节约用水，保护环境〃，如果节约30L的水记为+30L,

那么浪费10L的水记为L.

【答案】-10

【分析】本题考查正数和负数的意义，正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可得出答案.

【详解】解：•.•节约30L的水记为+30L,

•••浪费10L的水记为-10L,

故答案为:-10.

【题型3有理数的概念及分类】

【例3】（2025•贵州贵阳二模）我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵、横两种（如图），记数规则为:

个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位数用横式表示；“0〃用空位来代替.发现负数后，数学家还创

造了在这个数的最后•个码上加•斜杠表示负数.如算号』=豕"表示的数为-248,则算筹

"-L=冰，表示的数为（）

123456789

IIIininiinnTTTTiir纵式

_==三室》L=L上，横式

中国古代的巩号数码

A.6037B.-6037C.637D.-637

【答案】B

【分析】本题考杳有理数，根据算筹记数的规则即可求解.

【详解】解：•.•个位上的数上有斜线，

.•.这个数是负数，

•••—L是横式，不能表示百位数，

•••-L表示千位上的数，百位上的数为0,

根据数筹表示数的方法可知，算等"一1-三3:表示的数为-6037.

故选B.

【变式3-1】下列说法正确的是（）

A.一个有理数不是正数就是负数

B.一个有理数不是整数就是分数

C.有理数是指整数、分数、正有理数、负有理数和0这五类

D.负有理数既是分数，又是负数

【答案】B

【分析】本题考查有理数的分类和相关定义，熟练掌握有理数的相关定义是解题的关键.利用有理数的相

关定义逐一判断即可.

【详解】解：A中，一个有理数如果不是正数，那么可能是负数或0,选项错误，故不符合题意；

B中，一个有理数不是整数就是分数，选项正确，故符合题意；

C中，有理数是可以分为整数、分数两类；也可以分为正有理数、负有理数和0三类，故选项错误，故不

符合题意；

D中，负有理数是负数，可能是分数，也可能是整数，故选项错误，故不符合题意；

故选：B.

【变式3-2](24-25七年级上•江苏连云港•期中)把下列各数填在相应的大括号里，并用“〈〃把这些数连接

起来.

27%,-2.5,2024,-3,0.

⑴负整数｛...)

⑵正分数｛...｝

⑶非负数｛...｝

⑷负有理数｛...)

⑸用“<〃把这些数连接起来为：.

【答案】⑴-3

(2)27%,1

(3)27%,2024,0

(4)-2.5,-3

(5)-3<-2.5<0<27%VK2024

【分析】本题考查了有理数的分类、有理数的大小比较方法.

(1)根据有理数的分类解答即可；

(2)根据有理数的分类解答即可；

(3)根据有理数的分类解答即可；

(4)根据有理数的分类解答即可；

(5)根据有理数的大小比较方法即可得解.

【详解】(1)解：负整数｛-3…｝

(2)解：正分数｛27%,%.｝

(3)解：非负数｛27%,±2024,0…｝

(4)解：负有理数｛一2.5,-3.J

(5)解：用把这些数连接起来为：一3V-2.5<0<27%<gv2024.

【变式3-3】阅读以下材料：如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不

断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它

的一个循环节.例如0.666…的循环节是"6〃，它可以写作0%,像这样的循环小数称为纯循环小数.又如

0.1333...、0.2456456456…的循环节是"3""456”,它们可以写作0.13、0.2456,像这样的循环小数称为混循

环小数.

阅读材料回答下列问题：

（1）0,23是循环小数（填“纯"或“混〃）

（2）0.24的循环节是.

【答案】纯24

【分析】本题考查了新定义，循环小数等知识，认真读题，理解题意是解题关键.

（1）根据纯循环小数和混循环小数的概念判断即可；

（2）根据循环节的概念判断即可；

【详解】解：（1）由纯循环小数即混循环小数的概念可知：0,23是纯循环小数，

故答案是：纯；

（2）0.24的循环节是24,

故答案为：24.

【题型4数轴上的点与有理数之间的关系】

【例4）（24-25七年级上•江苏镇江•阶段练习）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是-3.

AB

⑴在数轴上标出原点，并指出点8所表示的数是.

（2）在数轴上找一点C,使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为.

【答案】（1）见解析；4

（2）2或6

【分析】本题考查数轴，用数轴表示有理数，数轴上两点间距离;

（1）根据点A表示的数及每个刻度为1个单位长度可确定原点，根据点B与原点的位置可得点B所表示的

数；

（2）分点C在点8的左侧与右侧两种情况，分别计算即可.

【详解】（1）解：原点在点A的右侧距离点3个单位长度，如图：

1III111II.

AOB

点B在原点的右侧距离原点4个单位，因此点B所表示的数为4,

故答案为：4；

（2）解：①当点C在点8的左侧时，4-2=2,

②当点C在点8的右侧时，4+2=6,

，点。表示的数为2或6.

故答案为：2或6.

【变式4-1］（24-25七年级下•浙江杭州・开学考试）下图中，如果4点表示0,E点表示1,则G点表示；

如果0点表示0.G点表示1,则A点表示.

11।।।।1A

ABCDEFG

【答案】1.5-1

【分析】本题考查了数轴的认识，结合正负数知识解答即可.

根据图示，结合数轴知识，如果4点表示0,E点表示1,则每个小格表示0.25,所以G点表示1.5；如果

。点表示0,G点表示1,结合正负数知识可知A点表示-1.

【详解】解：如果A点表示0,七点表示1,则G点表示1.5；

如果。点表示0,G点表示1,

由却知：AD=DG

所以A点表示一1.

故答案为：1.5；—1.

【变式4-2］（24-25七年级上•福建福州•期中）已知P是数轴上的一个点，把P向左移动4个单位后，这时

它到原点的距离是5个单位，则P点表示的数是—.

【答案】9或-1

【分析】本题考查了数轴上的动点问题，理解题意是解题的关键.

根据题意，平移之后到原点的距离是5个单位，即表示的是5或者-5,即可求得平移之前P点表示的数.

【详解】解：依题意平移之后到原点的距离是5个单位，即表示的是5或者-5,

则5+4=9,-5+4=-1.

故答案为：9或一1.

【变式4-3］（24-25七年级上•江苏常州•阶段练习）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度

为1）上，4B,C三点将圆三等分，将点A与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依

次为点B与数轴上表示2的点重合，点C与数轴上表示3的点重合，点A与数轴上表示4的点重合，...，

若当圆停止运动时点B正好落到数轴上，则点B对应的数轴上的数可能为（）

.C:.一

-1012345

A.2020B.2021C.2022D.2023

【答案】B

【分析】本题主要考杳数轴，以及找规律问题，找到圆的滚动规律是解题的关键.根据圆的滚动规律可知3

次一个循环，将各选项中的数字除以3,根据余数可判定求解.

【详解】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按点4点8,点C的顺序排列，

即用的滚动规律为3次一个循环，则：

2020+3=673…1,所以此时点4正好落在数轴上;

2021-5-3=673-2,所以此时点8正好落在数轴上;

2022+3=674,所以此时点C正好落在数轴上；

2023+3=674-1,所以此时点4正好落在数轴上.

.••点B对应的数轴上的数可能为2021,

故选：B.

【题型5相反数】

【例5】（2025•湖北孝感・模拟预测）请写出一个其相反数是负数的数为.

【答案】1（答案不唯一）

【分析】本题主要查「相反数.根据相反数的定义解答即可.

【详解】解：根据题意得：一个其相反数是负数的数为正数，如1,2，……

故答案为：1（答案不唯一）

【变式5-1］（24-25七年级上•广东深圳•期末）一康的相反数是—.

【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数.

【详解】解一感的相反数是募

故答案为：短

【变式5-2］（24-25七年级上•山东威海・期末）如图，a,b,c,d四个有理数在数轴上对应点的位置如图所

示，请将-Q,—b,-C,-d四个数按照从小到大的顺序排列—.

abQcd

【答案】-dv—c<—b<—a

【分析】本题考查了数轴，相反数，有理数的大小比较的应用，能根据数轴上小c,d的位置得出-a,

-b,-c,-d的位置是解此题的关键.根据数轴和相反数比较即可.

【详解】解:因为从数轴可知:a<b<O<c<d,|d|>|a|>|c|>|d|,

所以一dv-c<-b<-a,

故答案为：-dv-c<-8<-a.

【变式5-3］（2025•陕西延安•二模）如图，数轴上点4,B表示的数互为相反数，该数轴的单位长度是1,

则点C表示的数是.

1，I-I—IJL，」—।—

ACB

【答案】1

【分析】本题主要考查了实数与数轴，相反数，利用相反数的性质确定原点的位置，再利用原点的位置解

答即可.

【详解】解：由题意得：AB=6,

团点A,8表示的数互为相反数，

团点A表示的数字为-3,点表示的数字为3,

团原点距离点C一个单位长度，点C在原点的右侧，

0点C表示的数字为1.

故答案为：1.

【题型6绝对值】

【例6】（24-25七年级上•天津•阶段练习）下列说法：①若a>从则⑷V⑸；②若|—a|>|T|,则aVb；

③若|a|>|b|,则Q>b；④若Q<匕<0,贝其中结论箱用的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】本题主要考查绝对值等知识点.根据绝对值的性质，通过举反例逐项判断即可.

【详解】解：①当Q=3,b=l,满足a>b,而⑶>|1|,故①错误；

②当Q=3,b=l,满足|一。|>|一b|,而3>1,故②错误；

③当a=-3,b=l,满足|a|>g|,而一3VI,故③错误；

④若avb<0,则|a|>|b|,故④正确；

综上，错误的有①②③共3个.

故选：C.

【变式6-1］绝对值小于6的整数有个，它们分别是；绝对值大于3且小于6的整数是.

【答案】11±5,±4,±3,±2,±1,0±4.±5

【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的意义解答即可求解，掌握绝对值的意义是解题的关键.

【详解】解：绝对值小于6的整数有11个，分别为±5,±4,±3,±2,±1,0：绝对值大于3且小于6的

整数是±4,±5,

故答案为：11，±5,+4,+3>±2,±1,0；±4,±5.

【变式6-2】写出一个绝对值小于4的负数.（写出一个即可）

【答案】一3（答案不唯一）

【分析】本题考查绝对值与有理数比较大小，解题的关键是掌握负数的绝对值等于它的相反数.

写出一个比一4大的负数即可.

【详解】解：比-4大的负数的绝对值均小于4,如-3.

故答案为：一3（答案不唯一）.

【变式6-3］按规定，食品包装袋上都应标明袋内装有食品多少克，下表是几种饼干的检验结具，“+、-〃

分别表示比标准质量多、少，用绝对值判断最符合标准的一种食品是饼干.

威化咸味甜味酥脆

+4(g)-4.5(g)+2®-3.1(g)

【答案】甜味

【分析】本题考杳了绝对佰的应庠，理解题章，正确求出各数的绝对信是解题关锲.找出表格中四个数值

的绝对值最小的即可得.

【详解】解:|+4|=4,|-4.5|=4.5,|+2|=2,|-3.1|=3.1,

•••2<3.1<4<4.5,

••・最符合标准的一种食品是甜味饼干，

故答案为：甜味.

【题型7有理数的大小比较】

【例7】（24-25七年级上•陕西渭南•期末）在4,-5,1,一2四个有理数中，比一刃、的数是（）

A.4B.-5C.1D.-2

【答案】B

【分析】此题主要考查了有理数大小比较，解答此题的关键是掌握有理数大小比较法则.有理数大小比较

的法则：①正数都大于0；②负数都小于0：③正数大于一切负数；④两个负数比较大小，绝对值大的

其值反而小，据此判断即可.

【详解】解：0|-5|>|-^|>|-2|,

0-5<--<-2<1<4,

2

趾匕一：小的数是一5,

故选：B.

【变式7-1]（24-25七年级卜•山西大同•阶段练习）比大小：7―-9,__%-|-^|一—（一）

【答案】><<

【分析】本题考查了有理数的大小比较法则“正数大于0、负数小于0、正数大于负数、负数绝对值大的反

而小"，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题关键.根据有理数的大小比较法则、绝对值的性质、化简

多重符号求解即可得.

【详解】解：酊是正数，-9是负数，

07>-9.

畤=0.8,-=0.75,0.8>0.75,

54

0--<

33

443/3

3

4

故答案为：>;<;<.

【变式7-2】比较—黑|，-H翳，玛的大小♦

202222

【答案】一翳<-TT<一

20232423

【分析】本题考查了有理数大小的比较，理解正数大于负数，0大于一切负数，两个负数绝对值大的反而是

解答关键.

每个分数都加1，分别得孤，白募，热，再比较它们的大小，根据正数大的它的相反数反而小来求解.

【详解】解：根据题意可得

每个分数都加1,分别得短，M11

2024524

因为含〈表〈或〈或

的I、12023.2022,23_22

所以一赤、-痂、_莉/一前

【变式7-3](24-25七年级上•山东荷泽・期中)如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是-3.

AB

▲上♦▲▲▲▲.▲♦上▲A

-5-4-3-2-16I2345M

⑴在数轴上标出原点，并指出点8所表示的数是」

(2)把这些数用数轴上的点表示出来：0,11,-3,-(-5),-|-1|,+(-41).请将这些数按从小到大的顺序排

列(用“V〃连接).

【答案】(1)见解析；4

(2)数轴见解析；+(-梏)<—3<—|—1|<0<1<—(—5)

【分析】(1)利用点A向右平移3个单位确定数轴原点，再确定点8表示的数即可；

(2)数轴上标上数字，先化简一(-5)=5,--]=-；,+(-4；)二一。，然后在数轴上描出表示各数的

点，标上原数，根据数轴的性质用"V〃号把这些数按从小到大连接起来即可.

【详解】(1)解：点A表示的数是-3,点4向右移动3个单位为数轴原点O,

0点B在原点右边4个单位位置，表示4,

AOB

---------[•11---------11i1•I--------•~~

(2)解：_(-5)=5,-|-||=+(_崂=_吟

在数轴上表示各数，

♦(-4+)-3-|-j|0ly-(-5)

-5-4-2T0I2345

团+(-4m<-3<-|-^|<0<11<-(-5).

【点睛】本题主要考查了数轴上表示数，利用数轴比较大小，掌握点的平移，数轴上表示数，利用数轴比

较大小是解题关键.

【拔尖篇】

【题型8正负数的实际应用】

【例8】(24-25七年级上•甘肃陇南•期中)在活动课上,有5名学生用橡皮泥做了5个实心球,直径可以有

±0.02圣米的误差，超过规定直径的亳米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如表：

做实心球的同学李明张兵王敏余佳蔡伟

检测结果+0.031-0.017+0.023-0.021-C.011

⑴请你指出哪些同学做的实心球是合乎要求的？

（2）哪个同学做的质量最接近标准质量？

【答案】（1）张兵和蔡伟同学做的实心球是合乎要求的

⑵蔡伟同学

【分析】（1）比较各个数据的绝对值，绝对值小于0.02是实心球是合乎要求，即可作答.

（2）比较各个数据的绝对值，绝对值最小的实心球的质量最接运标准质量，即可作答.

本题考查r绝对值的意义，正负数的意义，有理数的大小比较，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

【详解】（1）解：依题意，1+0.0311=0.031>0.02,|—0.017|=0.017V0.02,

|+0.023|=0.023>0.02,|-0.021|=0.021>0.02,|-0.011|=0.011<0.02,

团张兵和蔡伟同学做的实心球是合乎要求的；

（2）解：|+0.031|=0.031,|-0.017|=0.017|+0.023|=0.023,|-0.021|=0.021,|-0.0111=0,011,

00.031>0.023>0.021>0.017>0,011,

回蔡伟同学做的质量最接近标准质量

【变式8-1］（24-25七年级上•河南新乡•期中）近日，某社区针对老年人举办了“老年智能手机课堂〃，该社

区的王奶奶学会了使用智能手机，并参与了手机支付的消费体验.下表是王奶奶连续五笔交易的账单，则

这五笔交易中支出最多的是4月日.

支付账单

日期交易明细

4.10买菜¥-36.00

4.11转账收入¥+300.00

4.12乘坐公交车¥-2.00

4.13日常用品¥—75.00

4.14衣物¥-99.00

【答案】14

【分析】本题考查了有理数正负数的实际应用，有理数大小的比较，绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意

义和有理数大小比较是解题的关键；.

根据账单，找出表示支出的数，然后比较支出的绝对值大小，即可得出答案.

【详解】解：根据题意得：

在这五笔交易中，支出用负数表示，

V1-99.001=99.00,1-75.001=75.00,|-36.00|=36.00,|-2.00|=2.00,

•••99.00>75.00>36.00>2.00

|-99.00|>|-75.00|>|-36.00|>|-2.00|,

•.•由门-99.00|是最大的绝对值，

所以4月14日的支出是最多的，

故答案为:14.

⑵若规定与标准视力相差大于0.2需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？

【答案】(1)小璐；见解析

(2)3人

【分析】本题主要考杳了有理数大小的比较，绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握有理数大小的比较方

法.

(1)根据-0.6<-0.5<-0.4<-0.1<0<+0.1,即可得出答案；

(2)先求出各个数据的绝对值，然后与0.2进行比较即可得出答案.

【详解】⑴解：小璐的视力最差.

■:-0.6V—0.5<—0.4V—0.1V0V+0.1,

最小，与标准差的最多，

.•.小璐的视力最差.

(2)解：•・•|0.1|=0.1V0.2,|-0.4|=0.4>0,2,|0|=0<0.2,|-0.6|=0.6>0.2,|-0.5|=0.5>0.2,

l-D.ll=0.1<0.2

国6名学生中有3人需要配戴眼镜.

【变式8-3](24-25七年级上•贵州黔东南•阶段练习)一种实验器材的标准质量是15g,质检员抽查了7件

样品的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果记录如下表.

序号1234567

与标准质量的差/g-10+0.8+0.9—0.5-1.2+0.2+0.6

⑴哪件实验器材的质量最接近标准质量？

（2）如果规定误差的绝对值在0.8g（含0.8g）之内是合格品；误差的绝对值在0.8g〜1.0g（含10g）之间的

是次品；误差的绝对值超过1.0g的视为废品，那么在上述7件样品中，哪些是合格品？哪些是次品？哪些

是废品？

【答案】（1）6号实验器材的质量最接近标准质量；

（2）2号，4号，6号，7号是合格品：3号是次品；1号，5号是废品.

【分析】本题考查比较有理数大小的实际应用，求一个数的绝对值：

（1）找到与标准质量的差的绝对值最小的序号即可；

（2）根据规定，进行判断即可.

【详解】⑴解:|+0.2|<|-0.5|<|+0.6|<1+0.81<|+0.9|<|-1.2|<|-10|,

06号实验器材的质量最接近标准质量；

（2）0|+0.8|=0.8,|-0.5|=0.5<0.8,|+0.2|=0.2<0.8,|+0.6|=0.6<0.8,

团2号，4号，6号，7号是合格品；

00,8<|+0.9|=0.9<1.0,

团3号是次品;

0|-10|=10>1.0,|-1.2|=1.2>1.0,

回1号，5号是废品.

【题型9数轴上整点问题】

【例9】若在单位长度1cm的数轴上随意画出一条长100cm的线段力氏则线段A8盖住的整数点至少有（）

A.9个B.10个C.100个D.101个

【答案】C

【分析】分类讨论：线段的两端点是整数点，线段的两端点不是整数点，根据线段的长度，可得答案.

【详解】解：当线段的两端点是整数点时，一条长100cm的线段48,则被线段48盖住的整数有101个，

当线段的两端点不是整数点时，一条长100cm的线段AB,则被线段4B盖住的整数有100个，

.•・线段A8盖住的整数点至少有100个

故选：C.

【点睛】本题考查了数轴上两点的距离，熟练掌握数轴的定义是解题的关键.

【变式9-1］（24-25七年级上•全国•随堂练习）数轴上表示-2.5与:的两点之间，表示整数点的有（）

4

A.3个B.4个C.5个D.6个

【答案】C

【分析】根据题意，一2.5与:的两点之间，表示整数点的有一2,-1,0,1,2,解答即可.

4

本邈考杳了数轴上整数点问题，熟练掌握整数的定义是解题的关键.

【详解】解：根据题意，得一2.5与［的两点之间，表示整数点的有一2,-1,0,1,2,有5个，

4

故选：C.

【变式9-2］如图，数轴上被遮挡的整数是（）

【答案】B

【分析】在数轴上，原点右侧为正数，原点右侧为负数，旦数轴上的点越往右数越大，越往左数越小.

【详解】解：被遮住的左边是整数-2,右边是0,因此被遮挡的整数是-1.

故选B.

【点睛】本题主要考查数轴表示数的意义，互为相反数的求法，理解数轴表示数的意义.

【变式9-3］（24-25七年级匕河南南阳•期中）小宇不小心将墨水滴在了数轴上，使部分数轴被墨迹遮盖,

则被遮盖的部分中表示整数的点为（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

【答案】C

【分析】此题考查了用数轴上的点表示有理数.写出被遮盖的部分中整数即可得到答案.

【详解】解：根据题意可得，被遮盖的部分中整数有-3,-2,-1口1,共5个，即被遮盖的部分中表示整数

的点有5个，

故选：C

【题型10利用相反数化简多重符号】

【例10】（24-25七年级上•全国•随堂练习）化简下列各式的符号，并回答问题：

①一（一2）：②+（一。③—［一（-4）］：@-［-（+3.5）］；⑤-{_［一（+5）］}+5.

问：（1）当+5前面有2024个负号时，化简后的结果是多少？

(2)当-5前面有2025个负号时，化简后的结果是多少？你能总结出什么规律？

【答案】①一(一2)=2.②+(')=一右③一[一(一孙=-4.@-[-(+3.5)]=3.5.⑤一{-[—(+5)]}+5=

0；(1)+5(2)+5,总结规律：一个数的前面有奇数个负号时，化简后的结果等于它的相反数，有偶数

个负号时，化简后的结果等于它本身.

【分析】本题主要考查化简多重符号，熟练掌握相反数的意义及归纳总结规律及应用是解本题的关键.奇

数个负号为负，偶数个负号为正，根据化简多重符号的方法，分别计算；再根据所得规律：奇数个负号为

负，偶数个负号为正，求解(1)(2).

【详解】解：①-(-2)=2.②+(一§=.

@-[-(-4)]=-4.@-[-(+3,5)]=3.5.(5)-{-[-(+5)]}+5=-5+5=0.

(1)当+5前面有2024个负号时，化简后的结果是+5.

(2)当一5前面有2025个负号时，化简后的结果是+5.

总结规律：一个数的前面有奇数个负号时，化简后的结果等于它的相反数，有偶数个负号时，化简后的结

果等于它本身.

【变式10-1]化简一卜(一：)]=.

【答案】

4

【分析】本题考查了化简多重符号，熟练掌握相反数的定义是解题的关键.根据相反数的定义化简多重符

号即可解答.

[详解]解：

故答案为：一;.

4

【变式10-21(24-25七年级上•河南驻马店•期中)下列各数：+(-1),-1+(-5)],+卜(+)

中一定是正数的()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题主要考查了负数的识别，化简多重符号，先根据化简多重符号的法则求出对应的数的结果，

再根据负数是小于0的数即可得到答案.

【详解】解:+(—1)=—1,—[+(-5)]=—(—5)=5,—(—[)=：,—(—m)=血，+卜(+()]=+=—p

回一定是正数的有一[+(-5)],-(-；),由于用的符号未知，故-(一m)的符号未知，

故选：B.

【变式10-3］若b为一3,则一［+（-匕）］的相反数是.

【答案】3

【分析】本题考查了化简多重符号，熟练掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键.根据相反

数的定义即可解答.

【详解】解：M=-3,

0—［+（—b）］=h=-3,

田-3的相反数是3,

国-［+（一切］的相反数是3.

故答案为：3.

【题型11绝对值的非负性】

【例II】（24-25七年级上・甘肃张掖•阶段练习）若|一可二—Q,则。的值不可能是（）

A.3B.0C.-5D.-6

【答案】A

【分析】此题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性求解即可.

【详解】解：当Q=0时，|一。|=。=-Q：

当Q>0时，则—QV0,a|=-（—a）=aH-a；

当aVO时，则—a>0,|-a|=-Q；

所以当a小于或等于0时，|—a|=—a,

所以a=3不满足条件.

故选：A.

【变式11-1］若|。一1|与也一2|互为相反数，则a+b的值为（）

A.3B.-3C.0D.3或一3

【答案】A

【分析】本题重点考查了绝对值的非负性，属于基础题，记住〃几个非负数之和等于0,则每个非负数都等

于0〃是解题关键.根据相反数的定义可得|。-1|+|8-2|=0,再通过“几个非负数之和等于D,则每个非

负数都等于0"，计算出。和人的直，即可得出结果.

【详解】解：回|。一1|与仍一2|互为相反数，

0|a-l|+|b-2|=O,

•••a—1=0,b—2=0,

a=1,b=2,

圉a+b=l+2=3,

故选：A.

【变式11-2］如果x为有理数，式子2026-民一2026|存在最大值，这个最大值是（）

A.2026B.4049C.20D.0

【答案】A

【分析】本题考查的是非负数的性质•绝对值，根据绝对值的非负性，可知|无一2026|工0,得出式子2026—

优-2026|存在最大值，即可选出答案.

【详解】解：因为绝对值具有非负性，

所以优一2026|>0,

所以2026-\x-2026|<2026,

所以当氏-2026|=0时，式子有最大值，此时的值是2026.

故选：A.

【变式11-3］（24-25七年级上•重夫•期中）若M-|%+2|+3,