二次根式与勾股定理 （重点速记+12大核心考点+复习提升） -2025年新九年级数学暑假专项提升（人教版）

第1讲二次根式与勾股定理（12大核心考点）

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成串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢

:重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺

举一反三：核心考点能举一反三，能力提升

n复习提升：真题感知+提升专练，全面突破

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1

广二次根式的概念

，一二次根式有意义的条件

二次根式的概念与性质飞一二次根式的性质

I最简二次根式

一二次相式的乘法

一二次根式的除法

一二次根式的加减

二次根式的计算

一二次根式的混合运算

一二次根式的求值

一二次根式的应用

用勾股定理解三角形

/弦图问题

树形图面枳问题

厂勾股XE理（平方关系的计算与证明

折磬问题

最短距离问题

.勾股定理的证明

滑梯间趋

勾股定理[-忘度问器

1勾股定理的应用；选址问题

航海问越

水中筷子间送

/-判定直角三角形

勾股定的逆定理勾股数

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知识点1二次根式的概念与性质

1.二次根式的有关概念

一般地，我们把形如&(a〉0)的式子叫做二次根式，“J-”称为二次根号.

注意：

(1)必须含有二次根号的根指数为2,即“厂”，我们一般省略根指数2,写作.

(2)被开方数必须是非负数，如Q和后二5都不是二次根式.

(3)二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子.

(4)式子a表示非负数a的算术平方根，因此a20,620.二次根式具有双重非负性.

2.二次根式的性质：

(1)y/a>0(6/>0).

(2)=a(a>0).一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数

a(a>0)

(3)V7=|d|=<0(d=0).一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值

-a(a<0)

(4)J拓=JZ.扬(。20力20).积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积

(5)和呼(心6b>0).两个数的算术平方根的商'等于这两个数的商的算术平方根

3.最简二次根式

被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式，

叫做最简二次根式.

最简二次根式的条件；(1)被开方数的因数是里数或字母，因式是整式；(2)被开方数中不含有可化

为平方数或平方式的因数或因式.

知识点2二次根式的有关计算

1.二次根式的乘法：

(1)\/a-\/b=\[ab(a>0,b>0).

(2)逆用：\[ab=4a>0,b>0)

(3)推广：@\[a-y/b•y/c=>/ahc(a>0,/?>0,c>0)

Jabed=yfa•\[b-\/c•\[d(6/>0,Z?>0,c>0,d>0)

②a4b•c4d=acy/bd(/?>0,d20)

\[a^=a(a>0)

2.二次根式的除法:

[a_4a

（2）逆用:(<7>0,Z?>0)

(3)推广：©yfa4-y/b4-yfc=y[a^b^c(a>0,/?>0,c>0)

②（〃zG）+（〃扬）=（〃2+〃）《6+扬），其中。之0,/2>0，〃。0.

3.二次根式的加减

（1）法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进

行合并.

（2）步骤:

①将各个二次根式化成最简二次根式；

②找出化简后被开方数相同的二次根式；

③合并被开方数相同的二次根式一一将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变.

（3）注意:

①化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分.

②整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用.

③根号外的因式就是这个根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化为假分数的形式.

4.二次根式的混合运算

（1）二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先

算括号里面的（或先去掉括号）.

（2）在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式（平方差公式、完全平方公

式）仍然适用.

（3）二次根式混合运算的结果一定要化成最简二次根式或整式.

知识点3勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三隹形ABC的两直角边长分别为ab,斜边长

为c,那么储+力2=。2.

注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这

样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.

2222222

（3）理解勾股定理的一些变式:a=c-btb=c-afc=（a+b^-2ab

知识点4勾股定理证明

方法一：将四个全等的直角三明形拼成如图（1）所示的正方形.

n2

A.x/一B.A->—C.玲D.x<—

323

【答案】D

【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数为非负

数，分式分母不等于0.根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可.

【详解】解：•・•二次根式有意义,

六对即23〉0,

2—3x工0

2

解得

故选：D.

【变式训练】

考点二：二次根式的性质

例2.（24-25八年级下•全国•课后作业）若xv2,则2）1|37|

【答案】5-2%

【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值，掌握二次根式的性质即而=|4是解题的关键；根据二次根

式的性质及绝对值的意义即可求解.

【详解】解：・・・xv2,

/..r-2<0,3-x>0,

•*,-2)"+|3-x|

="(x-2)+3-x

=5-2x；

故答案为：5-2x.

【变式训练】

考点三：二次根式的计算

例3.（2025八年级下•湖北•专题练习）计算:

(Dx/12-3

⑵《484-5/3—x\/\2,+424.

【答案】(i)G-i

(2)4+76

【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式性质，

(1)先根据二次根式乘法及性质进行计算，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可;

(2)根据二次根式乘法和除法进行计算，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可.

【详解】⑴解：原式=26-3?*(2-3)

=2x/3-x/3+2-3

=x/J-1;

(2)原式=J48+3—&X12+2遍

=4—>/6+2后

=4+#.

【变式训练】

考点四：二次根式的求值

例4.(24-25八年级下•江苏苏州•阶段练习)已知：〃=2+石，b=y[5-2.

(1)求〃2+〃—访的值；

(2)若〃?为。整数部分，〃为。小数部分，求场的值.

n

【答案】(1)17

(2)4石+8

"a"

【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，无理数的估算，熟知二次根式的相关知识是

解题的关键.

(1)先求;Ha+〃，"的值，再根据/+〃一面=(〃+4_3而代值计算即小

(2)根据无理数的估算方法分别求出。、〃的范围，进而求出小、〃的值，最后代值计算即可得到答案.

【详解】⑴解：・・・。=2+6,b=&2,

：・a+b=2+小+标-2=2行,昉=(2+6)(6-2)=1,

a2+b2-ab

=(/+〃+2ab)-3ab

=(i/+Z>)2-3ab

=(2x/5)2-3xl

=20-3

=17；

(2)解：♦:C<加<M,

，2<若<3，

・・・4<2+石<5,0<^-2<b

为。整数部分，〃为〃小数部分,

m=4,n=6-2»

m4_4(石+2)_4石+8

.•n-V5-2-(V5+2)(N/5-2)~3

【变式训练】

考点五：二次根式的应用

F例5.(24-25八年级下・甘肃兰州•期中)阅读材料:

若两个正数则有下面不等式等之必,当〃二/，时取等号,我们把手叫作正数〃'〃的算术平

均数，把，石叫作正数”，〃的几何平均数，于是上述不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于(即

大于或等于)它们的几何平均数.它在数学中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具.不等式

等2而可以变形为不等式〃+)之2而，当且仅当，”=b时取到等号.(。，b均为正数)

例：已知x>0,求x的最小值.

解：由a+bN2\^得工」之2卜工=2x7?=2,当且仅当x=[,即x=l时，有最小值，最小值为2.根

据上面材料【可答下列问题：

(1)5+626荔；6+6_____2反K；(用―填空)

9

(2)当工>0,则工+—的最小值为-------，此时工=_；

x

9

(3)当x>2,贝+-^的最小值为______；

x-2

(4)用篱笆围一个面积为lOOnf的长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短,

最短篱笆是多少？

【答案】⑴〉,=

(2)6,3

(3)8

(4)这个长方形的长、宽为10m时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m

【分析】本题考查了二次根式的性质，理解题意是解题的关键；

（1）根据4+力22而，当且仅当。=人时取到等号.（。，人均为正数）即可求解.

（2）根据例题的方法，a+b22而,即可求解.

（3）将4一2看成整理，即Z=x-2,进而根据a+b之2疝，代入即可求解；

（4）设这个矩形的长为x米，根据宽=面积♦长，可得宽为当为，则所用的篱笆长等于长加宽的和乘以2,

根据阅读材料即可求解；

【详解】（1）解：・・・〃+8之2疝，5>0,6>0,5#6

A5+6>2>/5^6；

V6=6

**•6+6=2yl6x6

故答案为：>，=.

（2）解：Vx>0,

9I~~9

/.x+->2Jxx-=6

xVx

9

・,・当工=一，即x=3时，有最小值，最小值为6

x

故答案为：6,3.

（3）解：：x>2

A.r-2>0

设/=x-2

99I~9

・。+——=r+-+2>2Jrx-+2=2x3+2=8

x-2tVt

9

当/=一时，即［=3时，有最小值，最小值为8

故答案为：8.

（4）设这个矩形的长为xm,所用的篱笆总长为），m,

;围一个面积为100m2的长方形花园,

，宽为⑼m,

X

,6200

..y=2x+-----

x

•・T>0,

.。+迎22

=40.

x

当且仅当2x=——时，即x=10时y有最小值，最小值为40.

x

x=10时，”^二10,

x

・•・当这个长方形的长、宽为10m时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.

【变式训练】

考点六：勾股定理的有关计算

［一、2)例6."4-25八年级下•辽宁营口.期中)在VA3C中，=3c二16,点。是4C的中点,

点E是线段8。上的动点，过点E作砂交A8于点F,连接AE，若NAEF=NB.

(2)求OE的长.

【答案】(1)见解析

(2)4.5

【分析】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知勾股定理是解题的关键.

(1)根据等腰三角形的性质得到N8=NC,证明NE4c=90。，根据垂直的定义即可得证；

⑵根据勾股定理可得4炉+4。2=°炉，再由三线合•定理得到AD_Z8C,则可利用勾股定理求出AO的

长，进而得到4炉=4。2+。炉=62+。七2,据此建立方程求解即可.

【详解】(1)证明：AB=AC,

...N8=NC,

EFVBD,

:.ZAEF+ZAED=9(r,

・.・Z4£F=4,/B=NC,

.•.NC+Z4EO=90°,

.-.ZE4C=90°,

/.AE_LAC：

(2)解：•.ZE4C=90°,

：.AE2+AC2=CE2,

.AB=AC,点。是8C的中点，

:.BD=DC=-x\6=SAD上BC,

2f

/.AD=yjAC2-CD1=>/102-82=6*

CE=CD+DE=DE+3,

AE2=CE2-AC2=（DE+8）2-102,

在Rt.AOE中，AE2=AD2+DE2=62+DE2,

,-.（D£：+8）2-102=62+DE2,

解得：DE=4.5.

【变式训练】

考点七：勾股定理与平方关系

例7.（23-24八年级下•安徽蚌埠•期中）如图，在VABC中，AD1BC.

A

⑴求证：AB1-AC-=BD--CD-x

⑵当A8=8,BC=6,AC=2jlI时，求4D的值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)AO=4A/L

【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股

定理是解决问题的关键.

(1)在RtZ\48O和RiAOC中，分别运用勾股定理可得AB?二4犷+以月AC2=AD2+CD\利用A力边

相等，联立两式移项即得证.

(2)根据第一问的结论，可求出BOI8?的值，利用平方差公戈结合BC=BD+CD=6,可求得8。-8,

而8。+。。=6,由此可求得B。、CD,由勾股定理即可求出4).

【详解】(I)证明：AD1BC,

二•在RtAAB。和Rt-ADC中,根据勾股定理得,

AB2=AD2+BD2^AC2=AD2+CD2.

•••AB2-BD1=AD2=AC2-CD2,

移项得：AB2-AC2=BD2-CD2.

故AB2-AC2=BD2-CD2.

⑵解：.AB2-AC2=BD2-CD\A8=8,AC=2^

二.BD2-CD2=AB2-AC2=82-(2X/13)2=64-52=12,

...BD1-CD2=(BD+CD)(13D-CD)=12,

BC=6,^BD+CD=6,

BD-CD=2,

BD+CD=6180=4

"BD-CD=2,刎得|cO=2'

AD2=AB2-BD2=82-42=64-16=48，

.­-40=46

【变式训练】

考点八：勾股定理与翻折问题

(、］例8.8.(24-25八年级下•辽宁沈阳•期中)如图，将矩形纸片ABC。沿对角线8。对折，点。落在

点E的位置，A。与的相交于点

⑴求证：VBDF是等腰三角形；

(2)若A8=8,4。=10,求Sv8F0.

【答案】(1)见解析

【分析】本题考查的是翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键.

(1)证明=得出BF=DF,则结论得证；

(2)设3/=不，则£>/=%，AF=10-x,在Rt_4B/中，根据勾股定理有乎+(10-幻2=/，解方程得出力F

41

的长为进而根据三角形的面积公式，即可得解.

【详解】(I)证明：由折叠可知NE8D=NC3O.

AD//CB,

:.NADB=4CBD,

:"EBD=ZADB,

;.BF=DF,

.•uB£＞尸是等腰三角形.

(2)设8/=工，则。尸=x,AF=\0-x,

在RtABF中，根据勾股定理有8：+(10-4=A-2.

41

解得：x=£

/的长为三，

J

1i41164

-'-S=-DFxAB=-x—xS=——

V5RFl)2255

【变式训练】

考点九：勾股定理的证明

例9.（24-25八年级下•内蒙古乌兰察布•期中）直角三角形的三边关系：如果直角三隹形两条直角

边长为a、b,斜边长为c,则"+〃=。2.

⑴图1为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图I推导上面的关系式.利用以上所得的直

角三角形的三边关系进行解答；

⑵如图2,在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A、B,其中=由于某种

原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点”（A、H、B在一条

直线上），并新修一条路C"，且测得C”=6千米，"3=4千米，求新路C”比原路C4少多

少千米？

（3）在第（2）问中若ABwAC时，CH工AB,AC=8,8c=10,AB=12,设4H=x,求x的值.

【答案】（1）见解析

（2）新路C"比原路C4少0.5T・米

【分析】本题考杳的是勾股定理的证明方法以及勾股定理的应用；

（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直用三角形面积求出，两次求出的面积相等列

出关系式，化简即可得证；

（2）设C4=x千米，则4"=（x-4）千米，根据勾股定理列方程，解方程即可得到结果；

（3）在RJ.4C”和中，由勾股定理得求出C〃2=C42-A"2=C82-W72,列出方程求解即可得到结

果.

【详自帛】（1）解：AB±AD,BC±AB,DE±CE,

・•・梯形A8CO的面积为g(a+b)S+b)或g/+时,

^(a+b)(a+b)=^c2+ab

:.ab+—c2=-a2+ab+-b2,

222

即小+尸=c2,

(2)解：设C4=x千米，则AH=(x-4)千米,

在Rt.AC〃中，CA2=CH2+AH\

即』2=62+(.E—4)2,解得：x=6.5,即C4=6.5,

CA-CH=6.5-6=0.5(千米)，

答：新路C”比原路C4少0.5千米，

(3)解：由题得，BH=\2-x,

在RtAC”中，CH2=CA2-AH2,

在RtZ\8C〃中，CH2=CI32-BH2,

:.CA2-AH2=CB2-BH2,

,9

BP82-X2=102-(I2-X)',解得：x=-.

【变式训练】

考点十：勾股定理的应用

例10.(24-25八年级下•河南三门峡•期中)八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量

如图的风筝的高度CE,测得如下数据：

①测得的长度为8米：(注：BD工CE)

②根据手中剩余线的长度计算出风筝线8C的长为17米；

③牵线放风筝的松松身高1.6米.

⑴求风筝的高度CK.

(2)若松松|可学想风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？

【答案】（1）16.6米

⑵？米

【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键;

（1）利用勾股定理求出CO的长，再加上OE的长度，即可求出CE的高度；

（2）根据勾股定理即可得到结论：

【详解】（1）解：在中，

由勾股定理得，。。2=8。2一802=172-82=225

所以，。。=15（负值舍去），

所以，CE=CD+DE=\5+\.6=\6.6（米），

答：风筝的高度CE为16.6米；

（2）如图：由题意得，CM=9米，・・・r）M=6米，

/.BM2=DM2+BD2=82+62=100,

，8M=10米，

ABC-BM=7（米），

••・他应该往回收线7米.

【变式训练】

考点十一：勾股定理的逆定理

例11.（24-25八年级下•重庆长寿・期中）如图，长寿某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图

中的四边形A8CO）,经测量，在四边形A3C。中，ZACB=90°,AB=15m,BC=9m,AO=5m,DC=l3m.

（1）.AC力是直角三角形吗？为什么？

（2）小区为美化环境，欲在空地.上铺草坪，已知草坪每平方米80元，试间铺满这块空地共需花费多少元?

【答案】(1),58是直角三角形，理由见解析

(2)6720元.

【分析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式.判断三角形是否为直角三角

形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.

(1)先在中，利用勾股定理可求AC=12cm,在.AC。中，易求AC?+AO?=12?+5?=13?=8?,

再利用勾股定理的逆定理可知是直角三角形，且ND4C=90。；

(2)分别利用三角形的面积公式求出即是四边形力4c。的面积，再乘以80,即可求总花费.

【详解】(1)解：以8是直角三角形,理由如下:

如图，在RtZ\A8C中，ZAC8=90。，AB=15m,BC=9m,

•*-AC=」AB?-BC?=V152-92=12cm

在"CO中，AD=5m,DC=13m,AC=l2cm

・•・AC2+AD2=122+52=132=CD2，

・•・，AC£>是直角三角形，〃4C=90。；

2

(2)VS./Aif<{>vC+S4/Aifr)c=—2x/42CxBC+—xAC2xAD=—x212x9+—x12x5=84cm,,

•*,S四亚fMBCC二84cm2,

费用=84x80=6720(元).

答：铺满这块空地共需花费6720元.

【变式训练】

考点十二：勾股定理与最值问题

例12.(24-25八年级上•甘肃兰州•期中)综合与实践

背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.千百年来，人们对它的证明趋之若鹫，其中有著名

的数学家，也有业余数学爱好者.向常春在1994年构造发现了一个新的证法.

(1)把两个全等的直角三角形如图I放置，其三边长分别为。、〃、J显然，ND48=N8=90"，ACA.DE.用

含a、b、c的式子分别表示出梯形448、四边形A£C£>、-fBC的面积，再探究这三个图形面积之间的

关系，可得到勾股定理.上述图形的面枳满足的关系式为,经化简，可得到勾股定理/+从=。2.

⑵如图2,铁路上A、8两点(看作直线上的两点)相距40千米，C、。为两个村庄(看作两个点)，ADJ.AB,

BCLAB,垂足分别为A、B,AP=24千米，8C=lb千米，则两个村庄的距离为千米(直接填

空）；

（3）在（2）的条件下，要在A8上建造一个供应站，，使得=求出AP的距离.

（4）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式G7?+J（16-x『+81的最小值（。＜工＜16）.

【答案】⑴m〃+M=g（ab_〃）+gc2

（2）8726

⑶16千米

（4）20

【分析】（1）根据ND43=N4=90。可得四边形A4C。为直角梯形，则

S^ABCD=^（AD+BC）AB=^a2+ab）,根据心=〃，AE=6可得3E=AB-=,则

目

Sc=；BCBE=；（ab_b2）,由AC_LOE,可得S八班=:。日4/，SCDE=^-DECF,进而可得

S四边形AECO=SADE+S,CDE=万DE-AC=万C?，再根据S悌形八8CO=SSBC+S四边形AECO川得

l（？+^）=l（^-/r）+1c2,据此即可得出答案；

（2）连接CO,过点。作CE_LADJ二点E,根据ADSAB，8CJ.AA可得四边形A8CE是矩形，进而可得

4E=BC=I6千米，CE=A8=40千米，于是可得力E=AO-AE=8千米，然后利用勾股定理即可求得C、

。两个村庄之间的距离：

（3）由题意可知，点P在C。的任直平分线上，连接CO,作CD的垂直平分线交A3于点尸，则点P即为

所求；设AF=x/米，则5P=（40r）T•米，在RtaAP。和RtZ\%C中，分别利用勾股定理表示出PD和尸C，

然后通过PC=电＞建立方程，解方程即可求出AP的距离；

（4）根据轴对称一最短路线的求法即可求出：先作出点C关于AB的对称点F,连接DF，过点/作FEJ_ZM

交D4延长线于点E，则。A就是个数式犷历+“16-x）2+81的最小值;然后利用轴对称的性质、矩形的

判定与性质及勾股定理求出。尸的长即可.

【详解】（1）解：依题意得：AD=Al3=a,AE=BC=b,AC=DE=c,ZADE=NBAC,

ZDAB=ZB=90°,

..AD//BC,