高考数学二轮复习（全国版理）专项突破 函数的公切线问题

微重点4函数的公切线问题

导数中的公切线问题，是导数的重要应用之一，利月导数的几何意义，通过双变量的处

理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑

推理、数学运算素养.

考点一求两函数的公切线

例1(2022.湘潭模拟)已知直线/是曲线y=ev-1与y=\nx+1的公共切线，则/的方程为

答案)，=ex-l或y=x

解析设直线/与曲线y=ex—1相切于点P(a,e“一1),与曲线y=lnx+l相切于点Q(b,Inb

+1)，

1ln/?-ef,+2

则e"=

bb-a

整理得(a—l)(e“-l)=0,

解得a=\或。=0,

当a=l时，/的方程为y=ex-l；

当a=0时，/的方程为y=x.

规律方法求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线.y=/(x)

在点夕(的，人的))处的切线方程是y-J(xo)=f"(XO)-(A—xo);求过某点的切线方程，需先诙出切

点坐标，再依据已知点在切线上求解.

跟踪演练I已知函数八¥)=■?—2加，g(x)=31nX—X,若y=/u)与y=g(x)在公共点处的切线

相同，则m=,该切线方程为.

答案I2x-y-3=0

解析设函数,/(x)=/一2m与g(x)=31nx—A的公共点为［沏，yo),

3

1

f(x)=2xfg(x)=--l,

优前=以前，

41/3))=g'(即),

,诏一2〃?=3lnxo-M),

即v2vo=^—1,

、血＞0,

解得XO=〃I=1,

••f(沏)=2,fl,xo)=-1,

切线方程为y+l=2（x-l）,即2x—），-3=0.

考点二与公切线有关的求值问题

例2（2022•河南省百校大联考）已知府）='+Inx与g（xj=2x—V+c的图象有一条公切线,

则

答(?=3

案-

一2

解析

因

所以/（x）=x+522（当且仅当x=l时取等号）,/（x）=2-3『《2（当且仅当x=0时取等号）,

所以公切线的斜率为2,与7U）的图象相切于点（1,，，与g（x）的图象相切于点（0,c）,

I

c-23

故「=2,即c=一.

规律方法利用导数的几何意义解题，关馍是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上

构造方程.

跟踪演练2（2022・湖北省新高考协作体联考）若存在过点（0,—2）的直线与曲线y=.F和曲线

y=/一x+a都相切，则实数。的值是（）

A.2B.1

C.0D.-2

答案A

解析jux3的导函数为y'=3/，y=f—工+。的导函数为）/=2v—1,

若直线与和y=f—工+。的切点分别为（笛，xj）,（熊，后一及十。），

则过（0,—2）的直线为y=3小一2,

y=（2r2—l）x—2,

3.VT=ZV2—1,卜i=l,

则有，X2+«=（2A-2—1）J2-2,解得｛及=2,

..R=3N—2,[a=2.

考点三判断公切线条数

例3（2022.荷泽质检）若直线/与曲线产e•'和y=lnx都相切，则满足条件的直线/有工）

A.0条B.1条

C.2条D.无数条

答案c

解析设直线/与曲线y=e，相切于点（X[,ev,）,yf=

・••直线/的力程为y-cx'-ex,（A—X0,

即y=er,-x—x\ex,+ev,.

设直线/与曲线y=lnx相切于点(X2,In"),

〉£

・••直线/的方程为y—InX2=g%一%2)，

即l+lnxz,

-'2

er,=—,

则<x2

r,

一书“+e=-l+lnx2,

消去&得x\er,—e'1—j|—1=0,

令^(x)=xe'—ev—x—1,R,

(x)=xel-l,

令8(入)=1<?1,xCR.

则g'(x)=(x+l)e',

当X£(一8,一1)时，屋(x)v0,

当x£(—l,+8)时，记(工)>0,

•・•，⑴在(一8,—1)上单调递减，在(-1,+8)上单调递增,

C.(p'(X)mm=(p'(―1)=—1<0,

又当xvO时,“(x)<0.

且“(0)v0,(pf(l)=e-l>0,

3xoe(O,l),使“(x)=0,即xoe4=l,

・••当x£(-8,xo)时，tp'(A-)<0,

当+8)时，/(/)>(),

在(一8,的)上单调盘减，在(xo,+8)上单调递增，

^U)min=^(A-O)=XOC一已"一网一1

且^(—2)=1—4>0,^(2)=e2—3>0,

函数夕(%)有2个零点，即y=e*与＞,=lnx有2条公切线.

规律方法运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数

通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况.

考点四求参数的取值范围

例4若曲线G：>=『与曲线G：y=/a>0)存在公切线，则实数a的取值范围为.

答案［S，+8)

解析)，=/在点(/〃，源)先的切线斜率为2/〃，

y=宗〃>0)在点(〃‘%)处的切线斜率为5e",

如果两个曲线存在公共切线，那么2小=%〃.

，1„

又由斜率公式得2m=-----,

m-n

由此得到"7=2〃-2,

则4〃—4=%有解，

即)，=4%—4,y=~^x的图象有公共点即可.

当直线>-=4x—4与曲线)=%相切时，

设切点为(s,Z),

则3=4,

且f=4s-4=/$,可得/=4,s=2,

22

即切点为(2,4),。=学故。的取值范围是启］

规律方法利用导致的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率A的函数，转化成函

数的零点问题或两函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解.

跟踪演练4若函数A0=41nx+1与函数ga)=aF—2.”>0)的图象存在公切线，则实数。

的取值范围为()

A.［3,+8)B.(3,+8)

C.(l,|D.(l,I)

答案A

解析因为〃>0,设切点为。，41nr+1),

4

则，⑺=7，

4

则公切线方程为y—4ln

4

即y=yx+4ln3,

4

y=-v+4lnt—3,

联立，

y=axi-2xy

可得or2—(2+和―41n/+3=(),

所以/=(2+T)2—4〃(3—41n/)=0,

整理可得

3—4lnf

a>0,

由，可得3—41n/>0,

/>0,

解得0<r<e4,

令

MD=3-41nf

其中0</<e4,

40_j_])/+41n/-I

贝”"(尸(3-41nt)2，

令s(1)=r+41nt—1,

4

则，“)=1+]>(),

(3\

函数s⑴在o,e;上单调递增,

当0</<1时，刈<0,即/(/)<(),此时函数力⑺单调递减,

3

当1<7好时，0(/)>(),

即“(0>0,此时函数/,⑺单调递增,

所以人⑴min=A(l)=3,

且当/f(T时，/,(/)->+oo,

所以函数力⑺的值域为［3,+8),故“23.

专题强化练

1.（2022・合肥模拟）已知函数凡r）=5,g（x）=a\nx,a〉R,若曲线y="v）与y=g（x）相交，且

在交点处有公切线，则。的值为（）

A，5B.e2C.eD.2e

答案A

解析设曲线y=/（x）与曲发y=g（x）的交点为P（xo,yo）,则xo,

因为‘（X尸立‘.⑶竹‘所以木弋‘即修苧’

则S^=alnxo=^^lnxo,

因为AO>0,所以Inx0=2,即xo=e2,

2.（2022•深圳模拟）已知曲线G：y=x\曲线G：y=cosx—l与直线/：丁=0,则（）

A./与G，。2均相切

B./与G，C2均不相切

C./与G相切，/与C2不相切

D./与G不相切，/与G相切

答案A

解析设曲线G：）二炉在点A（M）,1y0）数的切线的斜率为0,

则3.诏=0,刈=京，所以的=0,yo=O,切线方程为y=0,

设曲线Q：y=cosx—1在点8（11,》）处的切线的斜率为（），

则一sinxi=Oyi=cosxj—1,所以即=2E伏£Z）,yi=0或为=2E+兀（k£Z）,.=—2,

取内=0,》=0可得切线方程为y=。，

所以/与G,C2均相切.

3.已知函数y（x）=xlnx,g（x）=f+ar3£R），若经过点4（0，-1）存在一条直线/与火/）的图

象和身。）的图象都相切，则a等于（）

A.0B.-1

C.3D.-1或3

答案D

解析设直线/与y（x）=Ainx相切的切点为（加，6Inm）,

由7（x）=xlnx的导数为f（x）=1+lnx,

可得切线的斜率为1+lnm,

则切线方程为win〃?=i1+in,

将4(0,—1)代入切线方程可得

—1-mln7H=(I+ln/〃)(0-M，

解得〃7=1,则切线/的方程为)，=1一1,

y=x-1,

联立一

y=x'+ax,

可得『十(4—1)A+1=0,

由/=(〃-1)2—4=(),解得〃=—1或3.

4.(2022・邢台模拟)若直线/与函数式幻=以g(x)=lnx的国象分别相切于点A3，yUi)),R(x2,

g(X2))，则XIX2—X1+X2等于()

A.-2B.-1

C.1D.2

答案B

解析由«¥)=(?,g(x)=lnx,

得/'(x)=e\g'(x)=1,

人

则炉V，lne"l4,即即=Tn也

曲线y=7U)在点A处的切线方程为)，=e"x+e"(1—xi),

曲线y=g(x)在点B处的切线方程为y=~x-I+Inx2,

“2

所以e"(1—.*)=—1十Inxz,

可得!(1—.*)=-1―汨，

人2

整理得X|X2—X1+X2=-1.

5.(2022•青岛质检)若函数,，=/5)的图象上存在两个不同的点A,B,使得曲线y=/U)在这两

点处的切线重合，则称函数y=/U)为“自重合”函数.下列函数中是“自重合”函数的为

()

A.y=lnx+xB.y=ev+1

C.y=x^D.y=x—cosx

答案D

解析若曲线y=yu)在这两点处的切线重合，首先要保证这两点处导数相同.

A选项中，y=7+1;B选项中，y=e\导数均为单调函数，切点不同时，导数值不同，

人

所以切线不可能重合，故A,B错误;

c选项中，y=3«,若假率相同，

则切点为(xo,焉)和(一xo,一焉)，

代入解得切线方程分别为y=3品;一2读和y=3•r+",

若切线重合，则炖=0,此时两切点为同一点，不符合题意，故C错误；

D选项中，<=l+sinx,

令)/=l+sinx=l得工=履(女£Z),

则有点(0,—I),(2兀，2兀-1),切线均为y=x-l,所以存在不同的两点使得切线重合，故D

正确.

6.(2022•南京模拟)若二次函数九1)=及+3的图象与曲线C：飘冷=。^+3(»0)存在公切线,

则实数。的最大值为()

A.B-€：.苫D#

VVV

答案C

解析由/5)=2?+3可徨f(x)=4x,

由g(x)=ae'+3可得g'(x)=aex\

设公切线与46=2?+3的图象相切于点(为，24+3),

与^(x)=«ev+3的图象相切于点。2,〃e4+3),

上皿、ae"+3-(2X；+3)r/e^2-2.v,22n—x?

所以4xi=aex"=--------J——乙=--------L,即2为=_，

x2-X1x2-X1"2为

可得即=0或2X2=XI4-2,

因为4%=。小，。>(),则XI>0,2X2=XI+2>2,即北>1,

匕…，4x4(2匕-2)8(x,-l)

所以a=T=——；——=-=--x>l,

ex：eX2et22

.8(.v—1).8ex—8ev(x—1)16—8x

令人(4)=七1，QI，可得(©=-----T一

VVV

由h'(x)>0可得l<r<2；由h'(x)<0可得x>2,

所以/?(幻=也>在(1,2)二单调递增，在(2,+8)上单调递减，

8X|)

所以/z(x)max=/z(2)=^"=4,

所以实数。的最大值为V

7.(2022・保定模拟)若直线y=3x+/〃是曲线y=/(.。0)与曲线)=一/+收一6(.。0)的公切线,

贝U〃?+〃=.

答案5

解析设直线y=3x+〃?与曲线y=/(x>0)相切于点(a,d),

与曲线>一一『十nx-6(x>0)相切于点(力，38+/〃)，

对于函数_)，=丁。>0),yr=3/，则3a2=3(〃>0),

解得。=1,

所以l3=