高考数学二轮复习（全国版理）专项突破 隐圆（阿波罗尼斯圆）问题

培优点8隐圆(阿波罗尼斯圆)问题

隐圆问题近几年在高考题和各地模拟题中都出现过，难度为中高档，在题设中没有明确

给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化、发现圆(或圆的方程)，从而最

终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆问题”.

考点一利用圆的定义、方程确定隐形圆

例1(1)(2022•滁州模拟)已知A,3为圆C：不2+产一2丫-4)，+3=0上的两个动点，P为弦A8

的中点，若NACB=90。，则点P的轨迹方程为()

A.(X-1)2+()，-2)2=；

B.(X-1)2+(3'-2)2=1

C.(X+1)2+G，+2)2=1

D.(x+l)2+(y+2)2=l

答案B

解析圆C即(x—1)2+。-2>=2,半径一也，

因为CA±CB,

所以|4B|=JZ・=2,

又尸是A8的中点，

所以|CP|=：|A4|=1,

所以点P的轨迹方程为(工一1)2+()，-2)2=1.

(2)(2022•茂名模拟)已知向量°,力满足间=1,步|=2,ab=0,若向量c满足一知|=量

则|。|的取值范围是()

答案C

解析同=1,\b\=2,。力=0,

以。为)，轴，b为x轴，建立平面直角坐标系,

设04=。=(0,1),03=力=(2,0),

OC=c=Cxty),

所以a+5-2c=(2—2x,1—2y),

由|。+方一2c|=I,

可得(2-2x)2+(1-2y)2=l,

化简可得。_|)2+()，_§2=甘)2,

圆心，以，•=£为半径的国，原点(0,0)到(1,g的距离为d=

所以点C的轨迹是以

弋i+&=当，

所以|c|+)2的取值范围是[d—r,d+r],

规律方法对于动点的轨迹问题，一是利用曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线等)的定义识别

动点的轨迹，二是利用直接法求出方程，通过方程识别轨迹.

跟踪演练I(2022・平顶山模拟)已知M,N为圆C：f+y2-2x-4y=0上两点，且|用川=4,

点P在直线/：L)，+3=()上，则|南+丽的最小值为()

A.2^2-2B.2^2

C.2g+2D.2限一小

答案A

解析设线段MN的中点为。，

圆C：『+y2-Zt—4)，=0的圆心为C(l,2),半径为小.则圆心C到直线MN的距离为

寸(小尸一(号2=1,所以|CQ|=1,故点£)的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆，设点。的

轨迹为圆力，圆D上的点到直线/的最短距离为/=管声3—1=也一1.所以|前+丽|=|2而

|=2|而122f=26一2.

考点二由圆周角的性质径定隐形圆

例2⑴已知点。(2,r),QQ,-z)(r>0),若圆C：(x+2)2+Cy-3)2=1上存在点M,使得NPMQ

=90°,则实数/的取值范围是()

A.[4,61B.(4,6)

C.(0,41U[6,+8)D.(0,4)U(6,+«：)

答案A

解析由题意知，点尸(2,r),C(2,-r)(r>0),

可得以P。为直径的圆的方程为(X—2)2+)，2=尸，

则圆心G(2,0),半径R=i,

又由圆C：。+2)2+°，-3y=1,

可得圆心。(一2,3),半径『=1,

两圆的圆心距为|CG|=、(2+2)2+(0—3)2=5,

要使得圆C：(X+2)2+G—3y=1上存在点M,使得NPMQ=90。,

仅+45,

即两圆存在公共点，则满足n一«

上+125,

即,解得4W/W6,

U—1W5,

所以实数/的取值范围是[4,6].

(2)(2022・长沙雅礼中学质检)已知直线/：x—y+4=0上动点P,过P点作圆f+9=4的两条

切线，切点分别为C,。，记M是C。的中点，则直线C。过定点，点M的轨迹方

程为.

答案(-1,1)(%+£)2+卜一；>=<

解析如图，连接尸。，CO,DO,

因为尸。_1_。0,PCICO,

所以P,。，。，C在以。。为直径的圆上，

设P(xo,xo+4),

则以8为直径的圆的方程为(L?2+(厂空)=4+(；+4)

化简得—Xov—(Ao+4)y-Fr=0,

与f+y2=4联立，

可得CO所在直线的方程为(xo+4)y=4=xo(x+y)=4(1—y)

1-y=(),\y=1»

e=>

x+y=0[x=­1,

直线CO过定点。(一1,1),又OM_LCZ),

所以OM_LMQ,所以点加在以。。为直径的圆上,

..._4c_5C_4C_£

••Ij'aV/lmax_3,|A^.W|min-3-3-3'

.c4c4acrr

即"=6^'bc=6,•••5=得=京=坐'

•,•离心率e=qI-酚=5号拿

规律方法”阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A(—4,0),8(4,0)3>0)的距离之

比为正数42ND的点的软迹是以联士/，())为圆心，|老d为半径的圆，即为阿波罗尼

斯圆.

跟踪演练3若平面内两定点4,8间的距离为2,动点P满足髭=小,则|例2+|「身2的最

大值为()

A.16+85B.8+46

C.7+4小D.3+小

答案A

解析由题意，设A(—1,0),3(1,0),P(x,y),

.\PA\r-

m因为|PB|-

所以钻第3

V(L1)-+)，-

即。-2)2+)，2=3,

所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心，半径为小的圆，

因为IP4F+IP砰=(1+1)2+)2+(工一1)2+),2=2(/+)2+1),

其中*+炉可看作圆(1-2)2+炉=3上的点(x,历到原点(0,0)的距离的平方,

所以(『+)，)3、=(2+小)2=7+4小，

所以［2(/+丁+l)］max=16+8小，

即照F+|PB|2的最大值为［6+8小.

专题强化练

I.已知圆O：/+丁=1,圆M：(x-q)2+(y-2)2=2.若圆M上存在点尸，过点尸作圆。的

两条切线，切点为A,B,使得用_LP8,则实数"的取值范围为()

A.[0,的B.[一5啦，1]

C.[一也，y[2]D.[-2,2]

答案D

解析由题意可知四边形阴OB为正方形，

|0H=啦,

・••点尸在以。为圆心，以也为半径的圆上，其方程为«+尸=2,

若圆A1上存在这样的点P,则圆M与小+)，2—2有公共点，

则有啦一叱4+6,解得一2W〃W2.

2.已知点A(—5,-5)在动直线〃Li+〃y—3〃=0上的射影为点B,若点C(5,—1),那么

18cl的最大值为()

A.16B.14C.12D.10

答案C

解析由动直线方程化为川*-1)+〃()，-3)=0,可知其恒过定点Q(l,3).

又：点A(—5,—5)在动直线mx-\-ny—m—3n=0上的射影为点B,

・・・//lBQ=90。，则点B的轨迹是以AQ为直径的圆，

・•・圆心为A。的中点M(-2,-1),

圆的半径,•=%4Q|=5.

又|/wq=N(5+2>+(—1+1产=7>r=5,

・••点C(5,—I)在圆M外，

故18cl的最大值为，•十|MC|=7+5=12.

3.(2022・武汉模拟)已知O为坐标原点，点4(cosa,sina),B(cos(a+§,sin(a+§),以OA,

CM为邻边作平行四边形力O/3P,。(一2,0),则NPQO的最大值为()

答案C

解析已知网O：/+)2=1,A,A是厕。上两动点.RZAOB=^,

所以△AOB为等边三角形，

又H8|=|OA|=1,

取AB的中点M,则|OM|=坐，

所以QP|=小，

所以点P的轨迹方程为『+)2=3,

当PQ与/十)2=3相切时，NPQO最大，

此时sinNPQO=号，则NPQO=去

4.已知△AAC是等边三角形，E,尸分别是43和AC的中点，。是3c边上一动点，则

满足沌•标=施•力的点。的个数为()

A.IB.2C.3D.4

答案D

解析以8C的中点O为坐标原点，BC,。4所在直线为x轴、)，轴，建立如图所示的平面直

角坐标系.

设△ABC的边长为4,

则3(—2,0),C(2,0),4(0,2^/5),£(-1,小),F(l,®BE=(lt<3),CF=(-1,®

设P(x,y),则PE=(—1—x,y[3—y),

*=(1一x,小一y),

由港•而=废:•亦得，

(―1—X,小一y>(l-x,\3—y)

=(1,小>(—1,6)，

所以『+。，一小)2=3,

即点P的轨迹是以(0,小)为圆心，木为半径的圆，也就是以AO为直径的圆，易知该圆与

△44C的三边有4个公共点.

5.已知A8为圆。/+f=49的弦，且点M(4,3)为的中点，点C为平面内一动点，若

|4C]2+|8CF=66,则下列结论正确的是()

①点C构成的图象是一条直线；

②点。构成的图象是一个圆：

③OC的最小值为2；

④OC的最小值为3.

A.①③B.①④

C.②③D.②④

答案C

解析•・•点M(4,3)为A4的中点，

；・0M工AB,

lOM］=y/42+32=5,

••・|AM=|8M|=、49-52=2#,

Vh4Q2+|BQ2=66,

・••交+胫2=66,

则（俞+证）2+（而+证）2=66,

即前+2而证+疝72+砺?+2瓯证+证2=66,

・••丽2+2证2=66,

解得|MC|=3,

・••点C构成的图象是以M为圆心，3为半径的圆，故①缙误，②正确；

・・・0C的最小值为|0知|-3=5-3=2,故③正确，④错误.

6.（2022.福州模拟）已知4—3,0）,4（3,0）,动点C满足|CA|=2|C8|,记。的轨迹为，.过A的

直线与〃交于P,。两点，直线BP与〃的另一个交点为M,则下列结论错误的是（）

A.Q,M关于x轴对称

B.△用3的面积的最大值为12

C.当NPMQ=45。时，俨0|=4吸

D.直线4c的斜率的范围为［一小，小1

答案D

解析设。（工，），），由|CA|=2|C用得，

%+3）2+产2«—3）2+）?,

整理得一的方程为（x—5）2+尸=16,其轨迹是以0（5,0）为圆心，半径r=4的圆.

由图可知，由于［48|=6,

所以当。尸垂直于x轴时，△丛8的面积有最大值,

所以（S△附8）max=；HBU=3x6X4=12,

选项B正确；

因为照|=2|PB|,\MA\=2\MB\,

所以iH={S，所以/用

又C的轨迹「关于X轴对称，所以Q,M关于X轴对称，选项A正确:

当NPMQ=45°时，ZPD（2=45°X2=90°,

则△QPQ为等腰直角三角形，|PQ=$r=4•，

选项C正确；

当直线AC与圆。相切时，CQ_LAC,

此时|AQ|=8=2r=2|CQ|,

所以sinZDAC=y,

所以切线人C的倾斜角为30。和150°,

由图可知，直线AC的斜率的取值范围为一笔坐］,选项D错误.

7.已知等边△ABC的边长为2,点尸在线段4c上，若满足启•丽-22+1=0的点P恰有两

个，则实数2的取值范围是.

答案,（

解析如图，以人8的中点O为坐标原点，AB,OC所在直线为x轴、），轴，建立平面直角坐

标系，

则4(1,0),

设尸(x,y).

则萩•丽一22+1=0,

即为(一1-x)(l-x)+r-2A+1=0,

化简得『+)2=2/13>0),

故所有满足或•两一2