高考数学二轮复习（新高考版）球的切接问题

微重点11球的切接问题

空间几何体的外接球、内切球是高中数学的重点、建点，也是高考命题的热点，一般是

通过对几何体的割补或寻找几何体外接球的球心求解外接球问题，利用等体枳法求内切球半

径等，一般出现在压轴小题位置.

考点一空间几何体的外接球

例1⑴（2022•保定模拟）已知三棱锥P-43C,其中以_L平面A4C,N/MC=120。，PA=AB

=AC=2,则该三棱锥外接球的表面积为（）

A.12兀B.16兀C.20兀D.24兀

答案C

解析平面A8C,所以把三棱锥P-A8C补成直三棱柱PB'C-ABC,如图所示,

设E,尸为上、下底面三角形的外心,

则石尸的中点。为直三棱柱P夕C'一人的球心，在△人8c中,

由余弦定理知BC=2小,

BC2s/

・2朋-sinNRAC一亚一4，

2

，胡=2,

VM=2,又。/=/4=1,

设该三棱锥外接球半径为R,

：,R=OA产+-2=*，

工表面积S=4TCR2=20兀

（2）（2022・宝鸡模拟）两个边长为2的正三角形aABC与△A8。，沿公共边AB折叠成60。的二

面角，若点A,B，C,。在同一球。的球面上，则球。的表面积为（）

A.cqB.cq

C.eqD.eq

答案B

解析如图，设△A8C与ZVIB。的中心分别为N,M,连接。M,CN并延长交A8于E,连

接OE,OB,OM,ON.

根据外接球的性质有OM_L平面A8。，ON_L平面A8C,

又二面角。一AB-C的大小为60。，

故/DEC=60。,

又△ABC与△A8。的边长均为2,

故DE=CE=5,

故EM=EN=3ED=*.

易得RtAMEOmRlANEO,

故/MEO=/NEO=30。,

2

找gME-

故0E~cos30°3

又EB=I,

故球O的半径OB=

故球。的表面积为5=4+^}=警.

规律方法求解空间几何体的外接球问题的策略

(1)定球心：球心到接点的比离相等且为半径：

(2)作截面：选准最佳角度作出根面(要使这个横面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及

体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的；

(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.

跟踪演练1(1)已知四面体48CD中，AB=CD=2y[5,AC=BD=y^,AO=BC=何，则

四面体ABCD的外接球的表面积为.

答案45几

解析设四面体A8CD的外接球的半径为R,将四面体A8C。置于长、宽、高分别为a,b,

a2+b2=2(),

c的长方体中，故〈振+。2=29,

672+C2=41,

」后+庐+。2遮

HXA22，

故四面体ABC。的外接球的表面积为4兀R?=45兀

⑵（2022・临川模拟）已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为边长是4的正方形，侧面PABL

底面48CQ,且△附8为等边三角形，则该四棱锥尸一4BC。的外接球的表面积为（）

A.eqB.eq

C.64兀D.167r

答案A

解析如图所示，在四棱傕P-ABCO中，取侧面和底面正方形/IBC。的外接圆的圆

心分别为。1,。2,分别过。1,。2作两个平面的垂线交于点。，

则由外接球的性质知，点。即为该球的球心，

取线段48的中点区连接。上，ChE,O2D,OD,

则四边形O1EO2O为矩形，

在等边△附3中，可得。£=2小，

则。七=¥，即。。2=¥，

在正方形A8CD中，因为AB=4,

可得。2。=2蛆，

在RtAoan中，可得OD2=00I+。2。\

即Fooa+ChD2+,

所以四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为

11271

S=4KR2=

考点二空间几何体的内切球

例2（1）（2022•酒泉模拟）在三棱锥A-BCD中，A3_L平面4CQ,BCLCD,且A3=CO=4,

BC=3,则该三棱锥内切球的体积为（）

A.eqB.eqC.eqD.eq

答案A

解析由A8_L平面8C。，CQU平面8CQ,得4B_LCD

又/心CD,且A8,BCU平面ABC,ABCBC=B,

所以CO_L平面ABC,

又4CU平面ABC,

所以CQJ_AC

由AB=CO=4,BC=3,

得AC=BQ=5,

所以三棱锥A-BCD的表面积

5=2x1x3X4+2XyX4X5=32,

三棱锥A-BCD的体积V=1x^X3X4X4=8.

设三棱锥内切球球心为。，半径为「，

由V=Vo-AHC~^~Vo-AHD~^~K)-AC/)+Vo-BCD=^Sr,

得「=于3V=》3所以该三棱锥内切球的体积

44X

V限=1兀/3=3-25

7c16

(2)(2022・湖北多校联考)已知在△ABC中，A8=4,BC=3,AC=5,以AC为轴旋转一周得到

一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为()

A.cqB.cq

C.eqD.eq

答案B

解析旋转体的轴截面如图所示，其中。为内切球的球心，

A

E

O

B

过0作A8,8C的垂线，垂足分别为E,F,则。七=0尸为内切球的半径）,

r5

故A0=sinZBAC=3rt

CO=sin】BCA=3

故5=AO+OC=/+w，

解得一竿，故该旋转体的内切球的表面积为47rx（早）2=等.

规律方法空间几何题的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，

作出截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径.

跟踪演练2（1）在封闭的直三棱柱48C—Ai8G内有一个体积为V的球，若A8_LBC,A8=

6,8c=8,AAi=6,则丫的最大值是（）

A.16nB.eq

C.36兀D.eq

答案B

解析由题意，因为人8J_8C,"=6,BC=8,

所以AC=10,

可得Ai/WC的内切圆的半径为r=xi_Q_i-in=2»

O।or1U

又由A4=6,故在直三棱柱48C—A由Ci的内部的球半径最大为R=2,所以此时V的最大

值为'z=37C^3=3X7t'23=^^-

（2）（2022・西安模拟）六氟化硫，化学式为SF6,在常温常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃

的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氨化硫的分子结构为正八

面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示.若此正八面体的棱长为2,

则它的内切球的表面积为（）

A.cqB.cq

C.eqD.eq

答案C

解析设正八面体内切球半径为凡给正八面体标出字母如图所示，连接AC,8。交于点O,

连接EO,

E

因为E4=EC,ED=EB,

所以EO_LAC,EOLBD,

又AC和B。交于点O,

所以EO_L平面4BCO,所以O为正八面体的中心，所以。到八个面的距离相等，且距离即

为内切球半径，设内切球与平面E8C切于点”，所以OH_L平面EBC,

所以。〃即为正八面体内切球半径，

所以R=OH,因为正八面体的棱长为2,

所以EB=EC=BC=2,OB=OC=®

EO=\lEB2-OB2=A/2,

所以S^EBC=y[^»S^OBC=''»

因为VE-OBC=Vo-EBC=g义S八OBC义EO

=|X5AEBCXOH,

所以OH=*,即/?=孝，

所以正八面体内切球的表卤积为4研2=专

专题强化练

1.（2022.九江模拟）如图，在边长为2的正方形A4C。中，E,产分别为线段相，灰?的中点，

连接DE,DF,EF,将△AOE,ACDF,△BE尸分别沿。E,DF,石尸折起，使A,B,C三

点重合，得到三棱锥。一。£凡则该三棱锥外接球的表面积为（）

A.37rB.cqn

C.67rD.24冗

答案C

解析在正方形ABC。中，AD±AE,CD±CF,BE±BF,折起后OO,OE,。/两两垂直，

故该三棱锥外接球即以O"OE,。尸为棱的长方体外接球.

因为。。=2,OE=\,OF=1,

所以2爪=、。4+。炉+。产=#,所以R=坐,

所以该三棱锥外接球的表面积为4山?2=6兀

2.（2022.佛山模拟）如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面和圆

锥的顶点均在体积为36兀的球面上，若圆柱的高为2,则圆锥的侧面积为（）

A.2\[6n

C.16兀D.eq

答案B

解析依题意，做球的轴截图如图所示,

4

其中,。是球心，£■是圆锭的顶点,石C是圆锥的母线，由题意可知女乃=36兀,

解得H=3,由于圆柱的高为2,

则8=1,OE=3—1=2,

DC=A/32-12=2^.

母线氏=山2+8=2小,

故圆锥的侧面积为S=nDCEC

=式义2市又2事=4加工

3.（2022・济宁模拟）若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球

的表面积的比值为（）

A.2：1B.3：2

C.7：3D.7：4

答案C

解析如图，设。，Q分别为正六棱柱的底面中心，「为内切球半径，R为外接球半径,

。为。|。2的中点，。为/必的中点,

设正六棱柱的底面边长为2,若正六棱柱有内切球，则OOI=OIO=小，即「=小，

042=。0彳+0|42=7,即R=市，

则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为4兀代：4兀产=代：产=7：3.

4.（2022・芜湖模拟）半正多面体亦称阿基米德多面体，是口边数不全相同的正多边形为面的多

面体.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可藏去八

个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，其中八人面为正三角形，六个面为正方形，

它们的边长都相等，称这样的半正多面体为二十四等边体.现有一个体积为修的二十四等边

体，其外接球体积为L，则日等于（）

A.cqB.cq

C.eqD.eq

答案C

解析设该半正多面体是由棱长为2的正方体沿正方体各棱的中点截去8个三棱锥所得，即

为二十四等边体，如图所示，

其体积Vi=2X2X2-8x{x|x1XIX1=?

由二十四等边体的对称性可知，

其外接球的球心即为正方体的中心。，半径为中心到一个顶点的距离，设外接球半径为七

则R=ylOA2-i-AB2=/+1=啦,

故匕=争＜（也）3=为料，

从而%乎.

5.（多选）（2022・怀化模拟）已知A,B,。三点均在球。的表面上，AB=BC=CA=2,且球心

O到平面ABC的距离等于球半径的1则下列结论正确的是（）

3

A.球。的半径战

B.球。的表面积为6几

C.球。的内接正方体的棱长为加

D.球。的外切正方体的棱长为加

答案BD

解析设球。的半径为八△A8C的外接圆圆心为O',半径为R,则/?=¥，

114

因为球心O到平面ABC的距离等于球O半径的;，所以户一藉2=*

3

-

2所以A不正确;

3

所以球。的表面积5=4兀户=4兀乂；=6兀，选项B正确;

设球。的内接正方体的棱长为。，则。满足/。=2广，显然选项C不正确;

设球。的外切正方体的棱长为6则满足力=2-，显然选项D正确.

6.（多选）（2022・武汉质检）已知球。是三棱锥P-A8C的外接球，PA=AB=PB=AC=2,CP

=2P，点D是PB的中点,且。。=巾，则下列说法正确的是（）

A.三棱锥P—A3C最长的棱的棱长为2吸

B.ACJ"平面布3

C.球心O到底面%8的范离为小

D.球。的表面积为孥

答案ABD

解析如图，因为%=AC=2,CP=2也

所以PA2AC2=CP1,

得CALPA,

由。是PB的中点，

得AQ_LP&

AD=A/22-12=<3,

又CD=币,

所以4c2+4》=。〃，得ACJ_4。,

又以nAD=A,PA,AQU平面出8,

所以4cL平面办从故B正确；

由A8=八夕，得C8=CP=2•，

故三棱锥P-ABC最长的棱的棱长为2®

故A正确；

取等边三角形RW的中心G,连接OG,OA,

则OG=%C=1,

即球心。到底面附8的距离为1,故C错误；

底面△以8外接圆的半径r=¥，

外接球的半径R=q的+i需2=q|=唔

所以球0的表面积为5=4兀义（当^2=当4

故D正确.

7.（2022•漳州模拟）某中学开展劳动学习，学习加工制作包装盒.现将一张足够用的正方形硬

纸片加工制作成轴截面的顶角为60。，高为6的圆锥形包装盒，若在该包装盒中放入一个球

形冰淇淋（内切），则该球形冰淇淋的表面积为.

答案16n

解析如图，由题意知，

/5AC-60。，AOi-6,

故在RtZkAOC中,

AC=4小，0C=2小，

设内切球球心为。，半径为R,

则OD=OO\=R,

在RtAADO中，/。4。=