高考数学一轮复习题型突破：函数的单调性与最值（解析版）

专题3.2函数的单调性与最值

三I题型目录

题型一判断函数单调性

题型二求函数的单调区间

题型三函数的最值问题

题型四怛成立问题与存在性问题

题型五利用函数的单调性求参数的取值范围

题型六利用单调性解不等式

才典例集练

题型一判断函数单调性

例1.（2022秋・云南红河•高一校考阶段练习）函数=的单调递增区间为（）

1、「「

A.[0,1]B.C.+8D.0,—

【答案】D

【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性的判断法则：“同增异减”即可求

解.

【详解】令/二不一丁2。.解得/（X）=G7的定义域为［05

•・・/=-2+%在。,；上递增，在lj上递减，函数）,=〃在［0,转）上为增函数

・•・函数/（工）=4^7的单调增区间为o.；

故选：D

例2.（2023•浙江•高二专题练习）下列函数在区间（0,2）上单调递增的是（）

A.>'=（.r-2）2B.y=—­—

x-2

C.y=sin（x-2）D.y=cos（x-2）

【答案】D

【分析】对于BCD,根据各个选项观察均是向右平移两个单位长度的形式，根据原函

数的单调区间可以判断平移后的单调区间，进而判断（0,2）上的单调性得到结论，而根据二

次函数的单调性可判断A的正误.

【详解】对于A选项：），=。-2尸开口向上，对称轴x=2,所以在（-8,2）上单调递减，故不

符合题意.

对于B选项：y=一二是向右平移了两个单位长度，所以在在（-8,2）上单调递减，故

x-2x

不符合题意.

对于C选项：产sin（k2）是y=sinx向右平移了两个单位长度，

所以），-sin（x—2）在苣+2,-畀2）上单调递减，在（_52,畀2）上单调递增，

因为0<->2<2,所以不符合题意.

对于D选项：），=cos（x-2）是y=cosx向右平移了两个单位长度，

所以丁=8$（工-2）在（-兀-2,2）上单调递增，则在（0,2）上单调递增，符合题意.

故选D.

举一反三

练习1.（2（）23春・福建福州•高三校考期中）（多选）函数/（x）是定义在［-2,2］上的偶函数,

/（"在［-2,0］上的图象如图所示，则函数的增区间是（）

12x

A.［-2,2］B.［-2,-1］C.［OJ］D.［1,2］

【答案】BC

【分析】根据函数图象，结合函数的奇偶性得到/（“）的单调增区间即可.

【详解】由图象，可知在卜2,-1］上单调递增，在［-1,0］上单调递减.

因为函数/（力是定义在［-2,2］上的偶函数，

所以函数/*）的图象关于V轴对称，

所以/%）在［。/上单调递增，在［1，2］上单调递减，

所以函数/（力的增区间是卜2,-1］和［0,1］.

故选：BC.

练习2.（2022•而三单元测试）（多选）下列函数中，在1-8,0）上为增函数的是（）

A.y=|x|+lB.y=—C.y=—r-D.y=x+£

Xxx

【答案】CD

【分析】在A中，＞'=-A+l,即可得到单调性；在B中，y=-l,即可得到单调性；在C

中，y=x,即可得到单调性；在D中，y=x-\,即可得到单调性.

【详解】在A中，当x＜0时，y=W+l=r+l在（-8,0）上为减函数；

在B中，当xvO时，尸凶=-1在（-8,0）上既不是增星数，也不是减函数；

X

X2

在c中，当％＜（）时，丁=一闪=不在（YO,。）上是增函数；

在D中，当XV。时，尸X+17T在S,o）上是增函数.

故选：CD

练习3.（2023・四川•高三统考对口高考）在定义域内单调递减的函数是（）

A.y=2"'B.y=InvC.y=sin2xD.y=x3

【答案】A

［分析］根据基本初等函数的单调性判断即可.

【详解】函数），=2r在定义域R上单调递减，故A符合：

函数），=hu•在定义域（0,+力）上单调增，故B不符合；

函数），=sin2.r在定义域R上不是单调函数，故C不符合；

函数），=•?在定义域R上卑调递增，故D不符合.

故选：A.

练习4.（2020秋•福建泉州•高一晋江市第一中学校考阶段练习）下列四个函数中，在区间

（0,+。）上为增函数的是（）

A.f（x）=3-xB./（x）=（x-l）2

C./（x）=-D.f（x）=x2+2x

【答案】D

【分析】根据一次函数、二次函数、反比练习函数的性质判断每个选项的函数在（0,+8）上

的单调性，即可得答案.

【详解】对A,一次函数/（x）=3-x在（0,2）上为减函数，A错误；

对B,二次函数"x）=（x-l）2在（0,1）上为减函数，

在（1,长。）上为增函数，B错误；

对C,反比练习函数=■在（0,+8）上为减函数，C错误；

对D,二次函数/(x)=f+2x在(0,+e)上为增函数，D正确.

故选：D.

练习5.(2022秋・浙江温州.高三校考期中)函数〃x)=x-3|单调减区间是

【答案】(/3]

【分析】画出函数〃x)=|x-3|的图像，从图像上即可得结论.

【详解】由〃“卜卜一斗二仁[;]%,

如图所示：

由图可知函数/(x)=|x-3|单调减区间是：(-00,3],

故答案为：(e,3].

题型二求函数的单调区间

例3.已知函数/(x)=M*2)

⑴作出函数外力的图象；

⑵写出函数””的单调区间；

(3)当时,求〃”的值域.

【答案】(1)见解析

(2)单调增区间为(-00,0),[1,+00),单调减区间为[0,1)

⑶[-叫

【分析】(1)根据二次函数的图象作图即可；

(2)根据函数图象写出单调区间即可；

(3)根据函数在上的单调性，即可得出答案.

【详解】⑴解：/3=|玳1-2)=-22：""°八，

—X+2占x<0

作出函数图象，如图所示:

（2）解；由图可得；函数的单调增区间为（-oo,0）,[1,小），

单调减区间为[0,1）;

（3）解：因为函数在上递减,

所以/⑴2=/⑼=0J（4n="1）=T，

所以/（力的值域为[TO].

例4.（2023•高一课时练习）函数y=|2x+l|的单调减区间是.

【答案】（一双一三

-2x-\,x<—

【分析】根据条件将函数化为y=然后根据一次函数的单调性即可求解.

23+11T>—

2

【详解】因为函数y=|2x+l|可化为y=<

当xw-g时，函数单调递减；

当时，函数y=2x+i单调递增，

所以函数V=|2x+l|的单调递减区间为（F,—；],

故答案为：（-00,-1].

举一反三

练习6.（2022秋・广西桂林•高三校考期中）函数,，=|2工-1|的单调增区间是.

【答案】

乙/

【分析】由函数解析式作出图像，结合图像判断单调区间.

【详解】函数y=|2x-l|的图像如下:

故答案为：/+8）.

练习7.（2022秋•江苏常州•高三校联考阶段练习）函数/G）=k-2|（x+l）的单调增区间是

【答案】卜8t和［2,帝）

【分析】先分类讨论，去掉绝对值符号，然后利用二次函数的开口方向和对称轴判断单调递

增区间即可.

【详解】当xN2时，/（X）=（X-2）（X+1）=X2-X-2,此时/（x）开II向上，对称轴为x=g,

因为x22,所以在［2,田］上单调递增；当x<2时，/（幻=（2-力*+1）=-x2+x+2,此时

/（外开口向下，对称轴为x=g,因为x<2,所以在（一,；单调递增：

（1_

故答案为：飞和［2,也）

练习8.（2023秋•上海浦东新•高三校考期末）函数y=x+L（x>0）的增区间为.

X

【答案】1,+8）

【分析】利用定义法进行判断即可得解.

【详解】任取立>“心。，

A!

y,-yt=占+—--=（%,-内）+-——^-=（x,-x,）（i----）,

x2X］%占x}x2

因为毛>X|>0,x2-Xj>0,

此时为一,>°，%>为，y=x+'（x>。）为增函数,

X

所以函数.y=x+』（x>0）的增区间为［1,+co）.

X

故答案为：［1,+00）

练习9.（2023秋・吉林・高一吉林省实验校考期末）函数），=1%。$（-/+4.，的单调递增区间

是（）

A.［2,4）B.［2,-H»）

C.（0,2］D.（HO,2］

【答案】A

【分析】讨论二次函数和复合函数的单调性即可.

【详解】令一f+4x>0解得0<x<4,

即函数y=logos（r2+4x）的定义域为（0,4）,

因为二次函数+4人在（0,2）单调递增，［2,4）单调递减，

所以）'=1%.5（一丁十公）在（0,2）单调递减，［2,4）单调递增，

故选:A.

练习10.（2022・全国•高三专题练习）函数），=下』=^的单调递增区间是______.

yjx'+4x-5

【答案】（f-5）

【分析】先求出函数的定义域，在定义域内，根据二次函数、寡函数及复合函数的单调性即

可求出该函数的增区间.

【详解】由/+4］一5>0得工〈一5或x>l,

・•・函数了=不士二的定义域为（一8,-5）。（1,+8）.

・・•函数y=/+4x-5在（f,-5）上单调递减，在（1,+<句上单调递增，

又•・•函数），=?在其定义域（0,+8）上单调递减，

/.函数v=在（fo.-5）上单调递增，在（l.+oc）上单调递减.

\Jx~+4x-5

故答案为：（7>,-5）.

题型三函数的最值问题

例5.（2023・高三课时练习）已知函数/（%）=2k-2|+ox（xwR）有最小值,则实数〃的取值

范围是.

【答案】[—2,2]

【分析】化简函数，去绝对值后，根据函数有最小值得出函数的变化趋势，即可求出实数〃

的取值范围.

【详解】解：由题意,

S/(x)=2|x-2|+ar(x€R)中，

(a+2)x-4,x>2

小)=，

(a—2)x+4,x<2

•・•函数有最小值,

・••函数应在(70,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增或常函数,

a+2>0

解得：-2<a<2,

«-2<0

••・〃工)有最小值时，实数〃的取值范围是[-2,2].

故答案为：[-2,2].

例6.(2023春・重庆渝中•高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)函数-='£+4的最大值为

.?+5

2

【答案】：/0.4

&+4_1

【分析】依题意可得，=不了二岸*+一T-,根据对勾函数的性质求出

y/x-+4

4r的取值范围，即可得解.

+4

y/x2+4_\Jx2+4_1

【详解】因为户尸77\川广不丁;一r

7E

令,=&+4，则d2,

令g(x)=x+,，xc[2,十。)，因为困数g(x)=x+，在[2,田)上单调递增，所以

-XX

g(%)e

_____]「5\_______]

即即+而唱'叼,则彳不工

\Jx2+4

即函数y=铝的最大值为£当且仅当时取等号.

9

故答案为：j

举一反三

练习11.（2023.全国.高三专题练习）函数尸/一叔+3在区间［-1,间上有最小值-1,则实

数〃?的取值范围是_____.

【答案】［2,48）

【分析】配方后得到X=2时，），=f-41+3取至IJ最小值从而〃亚2.

【详解】y=x2-4x+3=（x-2）2-\,要想取到最小值-1,则2«-1,间，

所以〃此2.

故答案为：［2,”）.

练习12.（2022春・浙江嘉兴•高二校考期中）函数），=-/-4工+〃-3的最大值为负值，则a

的取值范围为（）

A.-1<«<0B.a<-\C.av-l或一1<avOD.a>4

【答案】B

【分析】根据二次函数的性质即得.

【详解】・・・y=-f-44+。一3的二次项系数为一1<0,

，函数图象开口向下，

函数,V=-x2-4x+a-3的最大值为负值，

AA=16+4（a-3）<0,

/•4V—1.

故选：B.

练习13.（2022秋•高一课时练习）（多选）已知函数的定义域为A,若对任意XEA,

存在正数M，使得|/（x）上例成立，则称函数/（"是定义在A上的“有界函数”.则下列函数

是“有界函数''的是（）

O1____

A./（A-）=y—vB./（x）=V4-x2

C-D./（加x+E

【答案】BC

【分析】根据题意计算每个函数的值域，再分析是否有界即可.

【详解】对于A,/（A）=—="^4~^+7=-1+—,由于丁L/0,所以/（同,一1,

,4-x4-x4T4-x

所以|/(力|«0，+8)，故不存在正数M，使得|/")归加成立.

对于B,令〃=4一/，贝/(〃)=«,当x=0时，”取得最大值4,所以〃40,4],

所以〃耳W0,2],故存在正数2,使得|/(力归2成立.

对于C,令〃=2f-41+3=2(工一炉+1,则/(〃)=，，易得心1,所以0</(.r)K：=5,

UP/(x)e(O,5],故存在正数5,使得|/(同归5成立.

对于D,令/=J4-x,则，之0，X=4一产，则/(/)=一/+/+4=—卜一，+—(r>0).易得

\2)4

/(x)<y,所以|/(x)同(),田)，故不存在正数M,使得|/(力归M成立.

故选：BC

练习14.(2022春•重庆沙坪坝•高二重庆八中校考期末)i殳函数的最大直为

M,最小值为机，则知+〃?=()

A.0B.1C.2D.4

【答案】C

【分析】根据基本不等式，结合分离常数法，可得答案.

【详解】由函数/(%)=•一:4%+4=1一显然/(0)=1,当xwO,人力"一彳，

'x

4

440<----<1

当4>()时，x+->4,当且仅当％=-，即"=2时，等号成立，则,4一，故

XXK+-

X

l>./(x)>/(2)=0；

4

44Q>>-1

当x<0时，x+4,当且仅当x=2,即K=—2时，等号成立，则J一故

XXX+-

X

l</(x)</(-2)=2；

综上可得，M=2»，〃=0,则M十〃1=2.

故选：C.

练习15.(2022秋・青海•高三青海师大附中校考阶段练E)若在上的最

xLJ/

大值为号，则实数，〃的最大值为.

【答案】3

1/［、1I

【分析】解方程/")=<可得出/-=/(3)=不，分鼻<〃叱1、/〃>1两种情况讨论，

结合=与可求得实数机的取值范围，即可得解・

【详解】由/(x)=x+L=与可得3/一1(氏+3=0,解得x=;或x=3,

由对勾函数的单调性可知，函数y=x+，在(0,1)上单调递减，在(1,+co)上单调递增，

X

Ir।A(\\in

当(vmWl时，函数/")在于〃"上单调递减，此时〃力K2=/-=7；

当初>1时，函数/(X)在1，1上单调递减，在(1,帆)上单调递增，

由题意可得/(〃。工/(3)=当，此时，l<m<3.

综上，1</n<3,因此，实数/〃的最大值为3.

故答案为：3.

题型四恒成立问题与存在性问题

例7.(2023春・湖南•高三桃江县第一中学校联考期中)已知函数〃”=，-X2-2X+3/,若

Vxe(O,I),/(x)>0恒成立，则实数■的取值范围是.

【答案】今+8)

【分析】由Vx«0,l),/(x)>0,分离参数可得三，再由函数单调性可求/的取值

+3

范围.

【详解】f(x)=tx2-2x+3t,Vxe(0,l),/(x)>0=>r>,

XI.5

2x2

'>77^=’>77y,

X

*.*x4—在(04)上递减，xH—e(4,+8),

XX

:、tN-.

2

故答案为：/+8)

例8.(2023秋•上海徐汇・高三上海市西南位育中学校考期末)已知函数

/(x)=lg(/+l),ga)=(；j-〃7,若对于任意x©o,3],存在马41,2],使得/&)”&),

则实数〃，的取值范围为()

(I](11「1)

A.B.-oo,--C.-,+«>D.

I2」14」L2)*8

【答案】A

【分析】根据对数函数、指数函数的性质求出/（力、g（x）的值域，依题意可得

〃斗）2点（七）2,即可得到不等式，解得即可.

【详解】解：因为X目0目，所以d+ie[l』o],所以lg（/+l）e[0/，即〃x）e[0,l],

/1、、"11II

由xc[l,2],则-一机€一一〃「-/〃，即g（x）e,

|_42JL-

因为对于任意外4。,3],存在赴41,2],使得/（xjwg（xj,

所以〃F）gMg（~）a,则:一心1，解得小《一；,即，〃{e-g

故选：A

举一反三

练习16.（2021秋・天津宁河•高三天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）虫wR,使得

不等式2/-x+1<m成立，则”的范围是_____.

【答案】1,+8）

【分析】击eR,使得不等式2f—x+l〈〃?omN（2/-x+1）.,其中xeR,即可得

\/min

答案.

【详解】土€1<,使得不等式2/-4+1工〃?=〃？之（2/7+1）.,其中xeR.

又2/-工+1=2（工一2]当且仅当工=，时取等号，即〃亚:.

14）8848

-7、

故答案为：[，+8.

.X

A

练习17.（2022秋.辽宁.高三辽阳市第一高级中学校联考期末）已知函数/"）=3+—，

X

g（x）=2、+。，若右w,叫w[2,3],使得/㈤%（占），则实数。的取值范围是（）

A./+8）B.5T

C.[-3,-H»)D.[1,4<O)

【答案】C

【分析】根据题意得到/3mhiWg(x)a,根据函数单调性得到〃力“=5,g(力皿=8・4,

得到不等式，求出实数a的取值范围是[-3,+8).

【详解】若肛叫«2,3],使得㈤，

故只需几山小葭矶2

其中/(x)=x+3在上单调递减，故+

g(x)=2"+a在x«2,3]上单调递增，故g(x)a=g(3)=8+a,

所以5K8+a,解得：a>-3,

实数。的取值范围是卜3,y).

故选：C

练习18.(2022秋.山西朔州.高二校考期末)已知/(x)=ln(/+l),且&卜出;“，若

%e[0,3],切叩,2],使得则实数加的取值范围是()

A.二，+8B.-«>,-

L4)I4」

C.“8)D.卜°°，彳

【答案】A

【分析】由题意可知/(可画之8(司.，根据函数的单调性求得这两个函数的最小值，列出

不等式可解得答案.

【详解】由题意依£@3],刊41,2],使得〃内)海伍)，则需满足/⑴由冷⑺曲,

“X)=In(V+1)在[0,3]上单调递增，故/(x)niin=/(0)=0,

/I、'1

g(x)=-一机在口，2]上单调递减，故g(x"n=以2)=丁利，

、2,

■।、

故一,BPm€—,+oo,

44[4J

故选：A

练习19.(2023春・江西•高三校联考阶段练习)若关于工的不等式1。8“(3忖+8性2在区上恒

成立，则实数。的取值范围是()

A.（0,l）U（l，2]B.（1,3]C.（0,l）U（l,3]D.（1,4]

【答案】B

【分析】先由对数函数定义得到。>0且再分与0“<1两种情况，结合函数单调

性求出最值，得到实数〃的取值范围.

【详解】由对数函数的定义可知，。〉0且"1,

当时，y=log.X单调递增，1呜例+8注2=1砥〃2,故3M+82/

因为3凶之1，则3凶+829,

所以解得一3KaW3,

徊一3«。<3｝与｛水01｝求交集，得到｛a|lvaW3｝,

W2

当Ovavl时,广晦工单调递减，log（J（3+8）>2=log^,故3M+8«/,

由于当凶一”时，3忖+8->+oo，故此时无解，

综上：实数。的取值范围是（L3].

故选：B

练习20.（2023秋•云南西双版纳•高三统考期末）已知f+（2-c”）x+4-2n>0,X、jVxw[2,*c）

恒成立，则实数。的取值范围.

【答案】（3,3）

【分析】分析可得原题意等价于/+:>。+2,对V/w[4,T8）恒成立，根据恒成立问题结合

函数单调性分析求解.

【详解】若丁+（2-4卜+4-24>0,则f+2x+4>a（/+2）,

令f=x+2e[4,*o）,则工=[-2,

,4

可得（-2）~+2（"2）+4>”,整理得，+7>a+2,

故原题意等价于/+；>。+2,对四«4,田）恒成立，

•・・g（/）=r+3在[4,内）上单调递增，则g（/）Ng（4）=5,

：.5>a+2,解得a<3,

即实数。的取值范围（TO,3）.

故答案为：（f，3）.

【点睛】结论点睛：

对WxwM,f（x）>at等价于[/（力].2。；

对X/XGM,f(x)<af等价于[/(x)[a

题型五利用函数的单调性求参数的取值范围

例9.(2023秋・四川达州•高三校考阶段练习)若函数/(尤)=2/+g_1在区间(_l,y)上是

增函数，则实数”的取值范围是

【答案】［4,«o)

【分析】利用二次函数〃x)=2/+w-1的单调性列出关于实数机的不等式，解之即可求得

实数机的取值范围.

【详解】二次函数/。)=2/+g-1的图像开口向上，单调增区间为《收)，

又函数/(x)=2F+/心-1在区间(-1,*o)上是增函数，

则-;V-1,解之得〃后4,则实数用的取值范围是［4,+00)

故答案为：［4,内)

例10.(2023春•云南玉溪•高三云南省玉溪第一中学校考阶段练习)已知/("=9+%”的，

其中a,b为实数.

⑴若不等式/(x)<0的解集是［-2,6］,求小的值；

⑵若函数)，=/舁在区间(-哂1］上单调递减，求实数占的取值范围.

【答案】(l)a〃=—8

⑵(f-1］

【分析】(I)利用韦达定理求出。、〃可得答案；

(2)令g(.r)=2'-竽+2。，可知g(x)在(—1］上为减.函数，法一：利用单调性定义可得

4b

b<-2^~2,再由X、占的范围可得答案；法二：(复合函数观点)g(x}=T--+2a,令

—4Z?—4b

u-2\x<\,y=u+—+2a,分〃之0、〃v0讨论y=“十一十2a的单调性可得答案.

uu

【详解】(1)因为不等式/")<0的解集是卜2,6］,所以关于x的方程父+2办-48=0的两

根分别为一2、6,所以二I：,解得。=—2,〃=3,因此/=(—2)3=—8；

-2x6=-4b''

(2)因为八=2；竺+2a，令式“=2-二+2〃，其中xKl,

2X2X2X2

由题意可知，函数g(x)在(-ad］上为减函数,

法•（定义法）任取M，4£（ro,l］,且则0<2*<2电42，且Z+W<2,

所以g（xj_g（.t2）=（2"一票+2）（2”-拚2a）=（2"—2。）+传—同

=（2"-2"）（2尸+甸〉0,所以2rg+4/"0,可得匕<-2—,

2M+M

而e（O,l）,则-2fTO）,.—T.

因此，当函数），=#）在区间（YO』］单调递减，人的取值范围是（-8,一小

4〃/、-4b

法二（复合函数观点）fi（x）=2x-—+2a,令〃=2，,x«l,g（x）=y=v+---+2a,

因为xKl,所以0<〃42,且〃=2、在（—」］单调递增，

因为g3=2-¥+2〃在（5］单调递减，所以尸〃+必+2〃在（0,2］单调递减.

①若〃之0,则丁=〃+*―4b+2。为增函数，不符合题意；

u

②若〃<0,则尸〃+^+2a在（O,QT|单调递减，在［Q,+8）单调递增，

所以（0,2仁（O,QT］,所以2«E，解得泰-1,

综上所述，函数函数），=：^号在区间（-0,1］单调递减，〃的取值范围是

举一反三

练习21.（2023秋・广东广州•高三统考期末）函数/（力=4丁一区一8在［5,20］上不单调，则

实数k的取值范围为.

【答案】（40,160）

【分析】根据函数/（司=4/_依_8在［5,20］上不单调，可得函数/（.'•）的对称轴x属于

O

区间（5,20）,从而解出〃的取值范围即可.

【详解】解：根据题意，二次函数f（x）=4f-"一8的对称轴为x=J,

O

•••函数/（力=41-"-8在［5,20］上不单调，

/.5<|<20,即40<k<160,则实数上的取值范围为（40,160）.

O

故答案为：（40,160）.

3

练习22.（2022秋•四川宜宾.高三统考阶段练习）函数f（x）=x+,在（0"）上为减函数，贝打

的取值范围是（）

A.（0,x/3）B.（0,G]C.（屈+@D.[6,+8）

【答案】B

【分析】由对勾函数的性质，得函数的单调减区间，得，的取值范围.

【详解】/（X）=X+1在卜8,一@和（。,十8）上单调递增，在（一万。）和仅,G）上单调递减,

所以阿0,旬.

故选：B.

练习23.（2019秋•云南楚雄.高三统考期末）若函数/但=3/-（金7-2）工+1在[-1,”）上单

调递增，则。的最大值为.

【答案】、

【分析】首先函数的对称地，依题意可得"匚K-1，即可求出参数的取值范围，即可得解.

【详解】解：函数〃x）=3f_（6a-2卜+1的对称轴为产色二,开口向上，

又函数/（⑼在上单调递增，所以注匚4-1,解得心-上

63

2

所以〃的最大值为

9

故答案为：

练习24.（2023・全国•高三专题练习）已知〃2工）=卜-4,若函数“力在区间（F2]上为

减函数，则”的取值范围是（）

A.a>\B.<?>I

C.a>2D.a>2

【答案】A

【分析】先求出函数解析式，再求出函数的单调减区间，然后结合已知条件可求出〃的取值

范围.

【详解】令，=2.“则。，

XG

——a,x>2a

所以/（.1）=怖一。=」，

a--,x<2a

2

所以/（X）在（3,20上递减，

因为函数/（A-）在区间（F,2］上为减函数，

所以2a22,得。21,

故选：A

练习25.（2023・全国•高三专题练习）使得“函数/"）=3八而在区间（2,3）上单调递减”成立

的一个充分不必要条件可以是（）

4

A.t>2B.r<2C.r>3D.-<t<3

3

【答案】C

【分析】求出使得函数疝在区间（2,3）上单调递减时，的范围，结合充分性、必要

性的定义即可得出答案.

【详解】由函数〃耳=3、〜在区间（2,3）上单调递减，

得），=/3出在区间（2,3）上单调递减，

所以=23,解得d2.

2

结合A,B,C,。四个选项，知使得“函数/（.丫）=3,-3"在区间（2,3）上单调递减”成立的一个

充分不必要条件可以是年3.

故选：C.

题型六利用单调性解不等式

例11.（2023・河南•校联考三模）已知函数/（x）=x$+x.若/（2X-1）+/（2T）>0.则x的取

值范围是__________.

【答案】（-I,”）

【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量

的不等式，解得即可.

55

【详解】因为函数定义域为R,/（-x）=（-x）+（-x）=-x-x=-/（x）,

/'（x）=5f+121,

所以/（X）是奇函数且在R上单调递增，

由/（2X-1）+/（2-力>0,可得/（2X-1）>一/（2—x）=/（x-2）,则2工一1>工一2,解得工>一1,

即x的取值范围是（T,”）.

故答案为：（-1，+8）.

例12.(2022.重庆沙坪坝.重庆八中校考模拟预测)已知函数〃力=*-3)3+21-6,且

/(加一9+/(6-1)>0(4beR),则()

A.s\na>sinbB.e">e'C.—>-D.a2022>/?2022

ab

【答案】B

【分析】根据/(%)的单调性和对称性求解.

【详解】f(x)=3(x-3y+2>(V..r(x)是增函数，又

/(3-X)=(3-X-3)5+2(3-X-3)=-X'-2A-,

/(3+x)=(3+x-3)，+2(3+x—3)=V+2x,「./(3+x)=—/(3—x),

即(3,0)是/("的中心对称点，・••/(6—3=/(3+(3—/)))=—43—(3-〃))=—/(〃)，

条件/(2。一3+/(6—3=/(加一与一/3)>0,^f(2a-b)>f(b),2a-b>b,a>b,并

且，a,beR；

对于A,若a=b+2兀，则sina=sin方,错误；

对于B,因为函数产=是增函数，.•.e">e',正确；

对于C,若〃=—2,则,错误；

ab

对于D,若。="=