高考数学二轮复习专项突破（全国版理）三角恒等变换与解三角形

第2讲三角恒等变换与解三角形

［考情分析］1.三角恒等变换主要考查化简、求值，解三角形主要考查求边长、角度、面积等,

三角恒等变换作为工具，将三角函数与三角形相结合考查求解最值、范围问题2三角恒等变

换以选择题、填空题为主，解三角形以解答题为主，中等难度.

考点一三角恒等变换

【核心提炼】

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin(a±/T)=sinacos夕±cos«sin[i:

(2)COS(6C±/?)=COSacos股sinasin.：

tana±tanB

⑶ian(a步)=

1+tan«tanp'

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(I)sin2«=2sinacosa;

(2)cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a_1=1-2sin2a:

―2tana

(3)tan2a=1、・

I-larra

例I(1)(2022・新高考全国n)若sin(a+6)+cos(a+4)=2啦(：03(0(+彳]皿/7,则()

A.ian(a—万)=1

B.tan(a+〃)=l

C.tan(a—W)=—1

D.ian(a+夕)=—1

答案C

解析由题意得sinacos夕+cos«sin0+cosacos0—sin6tsin/?=2，5X方-(cosa-sina)sin[i,

整理，得sinacos/?—cos«sin^4-cosacos/y+sinasin6=0,即sin(a—/?)+cos(a-/?)=(),所以

tan(a—/0=—1.

(2)(2021•全国甲卷)若a£(0,5)»lan2a=J"",则tana等于()

\乙)L—sina

A.eqB.eqC.eqD.eq

答案A

解析方法一因为

〜sin2a2sinacos«

32«=^；=l-2shr«?

cosa

且tan2a—

2-sina

“…2sinacosacosa解得

所以-r.,=；~：­sina=1.

1—2sin-<x2—sina

因为

所以cosa=^^sinaA/T5

tana—

cosa-15

2sina

E、，仆2tanacosa

万法一因为

ian2a=f%sin%

1—~

cosa

2sinacosa2sinacosa

cos-a—sin~a1—2sin'c

且tan2a，

2-sina

2sinacosacosa

所以，

1-2sin*2«2-sina

解得sina=1.

因为a£(0,

V15sinaV15

所以cosa=tana==«<・

4，cosa15

规律方法三角恒等变换的“4大策略”

(1)常值代换：特别是“1”的代换，I=sin2e+cos2e=ian45。等；

(2)项的拆分与角的配凑：如siira+2cos2a=(sin2a+cos2c)+cos2a,«=(«—/?)+//等；

(3)降寐与升寐：正用二倍角公式升累，逆用二倍角公式降寐；

(4)弦、切互化：一般是切化弦.

跟踪演练1(1)(2022•张家口模拟)已知sin/osO+45cos2e=cosO+^,昨(0,。则夕=

答案割脸

解析sinOcos9+Scos%

1,i-1+cos20

=/sin29+小X-------------

=cos（29-§+^=cos8+理,

故cos（2。-/）=cos

仇

所以29*=5+2E或2。一季=-8+2E(ZwZ),

故。=专+2攵兀或。=表+竽(k£Z).

又砥(0,9,所以夕=越金.

(2)已知函数7U)=sinx-2cosx,设当x=6时，火工)取得最大值，则cos6=.

答案一手

解析7U)=sinx—2cosx=，5sin(x一夕)，

甘山1.2而

其中cos°=W，sin^=­t—,

则逃。)=小sing一同=小，

因此。一夕=^+2k兀，k£Z,

贝|」cos0=cos(3+彳+2〃兀)=­sin(p=-^^\

考点二正弦定理、余弦定理

【核心提炼】

1.正弦定理：在△ABC中，缶=七=高:=2/?(/?为△ABC的外接圆半径).

sin/isinIJsinc

.cb.「

变形：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2/?sinC,sinA=&,sin8=正，sinC=a'b'c=

乙K2R'

sinA:sinB:sinC等.

2.余弦定理：在△ABC中，a2=b2+c2-2bccosA.

r。从+C2—CT

变形：lr+c1—cr=2/JCCOSA,cosA=---板:---

3.三角形的面积公式：S=54〃sinC=^<2csin8=5力c、sinA.

例2(1)(2022•济南模拟)若△ABC的内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,已知加in24

=asinB,且c=2b,则£等于()

A.3B.eq

C.eqD.eq

答案D

解析因为加in2A="sinB,

所以2bsinAcosA=asinB,

利用正弦定理可得2〃/?cosA=ab,

②解由①及层=/+，-2反cosA得，a2=20ccosA,所以2力c=31.

因为b2-^-c2=2a2=5O,

所以S+(?)2=〃+/+2儿=81,

得8+c=9,

所以△4BC的周长/=。+力+。=14.

规律方法正、余弦定理的适用条件

(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理.

(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理.

注意：应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”.

跟踪演练2(1)在中，若cosC="cosA+“cosB=2,则△A8C外接圆的面积为()

A.eqB.eq

C.eqD.eq

答案D

解析根据正弦定理可知b=2RsinB,

”=2RsinA,

得2Rsin5cosA+2RsinAcosB

=2Rsin(A+B)=2,

因为sin(A+B)=sin(7t—C)=sinC

=yl1-cos2C=

所以R—g»

所以△ABC外接圆的面积S=兀R2=需.

(2)(2022・衡水中学模拟)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为小b,c,且当瞿

IdllD0

①求角A的大小：

②若。=2,求△48C面积的最大值及此时边Ac的值.

解①在△ABC中，由正弦定理得c=2RsinC,b=2RsmB,喘鬻-1，1=

2sinC

sinB'

化简得cosAsinB+sinAcos8=2sinCeosA.即sin(八+8)=2sinCeosA,

VA+B=TC—C,.,・sin(4+8)=sinCWO,AcosA=^,V0<A<n,/.A=J.

②在△ABC中，由余弦定理得/=〃+，-2〃ccosA,又A=1,・,•从+，-Z?c=4,

又从+(?22儿，/.Z?c<4,则SGAsc=/'inAW；X4义孝=小，

•••△ABC面积的最大值为不，当且仅当》=c=2时等号成立.

即此时〃=2,c=2.

考点三解三角形的实际应用

【核心提炼】

解三角形应用题的常考类型

(I)实际问题经抽象榻括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦

定理求解.

(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些

三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角

形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.

例3(1)滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代

诗人王勃的诗句“落霞与孤鹫齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，小明同学为测量

滕王阁的高度，在滕王阁的正东方向找到一座建筑物人氏高为12m,在它们的地面上的点

M(B,M,D三点共线)测得楼顶A、滕王阁顶部C的仰角分别为15。和60。，在楼顶A代测得

滕王阁顶部C的仰角为30。，则小明估算滕王阁的高度为(精确到1m)()

A.42mB.45m

C.51mD.57m

答案D

解析由题意得，在R12XAAM中,

AB

AM=

sin15°

在△ACM中，NC4M=300+15°=45°,

Z/\MC=180°-15°-60°=105°,

所以N4CM=30。，

由正弦定理得./「二=.

sin/ACMsinZ%CAWM

匕—sinNCAMpAB

所以CM=sinZACMAM=

sin15°

又sinl5°=sin(45o-30°)

小昱出1证一陋

'2222-4

巫AB12%

在RtA中，CQ=CMsin600==36+12-73^57(m).

2sin15°#一/

2X

4

（2）（2022・宜宾模拟）如图所示，为了测量A,8处岛屿的距离，小明在。处观测，A,8分别在

。处的北偏西15。，北偏东45。方向，再往正东方向行驶40海里至。处，观测8在C史的正

北方向，A在C处的北偏西60。方向，则人，3两处岛屿间的距离为（）

A.26n海甲.B.46后海里

C.20（1+小）海里D.40海里

答案A

解析由题意可知CO=4(),ZADC=105°,/BDC=45。,ZBCD=90°,ZACD=30c,

所以NCAO=45。，N4D/?=60。，

在△4C£）中，由正弦定理得.n*o=ain4'。，得4。=20\/^,

ClII•"\z

在RtZ\8C。中，因为/8Z)C=45。，ZBCD=90°,

所以BD=y[iCD=4()叵

在△/WO中，由余弦定理得AB^AE^+BD^lADBDcosZADB

=^800+3200-2X20V2X40V2x1

=A/2400=2(h/6.

规律方法解三角形实际问题的步骤

跟踪演练3⑴如图，己知A,R,C,D四点在同一条点线上，且平面小£）与地面垂直，在

山顶P点测得点A,C,。的俯角分别为30。，60°,45°,并测得48=200m,CD=100m,

现欲沿直线AO开通穿山隧道，则隧道3C的长为（）

A.100（^3+l）mB.200（小+l）m

C.2（）即mD.I（X）V3m

答案C

解析由题意可知A=30。，D=45°,/PCB=60。，

所以NPCO=120。，ZAPC=90\ZDPC=\50,

因为sin15°=sin（45o-30°）

_V2V3j/21_V6-V2

-2入22入2―4，

CD_PC

所以在△PC。中，由正弦定理得

sin/QP。-sinD'

_,\[2='^2,解得PC=1000^5+l)m,

4_____2

所以在Rt△两。中，

AC=2PC=200（^3+Dm,

所以I3C=AC-A8=2（）（hfi（m）.

（2）如图是建党百年展览的展馆——国家博物馆.现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P离地面

的高度。尸（点O在柱楼底部）.现分别从地面上的两点A,B测得点P的仰角分别为30°,45。,

且NA8O=60。，AB=6O^2米，则OP等于（）

A.40米B.30米

C.3Oj2米D.30\/5米

答案C

解析如图所示，设。「=力，

p

由题意知NO4P=30。，

NO8P=45°.

在RtZSAOP中，

°八=常宗=小6

在Rt^BOP中，08=/?.

在△A3。中，由余弦定理，

得OA2=AB2-\-OB2-2ABOBCOS60°,

代入数据计算得到力=3即（米）.即0P=3M（米）.

专题强化练

一、选择题

1.（2021•全国甲卷）在AA8c中，已知B=120。，AC=y[i9,AB=2,贝l」8C等于（）

A.1B.eqC.eqD.3

答案D

解析由余弦定理4c2=482+4。2—2A88CCOS8,得以72+28。-15=（）,

解得BC=3或8c=-5（舍去）.

2.（2021•全国乙卷）cos哈一cos喑等于（）

A.eqB.eqC.eqD.eq

答案D

解析cos哈一COS喂

,,H,571

1+COS4I+cos

=-2—-2

222,

3.（2022・榆林模拟）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为邛W

b—c=1,cosA=；,则a等于（）

A.10B.3C.eqD.eq

答案C

解析因为cosA=；，所以sinA=中^,

所以bc=6,又b—c=1,

可得b=3,c=2,

所以/=〃+/—2力ccosA=10,即a=qT6.

4.已知cosa="^Ssin0—a)=-去pa，夕均为锐角，则夕等于()

A.eqB.eqC.eqD.eq

答案c

解析Va,4均为锐角，即a,4£((J,习，(甘，3，

._n--------b2小

・・cos(尸1sin~0a)—sina—yj1cos"a—J,

……3V10VV5(^10\,2^5范

cos/?=cos[(^—a)+a]=cos(^—a)cc>sa-sin(/?-a)sina—JQX5-1-17rJX5-o，

又蚱(o,9，・“=：.

5.设角a,p的终边均不在坐标轴上,且tan(«—p)+tan/5—tana,则卜列结论正确的是()

A.sin(a+Q)=0B.cos(a—0)=1

C.sin%+sin%=1D.sin2«+cos2y7=1

答案D

tana—tan/?八

解析由题意可得，tan(a—")=tana-tan0,即H-tanmanrlaneZ-tan^

八lanman£八

(tan«-tan^1+tanatan//=O,

,.Fanalan夕WO,.*.tana=tan:,a=kZB，kRZ.A,B不恒成立;

又sin%=sin2(&7c+0=sin%,.*.sin2a+cos2/?=sin2/?+cos2/?=1.

6.(2022•张家口质检)下列命题中，不正确的是()

A.在△A6C中，若贝iJsinA>sin/

B.在锐角△ABC中，不等式sinA>cosB恒成立

C.在△ABC中，若〃cosA=Aos&则△ABC是等腰直角三角形

D.在8c中，若加=ac,则△A3C必是等边三角形

答案C

解析对于A,由A>B,可得〃>仇利用正弦定理可得sinA>sin8,正确;

对于B,在锐角△ABC中，A,8£(0,9,

•••A+喈

.•令4>亨一8>0,

sinA>sin《-B)=cosB,

因此不等式sinA>cos8恒成立，正确；

对于C,在△ABC中，acosA=bcosB,利用正弦定理可得sinAcosA=sinBcos8,

/.sin2A=sin28,

〈A,gO,兀)，

・・・2A=2B或2A=7T-2B,

•\A=B或A+B=4，

•••△ABC是等腰三角形或直角三角形，错误；

2

对于D,由于3=/,b=act由余弦定理可得

b1=ac=a1-\rc2,—acy

可得(〃-C)2=0,解得〃=C,

则4=C=B=?

•••△A8C必是等边三角形，正确.

7.故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群，故宫宫殿房檐设计恰好

使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴.已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约

为75。，冬至前后正午太阳高度角约为30。.图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱

柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐的长度（单位：米）约为（）

A.3米B.4米

C.6（小一1冰D.3（小+D米

答案C

解析如图,根据题意得/4CB=15。.

Z4CD=105°,

ZADC=30°,

NC4O=45。，

CO=24米，

所以NCAQ=45。，

在△AC。中，由正弦定理得

CD_______AC

sinZCAD=sinZADC

/45。sin30。，

解得4c=12近（米），

AB

在RlZXACB中，sin/ACB=n，

即“第

解得48=12吸sin15°=12V2sin（60°-45°）

=126（当义当一京啕

=125义丐巫

=36（加一陋）=6（小一1）米.

8.（2022•济宁模拟）已知sina-cos夕=3cos«—3sin0,且sin（a+0Wl,则sin（a一4）的值为

（）

34

A.一§B.eqC.—gD.eq

答案C

解析由sina—cos/?=3cosa—3sin/?得，

sina-3cos«=cosJ-3sinp

=sin《一力一3cos（5一4），

设y(x)=sinx—3cosx

=阿君山广君向

=^76sin(x—9)),

13;

其中cos0=《w，sin3为锐角,

已知条件即为*)=兆一力，

所以多一夕=2也+如kj

kRZ,

若5一夕=2E+a,kRZ,

则a+£=—2hc+看kRZ,

sin(a+/?)=sin^=1与已知矛盾,

所以刍一£—p+a—0=2E+TT,A£Z,

a—0=2&兀+，+2少，%£Z.

则sin(a—/?)=sin(2E+与+2少

=sin^j+2^

、4

=cos2(p=2c殴r(p—]=一亍

二、填空题

9.(2022•烟台模拟)若sina=cos|a+1)，则tan2a的值为

答案小

解析由sin

可得sina=cosacossin«sin卜

小1.

s,n

=9cos«-2a，

则tana=坐，

2X半

c2lana_____3r-

==

tan2Q=^ii'r~a「伴/r；\2

10.（2022・泰安模拟）已知sing-a

答案-i

11.（2022・开封模拟）如图，某直径为5小海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛

4

。相距5海里，cos/8AO=一力.则小岛8与小岛。之间的距离为海里；小岛8,C,

D所形成的三角形海域BCD的面积为平方海里.

答案3小15

解析由圆的内接四边形对角互补，得

cosZBCD=COS（TT—Z.BAD）=—COSZBAD=T>0,

3

-

又N8co为锐角，所以sinN8CO=Vl5

在△BCD中，由正弦定理得

sin/8CO=y=逆，则5。=3板海里）.

5

在ABC。中，由余弦定理得

L4

（3V5）2=CD2+52-2XCDX5X-,

整理得CD2-8CD-20=0,

解得CQ=10（负根舍去）.

I3

所以5A»CD=2><10><5乂5=15（平方海里）.

12.（2022•汝州模拟）在△4BC1中,角A,B,。所对的边分别为小〃，c,a=2,cos2C=

cos2A+4siirB,则△ABCjffi积的最大值为.

2

答案-

3

解析由cos2C=cos2A+4sirrB得，

1—2siirC=1—2sin2A+4sin咽，

即sin2A=sin2C+2sin2B,

由正弦定理得，=d+2从=4,

由余弦定理得/=〃+。2—2beosA=4,

:.4+2/=/+/—2〃ccosA,

Etrlb

即cos4=一丁<0,

VAG(O,71),

：•S.\ABC=法inA囚河均

二"/此一犷

•・*+2护=4,・・・/=4一》2,

:.SMBC=^\J/?2(4-2Z?2)-1/74

=J\J-1//+4/>2,

则当出奇时，

98

-X4X-16

4649

81

142

-X---

233

三、解答题

13.（2022・新高考全国H）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,

为边长的三个正三角形的面积依次为S”S2,S3.已知Si—Sz+S3=坐，sin4=；.

（1）求4八4。的面积；

（2）若sinAsinC=乎，求人

解（1）由S]—S2+S3=坐,

得坐（/一庐+/）=坐，

即/—〃2+d=2,

又a2—b2-^-c2=2accosB,

所以accos8=1.

由sin

,日C2小工门2书,,,、

付cos或cosB=一寸（舍去）,

所以改=壶=乎，则AABC的面积

S=%csin8=卜乎邛.

,3^2

（2）由sinAsinC=^,〃c=斗及正弦定理知扁=Sin；'：in