高考数学一轮复习：直线、平面平行垂直的判定与性质（讲）解析版

第03讲直线、平面平行与垂直的判定与性质

公考纲考情

本讲为高考命题热点，常出现在大题的第一问，分值约为6分，文科常考察平行，理科常考

察垂直，相对来说较为固定，考察逻辑推理能力，空间想象能力。

⑥考点梳理

考点一直线与平面平行

(I)直线与平面平行的定义

直线/与平面Q没有公共点，则称直线/与平面。平行.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

平面外一条直线与此平面a___

aUa,bua,a//b^>a

判定定理内的一条宜线平行,则该直

//a

线平行于此平面

一条直线和一个平面平行，

则过这条直线的任一平面a//,aC\0

性质定理

与此平面的交线与该直线=b=>a//b

平行

考点二平面与平面平行

(1)平面与平面平行的定义

没有公共点的两个平面叫做平行平面.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

一个平面内的两条相交直线au”，bua,aC\b=

判定定

与另一个平面平行，则这两/*/P,a//p,

理

个平面平行A/

性质定两个平面平行，则其中一个

a//p-,〃p

理平面内的直线短于另一个/__/

半间

如果两个平行平面同时和第

三个平面相交，那么它们的

=b=a//b

交线平行尊

考点三直线与平面垂直

⑴直线和平面垂直的定义

如果一条直线/与平面。内的任意直线都垂直，就说直线/与平面”互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

11a、

一条直线与一个平面内lA-b

aC\b=O>=i

判定定理的两条才口交直线都垂直,

aua

则该直线与此平面垂直bua/

_La

ab

两直线垂直于同一个平

性质定理a/b

面，那么这两条直线壬红27b_La

考点四直线与平面所成的角

⑴定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的铳鱼叫做这条直线和这个平面所

成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直鱼；一条直线和平面平行或

在平面内，则它们所成的角是0。的角.

(2)范围：［”司.

考点五二面角

(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角;

(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面

内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所构成的仍叫做二面角的平面角.

⑶二面角的范围：［0,兀］.

考点六直线与平面垂直

⑴平面与平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

一个半囿经过另一个平曲的

判定定l±a\

一条垂线，则这两个平面互相

理4

垂直

如果两个平面互相垂直，则在皿［

性质定an8=a

一个平面内垂直于它们交线,J>=/_La

理£l±a

的直线垂直于另一个平面luBJ

考点七常用结论

1.平行关系中的三个重要结论

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若。_La,。_1_夕，则a〃夕.

(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若a〃尸，夕〃》,则。〃/

(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若。_La,/?la,则

2.三种平行关系的转化

性质定理

I判定定理判定定理

线线平行T一：E、线面平行L、面面平行

性质定理性质

3.三个重要结论

(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线

线垂直的一个重要方法).

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.

4.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定埋，不要误解为“如果一条直线垂直

于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面

5.三种垂直关系的转化

判定定理判定定理

线线垂直线面垂直二面面垂直

性质性质定理

故QE_LC”.所以。/7_1_平面CiDE,

故CH的长即为点C到平面GDE的距离.

由已知可得CE=1,CiC=4,

所以GE=d行,故€7/=生存.

从而点C到平面COE的距离为生伊.

【方法技巧】

1.利用线面平行的判定定理证明直线与平面平行的关键是在平面内找到一条与

已知直线平行的直线.

2.利用面面平行的性质证明线面平行时，关键是构造过该直线与所证平面平行的

平面，这种方法往往借助于比例线段或平行四边形.

【跟踪训练】

如图，四边形ABC。是平行四边形，点尸是平面ABCQ外一点，历是PC的中

点，在。M上取一点G,过G和AP作平面交平面BOM于G”.求证：G”〃平面

PAD.

证明如图，连接AC交5。于点O,连接MO

因为四边形A8c。是平行四边形,

所以。是AC的中点.又M是PC的中点,

所以AP〃。区

根据直线和平面平行的判定定理,

则有附〃平面BMD.

因为平面鬼"GC平面BMD=GH,

根据直线和平面平行的性质定理，所以%〃G”.

因为平面雨。，au平面雨。，

所以GH〃平面PAD.

高频考点二线面平行性质定理的应用

[例2](2021•河南、江西五岳联考)如图，在四棱锥P-ABCD中，附_L底面

ABCD,AD//BC,ND4B=90。，AB=BC=PA=^AD=2fE为PB的中点,尸是

PC上的点.

(1)若E产〃平面也。，证明：尸为PC的中点；

(2)求点C到平面PBD的距离.

(1)证明因为BC〃A。，ACC平面%/),AOu平面而Q,

所以BC〃平面PAD.

因为平面尸8C,尸£平面外。，所以可设平面尸8CCI平面%Q=PM,

又因为BCu平面尸BC,所以8c〃尸以

因为后产〃平面BA。，ER=平面0BC,

所以E尸〃PM,从而得EF〃BC.

因为E为P8的中点，所以/为PC的中点.

(2)解因为出_L底面A3cDZDAB=9()°fAB=BC=R\=^AD=21

所以PB=q*+AB2=2®PD=yjPA2-]-AD2=2^5,

BD=、BA2+AD2=2小,

所以SADPB=3PB\0「2—（；。3）2=6.

设点C到平面的距离为"，

由Vc-PBD=Vp-BCD,J=|SABCDB4=|X|XBCXABXM,

i2

则6c/=]x2x2x2,解得d=y

【方法技巧】

在应用线面平行的性质定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应

严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必

须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行.

【跟踪训练】

如图所示，已知四边形ABC。是正方形，四边形ACE/是矩形，M是线段E/的

中I占/、、、・

(1)求证：AM〃平面4DE；

(2)若平面AOMn平面BOE=/,平面A8MC平面8。E=〃7,试分析/与根的位置

关系，并证明你的结论.

⑴证明如图，记AC与8。的交点为。，连接。£

因为0,M分别为AC,E尸的中点，四边形ACEF是矩形,

所以四边形A0£M是平行四边形，所以AM〃0£.

又因为OEu平面BDE.AMC平面BDE,

所以AM〃平面BDE.

(2)解/〃加，证明如下：

由(1)知4M〃平面BDE,

又AMu平面ADM,平面ADMCI平面BDE=l,

所以/〃AM,

同理，AM〃平面BDE,

又AMu平面ABM,平面平面BDE=m,

所以m〃AM,所以/〃"7.

高频考点三面面平行的判定与性质

【例3】(经典母题汝1图所示，在三棱柱ABC—48G中，E,F,G,”分别是

AB,AC,AIBI,4G的中点,求证：

(1)B,C,H,G四点共面；

(2)平面七胡1〃平面BCHG.

证明(1)VG,“分别是4G,4cl的中点,

・・・G〃是由iG的中，立线，则GH〃3G.

又二B\C\"BC、

:.GH〃BC,:・B,C,H,G四点共面.

(2)VE,F分别为A分AC的中点,：.EF//BC,

〈EFC平面BCHG,BCu平面BCHG,

；・EF〃平面BCHG.

又G,£分别为Ai8i,A8的中点，统AB,

：.A\G^EBt

，四边形AiEBG是平行四边形，：.A\E//GB.

TAEC平面BCHG,G8u平面BCHG,

・・・4E〃平面BCHG.

・•・平面£7%〃平面BCHG.

【迁移1］在本例中，若将条件“E,F,G,"分别是AB,AC,A1B1,AiG的

中点”变为“Di,。分别为BG,8C的中点”,求证：平面4即1〃平面AGD

证明如图所示，连接4C交AC于点M,

,・,四边形AiACCi是平行四边形，

・•・〃是AC的中点，连接MO,

•:D为BC的中点,

:.A\B〃DM.

OA山u平面AiBDi,

OMU平面A\BD\,

J.QM〃平面AiBDi,

又由三棱柱的性质及/),0分别为8C,的中点知，DICT统BD,

・・・四边形8DGQi为平行四边形，：.DC\//BD\,

又。GC平面48",BDC平面AiBDi,

平面4/01,

又。Gn£>M=O,DCi,OMu平面AGO,

因此平面A山。i〃平面AGD

【迁移2】在本例中，若将条件“E,F,G,〃分别是A8,AC,40,4G的

中点”变为"点。，G分别是AC,4a上的点，且平面8Go〃平面ABOi"，试

An

求倦的值.

X-X\^-

解连接4B交AS于0,连接ODi.

由平面BCQ〃平面AB\D\,

且平面AIBCICI平面BC\D=BC\,

平面4BGCI平面AB\D\=D\O,

所以3G〃OiO,则铛？=^=L

"iCdOn

A\D\_DC

又由题设D\C\~~ADy

.DC即黑=L

99AD~

B

【方法技巧】

1.判定面面平行的主要方法

(1)利用面面平行的判定定理.

(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).

2.面面平行条件的应用

(1)两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行.

(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.

【跟踪训练】

1.(2022・成都五校联考)如图，在四棱锥P-A8c。中，平面出OJL平面ABCQ,

PA=PD,AB=ADtPALPDfAD1.CD,N8AQ=60。，M,N分别为A。，PA

的中点.

(1)证明：平面8MN〃平面尸CO；

⑵若AD=6,求三棱桂P—的体积.

⑴证明连接8。，如图所示.

p

*：AB=ADiZBAD=60°,I.△480为正三角形.

为AO的中点，：.BMLAD.

9

：AD±CDfCD,BMu平面ABCD,：.BM//CD.

又BMC平面PCD,COu平面PCD,...BM〃平面PCD.

VM,N分别为AO,%的中点，:.MN//PD.

又MMt平面PCD,POu平面PCD,

.'.MN〃平面PCD.

又BM,MNu平面BMN,BMClMN=M,

・•・平面BMN〃平面PCD.

(2)解在(1)中已证BMLAD.

・・•平面以O_L,平面ABCD,3Mu平面ABCD,

，8"_1_平面PAD.

又AD=6,ZBAD=60°,:・BM=34.

VB4=PD,PALPD,AD=6,

：.PA=PD=^AD=3啦，

VM,N分别为AO,公的中点，

SAPMN=；S△由o=[x^x(36)2=*

・•・三棱锥?一BWN的体积V=VB—PMN=WSNMN,BM

=号3飙挛

高频考点四线面垂直的判定与性质

【例4】（2019•全国H卷）如图，长方体ABC。-ABGQi的底面ABCD是正方

形，点石在棱A4上，BElECi.

(1)证明：BE_L平面EBC】；

(2)®AE=A\E,A8=3,求四楂锥七一661。。的体积.

⑴证明由已知得BCi_L平面A&Mi,8Eu平面A331A1,故BiCJBE.又BE

±£Ci,BICIAECI=CI,BiCi,ECiu平面E81C1,所以BE_L平面EB1C1.

(2)解由(1)知NE%i=90。.

由题设知RtAAZ?E^RtA/liBi£,

所以ZAEB=N4EB=45。，

故AE=A5=3,AAi=2AE=6.

如图，作EF_L58i,垂足为凡则ER_L平面331clC,且EF=45=3.

所以四棱锥E-BBiGC的体积V=|x3x6x3=18.

【方法技巧】

1.证明直线和平面垂直的常用方法有：

(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性①〃。，〃_La=OJ_a);(3)面面平行的性质也

±a,a〃ga【P),,(4)面面垂直的性质(a_LQ,o.n尸a,/_!_〃，lu8nL

2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.

因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思路.

高频考点五面面垂直的判定与性质

【例5】(2020•全国］卷)如图，。为圆铢的顶点，O是圆锥底面的圆心，^ABC

是底面的内接正三角形，尸为。。上一点，ZAPC=90Q,

D

⑴证明：平面%BJ_平面以C；

（2）设。。=啦，圆锥的侧面积为，5兀，求三棱锥P-ABC的体积.

⑴证明由题设可知，PA=PB=PC.

由△48C是正三角形，

可得△力1C名△以8,LPAC^/XPBC.

又NAPC=90。，故N4PB=90。，ZBPC=90°.

从而P8J_必，PBLPC,又"，PCu平面以C,PAOPC=P,

故P8_l_平面B4C,又P8u平面以8,

所以平面见8_1_平面PAC.

⑵解设圆锥的底面半径为八母线长为/,

由题设可得〃=小，»一产=2,解得/=1,7=^3.

从而AB=y[5.

由⑴可得出2+P32=A3\故FA=PB=PC=*.

所以三棱锥P-ABC的体积为

聂％/BPC=器x（郸邛

3乙j）o

【方法技巧】

1.判定面面垂直的方法主要是：

（1）面面垂直的定义