高考数学二轮复习专项突破（全国版文）椭圆、双曲线的二级结论的应用

微重点14椭圆、双曲线的二级结论的应用

椭圆、双曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多

种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式.法则固然很重要，但要做到迅

速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问思便能

迎刃而解.

考点一焦点三角形

【核心提炼】

焦点三角形的面积公式：P为椭圆（或双曲线）上异于长轴端点的一点，R,B且NBPF2=0,

则椭圆中S4PF岛=「tan7，

双曲线中S△叫外=—

tan2

例I（2022・临川模拟）已知椭圆C：其左、右焦点分别为K，&，其离心

率为e=±,点P为该椭圆上一点，且满足/尸/尸2=全三知△EPB的内切圆的面积为3兀,

则该椭圆的长轴长为（）

A.2B.4C.6D.12

答案D

Ic1

解析由e=5,得£=5，即a=2c.①

设△BPF2的内切圆的半径为，・，

因为的内切圆的面积为3兀，

所以兀产=3u，解得r=，5（舍负），

在△RPF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，

NFIPF?1

知开5=/?2tan5+2c）,

即坐"2=小3+。），②

又『二庐+c2,③

联立①②③得c—3,a—（）,b—3*\/3f

所以该椭圆的长轴长为2a=2X6=12.

易错提醒（I）要注意公式中。的含义.

（2）楠圆、双曲线的面积公式不一样，易混淆.

跟踪演练1如图，R,4是椭圆G：]+）?=1与双曲线。2的公共焦点，A,8分别是G，

。2在第二、四象限的公共点.若四边形AQ8B为矩形，则C2的离心率是（)

3

C-V26

A.B.V32D.

答案D

解析设双曲线。2的方程为旨一改=1，

则有质+星=c3=d=4—1=3.

又四边形ARBF2为矩形，

所以△AFiB的面积为品an45。=原根,

即员=周=1.

所以ai=d—hi=3—\=2.

故双曲线的离心率e=芯='J|=坐

考点二焦半径的数量关系

【核心提炼】

焦半径的数量关系式：直线J过焦点小与楠圆相交于A,8两点，则七十焉="，同理，

|/4r||or|1）

119/7

双曲线中，而十丽=京

例2已知双曲线c的左、右焦点分别为a（一巾，0）,F2（S，0）,过尸2的直线与c的右支

交于月，8两点.若旗=2百，依用=田出则双曲线C的方程为.

答案T-T=1

解析如图，令|"2B|=f,

F/rx2

则依尸2l=2f,

：.\AB\=3t,|FiB|=3r,

又一^+上一4

乂,同十|8尸2|

叩3_四

即2厂的

又历阴一|尸2用=2小

.*.3t—t=2a,/.2l=2a,

・•・/=〃，

:”,即3招=4/

又c=巾，・・・片+从=7,

解得〃=4,/=3,

故双曲线C的方程为1―9=1.

易错提醒公式的前提是西线AR过焦点产，隹点产不在苜线八R匕时,公式不成主.

跟踪演练2已知椭圆C&+9=1,过右焦点尸2的直线交椭圆于A,

B两点.且HB|=2,

则H8|=,cos/F|48=.

答案I-5

解析由题意知〃=4,8=2,|人尸21=2,

2

解得|8/』=?

Q

・・・HB|=HBI+|8/；2l=§,

由椭圆定义知|AFI|=8-2=6,

222

|BFi|=8-2=-2"»

62+

萨陶1

在△AFiB中,cosZFiAB=

83,

2X6XQ

・•・△BAB为等腰直角三角形，

••b=c,

・・./=2"=2/,

,b21

•-7=r

且NAF2O=45。，/.A,VM=-1,

一,b21

又k*wkMB=—^2=—2>

考点四过圆锥曲线上点的切线方程

t核心提炼】

已知点P（如制）为椭圆（或双曲线）上任一点，则过点P与圆锥曲线相切的切线方程为竿+力

=1（椭圆中）或詈一岩=1（双曲线中）.

例4已知椭圆C9+），2=1.如图，设直线/与圆O：X2+V=R2（］<R<2）相切于点A,与椭圆

。相切于点3,则H阴的最大值为.

三

答案I

解析连接0A,OB,如图所示.

设成W,刈），所以过点B与椭圆相切的直线方程为等+）梦=1,

即xav+4yoy—4=0,

又R2=|Q4|2=君;16城

R为圆半径，R£(l,2),

依加=1。砰-

又平+4=1，

所以焉=4—44，

4

所以依用2=4—34一后0

4L

=5—(3)3+1)—3髭+产5-2皿=1,

当且仅当3)3+B品，

即而甘时，等号成立，

所以H阴max=l，

此时*―而%-2,

即/?=乓(1,2),

故当R=g时，|A81nm=1.

规律方法(1)该切线方程的前提是点P在圆锥曲线上.

⑵类比可得过圆(x—a)2+(y—b)2=I上一点尸(xo,yo)的切线方程为(xo—a)(x—a)+()»~b)(y—

b)=\.

跟踪演练4已知F为椭圆C：y+^-1的右焦点，点A是直线x-3上的动点，过点人作

椭圆C的切线AM,AN,切点分别为M,N,则|MF|+|W1—|MN|的值为()

A.3B.2C.ID.0

答案D

解析由已知可得尸(10),

设Mg,yi),Ng”)，A(3,。

则切线AM,AN的方程分别为竽+号=1,

3十2一】,

因为切线AM,AN过点A(3,。，

所以加+与•=1,也+竽=1,

所以直线"N的方程为x^=\,

因为因1Q),

所以点凡1,0）在直线MN上,

所以M,N,尸三点共线,

所以+WQ—|MN|=0.

专题强化练

92

1.过双曲线C：a一$=1（。＞0,方＞0）上一点P作双曲线C的切线/,若直线O尸与直线/的

2

斜率均存在，且斜率之积为彳则双曲线。的离心率为（）

A.琴B邛C寿D.零

答案C

解析设P（沏，yo）,

由于双曲线。在点P（.m,比）处的切线方程为

等一2L

故切线/的斜率上=然，

2

因为k-kOp=y

舞质毛则如专

a和xo2）ciJ

即双曲线C的离心率6=

2.椭圆Cf+f=l的左、右焦点分别为K，B，过西作直线交椭圆于A,8两点，且病

=2用，则△AQ8的外接圆面积为（）

答案D

解析如图，a=3,b=2,c=邓,

令尸2四=八则|ABI=2f,

..1,1_2a

*尸2I十由B厂讲'

•■-7+i=F,=1-

・・・|BBI=1,|AF2|=2,

由椭圆定义知|BFI|=5,|AFi|=4,

•••△A8n中，|A8|=3,|AR|=4,|3Q|=5,

：.AFi±AB,

•••△4防外接圆半径拉=誓=/其面积为竽

3.（2022•保定模拟）已知双曲线C：，一1=1（。＞0,。＞0）的左、右焦点分别为Q,B，直线/：

），=履（女=0）与。交于M,N两点，且四边形MF\NF?的面积为8次若点M关于点F2的对称点

为"，且"M=|MN），则C的离心率是（）

A.小B.小C.3D.5

答案B

解析如图，由对称性知MN与互相平分，

・•・四边形MF?NFi为平行四边形，

•・・尸2为MM'的中点，且|MN|=|M'N|,

:.NF2工MF?

二四边形MF2NR为矩形，

,•S2NF'F?=4〃2,

又S△许F,=^=4。2,即y=4层,

lan4

c2—/=4〃，即（r=5a2,即。=片=4

4.（2022・广州模拟）已知双曲线C：/一点=13＞。，比＞0）的左、右焦点分别为H,F2,左、右

顶点分别为4,A2,P为双曲线的左支上一点，且直线用।与南2的斜率之积等于3,则下列

说法正确的是（）

A.双曲线的渐近线方程为卜=停丫

B.双曲线C的离心率为、5

C.若PFJPFz，且同夕"2=3,贝IJ〃=2

D.以线段PFi，A1A2为直径的两个圆外切

答案D

解析设P（x,y）,则），2=〃与-1）,

因为4（一。，0）,430）,

所以攵加.&P&=^=3,

所以《=±75,所以渐近线方程为），=±V5x,故A错误；

又e=、/l+*=2,故B缙误；

因为彳=2,

所以c=2a,根据双曲线的定义可得|PB|—|PB|=2a,

又因为PF11PF2,

62

所以的面积为一-=Z?2=3,

tan4

又萨=3,所以。=1,故C错误；

设0人的中点为。|,。为原点.

因为0。为△PRB的中位线，

所以|001|=""2|=知乃|I2（7）

=||PF||+d7,

则可知以线段PQ,AIA2为直径的两个圆外切，故D正确.

^22

5.（2022・石家庄模拟）已知双曲线C：a一方=1（。＞0,〃＞（））,过原点。的直线交C于A,8两

点（点4在右支上），双曲线右支上一点P（异于点8）满足西.赤=0,直线附交x轴于点。，

若NAOO=N人O/）,则双曲线。的离心率为（）

A.A/2B.2C.小D.3

答案A

解析如图，

•••8AJLBP,令kAB=k,

•；ZADO=ZAOD,

••kAP=—k/\B=­ky

又BA_LBP,；・kpB=—I，

依题意知kpB,kPA=『,

T（T）4，

**A=1,即e=啦.

6.（2022・济宁模拟）设椭圆C：，+£=1（。＞比＞0）的左、右焦点分别为H，F2,左、右顶点分

别为4,4,点，是C上异于4,4的一点，则下列结论错误的是（）

A.若C的离心率为?则直线以］与小2的斜率之积为一不

B.若PFJPF2,则△2向巳的面积为〃

C.若C上存在四个点尸使得则C的离心率的取值范围是惇，1）

D.若|PQ|W2力恒成立，则C的离心率的取值范围是,，1）

答案D

解析设P（xo,和），•谭+多=】，

.二选项A正确;

若PFJPF2,则△尸F1F2的面积为从tanj=b2,

・•・选项B正确；

若C上存在四个点P使得即。上存在四个点P使得△尸的面积为P,

/.^-2c-b>b2,

.•・e£（乎，l）,・,•选项C正确;

若|PE|W2力恒成立，,•・〃+cW2仇

:.a2+/+2“cW4/=4（6f2—c2）,.•.5f+2e—3W0,

3

/.0<eW.选项D错误.

J

7.椭圆C：im》>0）上存在两点M,N关于直线/：x~y+1=0对称，且线段MN

中点的纵坐标为一；，则椭圆的离心率6=.

答案申

解析如图，设MN的中点为Q,