概率（6大考点55题）解析版-2025年中考数学试题分了汇编

概率（6大考点，精选55题）

考点概览

考点1事件的分类

考点2简单概率的计算

考点3列举法求概率

考点4用频率估计概率

考点5有关概率计算的解答题

考点6概率与统计综合

考点1事件的分妾

1.（2025•湖北•中考真题）在下列事件中，不可能事件是（）

A.投掷一枚硬币，止面向上B.从只有红球的袋子中摸出黄球

C.任意画一个圆，它是轴对称图形D.射击运动员射击一次，命中靶心

【答案】B

【分析】本题考查的是事件的分类以及不可能事件的含义，根据不可能事件的定义，即在一定条件下必然

不会发生的事件，对各选项逐一分析.

【详解】解：选项A：投掷硬币可能出现正面或反面，是随机事件，不合题意；

选项B：袋子中仅有红球，无黄球，因此摸出黄球不可能发生，属于不可能事件，符合题意；

选项C：圆无论大小或位置，始终是轴对称图形，属于必然事件，不合题意；

选项D：射击可能命中或脱靶，是随机事件，不合题意；

综上，只有选项B符合不可能事件的定义，

故选:B.

2.（2025•江苏扬州•中考真题）下列说法不正确的是（）

A.明天下雨是随机事件

B.调查长江中现有鱼的种类，适宜采川普查的方式

C.描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图

D.若甲组数据的方差5第=0.13,乙组数据的方差S：=0.04,则乙组数据更稳定

【答案】B

【分析】本题考查了随机事件、调查方式、统计图选择及方差的意义，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

根据相关知识点进行判断即可.

【洋解】A：明天下雨的结果不确定，属于随机事件，正确，故该选项不符合题意；

B：长江鱼种类调查范围广、个体多，应采用抽样调查，错误，故该选项符合题意；

C：折线统计图适用于展示数据变化趋势，描述气温变化合适，正确，故该选项不符合题意；

D：方差越小数据越稳定，乙方差更小，更稳定，正确，故该选项不符合题意.

故选:B.

考点2简单概率的计算

3.（2025•北京•中考真题）一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其

他差别.从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（）

A.7B.3C.：D.7

ooZo

【答案】A

【分析】本题考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件力的概率p（4）=事件力可能M现的结果数♦所有可能

出现的结果数.

【详解】解：•・•袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，从袋子中随机摸出一个球，

・•・摸出的球是白球的概率是a="

3+Z+lo

故选:A.

4.（2025•江苏苏州•中考真题）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，

搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为|,则红球的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本题考查了根据概率求数量，熟练掌握概率公式是解题的关键.

设红球有％个，根据摸到白球的概率公式列方程求解.

【详解】解：设红球有%个,则袋中总球数为Q+3）个，

•••摸到白球的概率为去，

根据题意得：言=今

解得：x=2,

因此，红球的个数为2个.

故选：B.

5.（2025・广东・中考真题）如图，在直径SC为2低的圆内有一个圆心角为90c的扇形4SC.随机地往圆内投一

粒米，该粒米落在扇形内的概率为（）

【答案】D

【分析】如图所示，过点4作于点。，证明出△力8c是等腰直角三角形，求出=8。=。。=沏?=

V2,然后得到4?="4=2+。。2=2,然后分别求出S周形A8C和S网，然后根据概率公式求解即可.

【详解】如图所示，过点力作力D1BC于点。

••・BC是直径

33AC=90°

“B=AC

.•.△ABC是等腰直角三角形

"D1BC

:.AD=BD=CD=^BC=五,

“B=yjAD24-BD2=2

•••S闹形A8C==口'S/=nx（V2）2=2TT

二该粒米落在扇形内的概率为/=

故选：D.

【点睛】此题考查了几何概率，求扇形面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直

角等知识，解题的关键是掌握以上知识点.

6.（2025•上海•中考真题）小明与小杰在玩卡牌游戏，已知小明手里有1,2,3,4四张牌，小杰手里有2,

4,6,8四张牌，小明从小杰手里抽出一张牌，如果抽到小杰手中四张卡牌中的任意一张概率都相等，那么

小明抽出的这张卡牌中，和自己手中某一张卡牌的数字一样的概率为—.

【答案吗

【分析】本题主要考查了简单的概率计算，直接用小杰手中卡牌上的数字与小明手中卡牌上的数字相同的

K牌数除以小杰的K牌总数即可得到答案.

【详解】解：•••小杰一共有4种卡牌，其中有2张卡牌上的数字与小明手中卡片的数字相同，

••・小明抽出的这张卡牌中，和自己手中某一张卡牌的数字一样的概率为:=三

T,乙

故答案为：

7.（2025・贵州•中考真题）一个不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，每个球除颜色外都相同，任意摸

出一个球，摸到红球的概率是.

【答案】|/0.4

【答案】:

【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件4出现m

种可能，那么事件A的概率P（A）=W.

利用简单事件的概率计算公式即可得.

【详解】解：单词dass中字母“s”有2个，单词class中总共有5个字母,

...选中字母“s〃的概率最

故答案为：

12.（2025・湖北•中考真题）窗，让人足不出户便能将室外天地尽收眼底.如图，"步步锦〃"龟背锦〃"灯笼锦”

是我国传统的窗格构造方式，从这三种方式中随机选出••种制作窗格，选中“步步锦”的概率是.

步步锦龟背锦灯笼锦

【答案吗

【分析】该题考查了概率公式，根据概率公式求解即可.

【详解】解：共有"步步锦""龟背锦””灯笼铺〃三种窗格，

故选中“步步锦"的概率是1

故答案为:1.

13.（2025•四川内江•中考真题）在英文单词"bcmcma”中任选一人字母，字母"a〃被选中的概率是.

【答案】|

【分析】此题考查概率的求法：妇果一个事件有几种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件4出现m

种可能，那么事件4的概率P（A）=?根据概率公式直接求解即可.

【详解】解：英文单词"bazuma〃中共有6个字母，字母"a"有3个，

二字母”被选中的概率是*=摄

故答案为:

14.（2024•黑龙江哈尔滨•中考真题）一个不透明的袋子中装有7个小球，其中6个红球，1个黑球，这些小

球除颜色外无其他差别.小峰同学从袋子中随机摸出1个小球，则摸出的小球是红球的概率是.

【答案w

【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件/的概率尸（力）=事件力可能出现的结果数+

所有可能出现的结果数.从袋中任意摸出一个球，共有7种等不能结果，其中是红球的有6种结果，再根

据概率公式求解即可.

【详解】解：•••从袋中任意摸出一个球，共有7种等可能结果，其中是红球的有6种结果，

••・从袋中任意摸出一个球，是红球的概率为5，

故答案为:

15.（2025•四川南充・中考真题）不透明的袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完

全相同，随机从袋子中摸出一个球，恰好为白球的概率是.

【答案】g

【分析】本题考查了等可能事件的概率计算公式，直接根据等可能事件的概率计算公式即可求解，解题的

关键是熟记等可能事件的概率计算公式.

【详解】解：•.・不透明的袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，

・••随机从袋子中摸出一个球，恰好为白球的概率是指=今

故答案为：

考点3列举法求概率

16.（2025•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同.如果2枚鸟卵全

部成功孵化，那么2只雏鸟都是雄鸟的概率是（）

A1-1-2「I

A-2B-3C-3D-Z

【答案】D

【分析】本题考查了列举法求概率；设2枚鸟卵全部成功孵化为48两只雏鸟，列举出所有可能的结果数,

2只雏鸟都是雄鸟的结果数，利序概率公式即可计算.

【详解】解：设2枚鸟卵全部成功孵化为/、4两只雏鸟，所有可能的结果为：力8两只雏鸟都是雄鸟，两

只雏鸟都是雌鸟，力雏鸟是雄鸟4雏鸟是雌鸟，4雏鸟是雌鸟8雏鸟是雄鸟，共有4种等可能结果，其中2

只雏鸟都是雄鸟有一种结果，则2只雏鸟都是雄鸟的概率为今

故选：D.

17.（2025•甘肃兰州•中考真题）现有甲、乙两个不透明盒子，其中甲盒装有分别写着力/,/的三张声母卡

片，乙盒装有分别写着e,,•的三张韵母卡片（卡片除汉语拼音字母外，其余完全相同），若小明分别从

甲、乙盒中随机各抽取一张卡片，则两张卡片刚好拼成"德"字读音的概率是（）

A1-C-D-

9DB-6J33

【答案】A

【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率等知识点，用列表法或树状图法列举出所有等可能出现

的结果，再根据概率的定义进行计算即可，熟练掌握列表法或树状图法求概率的方法是解决此题的关键.

【详解】解:将所有结果列表格如下:

声母韵母aei

ddadedi

ttateti

1laleli

所有可能的组合为9种，符合条件的情况仅1种，故两张卡片刚好拼成"德"字读音"e的概率为今

故选：A.

18.（2025•辽宁•中考真题）不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同.从中随机

摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率

为（）

1-1-1c2

A.2B.-C.-D-3

【答案】C

【分析】本题考查列表法与树状图法，热练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键.列表可得出所有等

可能的结果数以及两次摸出相同颜色的小球的结果数，再利用概率公式可得出答案.

【详解】解：列表如下：

红黄

红（红，红）（红，黄）

黄（黄，红）（黄，黄）

共有4种等可能的结果，其中两次摸出相同颜色的小球的结果有2种,

・••两次摸出的都是红球的概率为'=

故选:C.

19.（2025・河南•中考真题）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就.正面

分别印有甲骨文"美”"丽〃"山〃”河〃的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这四张卡片背面朝上洗

匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽〃和”山〃的概率是（）

A.*

【答案】B

【分析】本题考查列表法与树状图、概率公式，画树状图得出所有等可能的结果数以及卡片正面恰好为甲

骨文“丽，，和”山，，的结果数，再利用概率公式可得出答案.

【详解】解：将甲骨文“美""丽""山""河"四张卡片分别记为儿B,C,D,

画树状图如下:

共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为甲骨文“丽〃和“山”的结果有2种，

・••卡片正面恰好为甲骨文“丽”和"山"的概率为5

1，O

故选：B.

20.（2025・福建•中考真题）在分另J写有一1,1,2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的

数恰好互为相反数的概率是（）

A1-1八1c2

A-4B-3C-2D-3

【答案】B

【分析】本题考查列表法求概率，列出表格，利用概率公式进行计算即可.

【详解】解：由题意,列表如下:

-112

-1(-14)(-1,2)

1(1，-1)(1,2)

2(2,-1)(2,1)

共有6种等可能的结果，其中两张卡片上的数恰好互为相反数的情况有（一1,1）,（1,一1）两种，

,.D八_£6-_31.；

故选:B.

21.（2025・山东•中考真题）某班学生到山东省博物馆参加研学活动.博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚

醮钺"“蛋壳黑陶杯”"颂答〃为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品.若抽到每一

款的可能性相等，贝IJ甲、乙两位同学同时抽到“亚醺钺”的概率是（）

1-1八1c2

AA-9B-6C-3D-3

【答案】A

【分析】本题主要考查了运用列表法求概率，根据题意正确列表确定所有等可能结果数和符合题意的结果

数是解题的关键.

先用列表法确定所有等可能结果数和符合题意的结果数，然后用概率公式计算即可.

【详解】解：设三款镇馆之宝“亚醮钺”"蛋壳黑陶杯""颂等"分别用彳、B、C表示：

根据题意列表如下：

ABC

AA,ABA,C

BB,AB,BB,c

CC,AC,BC,c

则共有9种等可能结果，其中甲、乙两位同学同时抽到“亚醺钺”的结果数为1,则甲、乙两位同学同时抽到

“亚魏钺〃的概率是看

故过A.

22.（2025•黑龙江•中考真题）如图，随机闭合开关灯、K2.心中的两个，能让两盏灯泡■、上同时发光的

概率为.

Li&

IG

【答案吗

【分析】本题考查列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可.

【详解】解：由题意，列表如下：

I

KK2K3

KI，Ki，

Ki

K2K3

电心，

K?

治K3

心，K3，

K3

KiK2

共有6种等可能的结果，其中能让两盏灯泡订、人同时发光的结果有2种，

一3。

23.（2025•浙江•中考真题）现有六张分别标有数字1,2,3,456的卡片，其中标有数字1,4,5的卡片在甲手中,

标有数字2,3,6的卡片在乙手中.两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是.

【答案吗

【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键.

先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可.

【详解】解：画树状图为：

开始

/1\/1\

乙236236236

由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲出的卡片数字比乙大的结果数有4种，

二甲出的卡片数字比乙大的概率是也

故答案为：!

24.（2025•四川成都•中考真题）从一1,1,2这三个数中任取两个数分别作为a,b的值，则关于x的一元

二次方程+双+1=0有实数根的概率为.

【答案】1/0.5

【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，树状图法或列表法求解概率，根据判别式和一元二次

方程的定义可得2°,则/“Q且QH0,再列出表格得到所有等可能性的结果数，接着找到

扶＞4a且QH0的结果数，最后依据概率计算公式求解即可.

【详解】解：•••关于x的一元二次方程以2+以+1=。有实数根，

（^=bz—4a＞0

二［Q工0'

二接＞4a且Q工0,

列表如下：

ab-112

-1(-14)(-1,2)

1U.-l)(1,2)

2(2,-1)(2,1)

由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中满足板工4a且。工0的结果数有（1,一1）,（2,-1）,

（2,1）,共3种，

••・关于x的一元二次方程a/+"+1=0有实数根的概率为*=7,

故答案为:

25.（2025•安徽・中考真题）在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为20g和70g的物品后，天

平倾斜（如图所示）.现从质量为10g,20g,30g,40g的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘

上，则天平恢复平衡的概率为.

【答案】:

•5

【分析1本题考查概率的应用，通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情

况数，最后利用概率公式求解.

【详解】解：要使天平恢复平衡，则选取两件物品的质量和为70—20=50g,

列表如下：

10203040

10304050

20305060

30405070

40506070

二共有12种可能结果，其中吏天立恢复平1近的有4种，

...天平恢复平衡的概率为=±=1

故答案为:g.

26.（2025•山西•中考真题）如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按

钮，就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子.当位于格子力时，小明连续点击两

【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率；根据题意画出树状图，求出所有可能的结果数及事件发生

的可能结果数，利用概率公式即可求解.

【详解】解：画出树状图如下：

A

BD

AA

ACAE

由图知，所有可能的结果数为4,其中回到回到格子A的可能结果数为2,

则回到格子力的概率为P=3=最

故答案为：

27.（2025・广西•中考真题）从3,4,5三个数字中任选两个，则选出的两个数字之和是偶数的概率为

【答案】g

【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图解答即可求解，掌握树状图或列

表法是解题的关键.

【详解】解：画树状图如下：

开始

453534

和787989

由树状图可知，共有6种等结果，其中选出的两个数字之和是偶数的结果有2种，

•••选出的两个数字之和是偶数的概率为3

故答案为".

28.（2025・山东威海•中考真题）一个不透明的袋子中装有2个绿球、1个白球，每个球除颜色外都相同.小

明同学从袋中随机摸出1个球（不放回）后，小华同学再从袋中随机摸出1个球.两人摸到不同颜色球的

概率是.

【答案w

【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键.

先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可.

【详解】解：画树状图为：

开始

小明绿球域球白球

/\/\/\

小华城球门球绿球白球旦球绿煤

由树状图可知一共有6种等可能性的结果数，其中两人摸到不同颜色球的结果数有4种,

•••两人摸到不同颜色球的概率是［=

故答案为：

考点4用频率估计概率

29.（2025・贵州・中考真题）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上〃的概率，将同学们

获得的试验数据整理如下表：（）

抛掷次数n2060100120140160500100020005000

“正面朝_L”的次数机12385862758827555011002750

“正面朝上〃的频率t0.600.630.580.520.540.550.550.550.550.55

则抛掷这枚棋子出现“正面朝上〃的概率约为（）

A.0.52B.0.55C.0.58D.0.63

【答案】B

【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，事件发生的

频率会稳定在某个常数附近，该常数即可作为概率的估计值.观察表格数据，随着抛掷次数增加，频率逐

渐稳定在0.55附近，即可得出答案.

【详解】解：当抛掷次数较小时（如20次、60次等），频率波动较大（0.60、0.63等），当次数增加到500

次及以上时，频率稳定在0.55,所以抛掷这枚棋子出现“正面朝二”的概率约为0.55.

故选:B.

考点5有关概率计算的解答题

30.（2025.吉林•中考真题）在“健康中国2030〃与“休重管理年〃的行动引领下，某校田径社团开展了“202S健

康长跑”活动.由于参加的人数较多，场地空间有限，活动需分九氏C三组进行，每人只能被随机分配到

其中一组，分组工作由计算机软件完成.请用画树状图或列表的方法，求参与者小顺和小利被分配到同一

组的概率.

【答案】/

【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到参与者

小顺和小利被分配到同一组的结果数，最后依据概率计算公式求解即可.

【详解】解：列表如下：

小顺小利ABC

A(44)(B/)(C/)

B(48)(B,B)(C,8)

C(AC)(B,C)(C£

由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中参与者小顺和小利被分配到同一组的结果数有3种,

，参与者小顺和小利被分配到同一组的概率为亮=1

31.（2025•陕西•中考真题）某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水〃"历史〃”文

学〃“艺术〃〃科技"（分别记作48,C,D,E）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式.同学们在五

张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同.

⑴将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是"科技"的概率为：

⑵各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向.将这五张卡片背面朝上洗匀

后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随

机抽取一张.请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率.

【答案】⑴g

【分析】本题考杳了用列表或画树状图求概率，概率公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

（1）理解题意，得一共有五张卡片，卡片内容是“科技"的有一张，运用概率公式进行计算，即可作答.

（2）先理解题意，再画树状图，得到一共有25种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能结

果有20种，运用概率公式进行计算，即可作答.

【详解】（1）解：依题意，一共有五张卡片，卡片内容是“科技〃的有一张,

•••将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技〃的概率为最

故答案为：7-

（2）解：依题意，画树状图如卜所示：

开始

ABCDE

AB^4

ABCDEABCDEABCDE

.•.一共有25种等可能的结果,其中这两个小组研究方向不同的等可能结果有20种,

•••这两个小组研究方向不同的概率=黄=4

32.（2025•云南•中考真题）九年级某班学生计划到甲，乙两个敬老院开展献爱心活动，老师把该班学生分

成48两个小组，通过游戏方式确定去哪个敬老院.游戏规则如下：在一个不透明的箱子中放了分别标有数

字1,2的两张卡片（除数字外，都相同），班长先从这个箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为

x.在另一个不透明的箱子中放了分别标有数字1,2.3的三张卡片（除数字外，都相同），班长再从该箱

子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为y.若工=y,则4组学生到甲敬老院,B组学生到乙敬老院；若xhy,

则W组学生到乙敬老院，8组学生到甲敬老院.

⑴用列表法或画树状图法中的一种方法，求Qy)所有可能出现的结果总数；

⑵求4组学生到甲敬老院，8组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率R

【答案】⑴6

⑵g

【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率,熟练掌握相关知识点是解题的关键.

(1)画树状图，得到共有6种等可能的结果；

(2)根据树状图得到％='的结果有2种，利用概率公式计算即可.

【详解】(1)解：根据题意画树状图如下，

开始

/X

木A

123I23.•.共有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)共6种等可能的结果:

(2)解：由树状图得，x=y的结果有2种，

•••A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率P=京=：.

33.(2025•江苏扬州•中考真题)为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类

活动供学生选择：A.羽毛球，B.乒乓球，C.花样跳绳，D.踢健子，每名学生只能选择其中一种体育活

动.

⑴若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中"乒乓球〃的概率是:

(2)请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率.

【答案】⑴*

*

【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键.

(1)根据概率公式直接求解；

(2)先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解

即可.

【详解】(1)解：•••有4种体育类活动供学生选择：A.羽毛球，B.乒乓球，C.花样跳绳，D.踢健子，

，选中，，乒乓球，，的概率是为

故答案为：；：

(2)解：画树状图为：

开始

小明

小聪

由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的结果数有4

种，

，小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率是a=

34.（2025•江苏连云港•中考真题）一只小透明的袋子中装有1个红球和3个臼球，这些球除颜色外都相同.

⑴搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是;

（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球.用画树状图或列表的方

法，求2次都摸到白球的概率.

【答案】⑴；

⑵记

【分析】本题考查树状图法求概率,正确的画出树状图,是解题的关键：

（1）直接利用概率公式进行计算即可；

（2）画出树状图，利用概率公式进行计算即可.

【详解】（1）解：由题意，共有1+3=4个球，搅匀后从中任意摸出1个球，有4种等可能的结果，其中

摸到红球的情况只有1种，

，摸到红球的概率是右

（2）根据题意，红球用力表示，3个白球分别用氏C,。表示，画出如下的树状图：

第一次摸球A

第二次摸球ABCDABCDABCDABCD

由图可知，共有16种等可能结果，其中2次都摸到白球的结果有9种，

所以2次都摸到白球的概率为心

35.（2025•江苏苏州・中考真题）为了弘扬社会主义核心价值观，学校决定组织“立鸿鹄之志，做有为少年〃主

题观影活动，建议同学们利用周末时间自主观看.现有4B,。共3部电影，甲、乙2位同学分别从中任意

选择1部电影观看.

⑴甲同学选择/电影的概率为;

（2）求甲、乙2位同学选择不同电影的概率.（请用画树状图或列表等方法说明理由）

【答案”呜

*

【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适

合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与

总情况数之比.

（1）直接根据概率公式求解即可；

（2）首先根据题意画出树状图或列表格，然后由树状图或列表格求得所有等可能结果，从中找到符合条件

的结果数，再根据概率公式计算可得.

【详解】（1）•.•现有4B,C共3部电影，

••・甲同学选择彳部电影的概率是:.

故答案为：

（2）用树状图或利用表格列出所有等可能的结果：

开始

甲ABC

/N/NZ\

乙ABCABCABC

乙同学选择电影

甲同学选择电影

ABC

AAAABAC

BBABBBC

CCACBCC

那么总结果有9种，甲、乙2位同学选择不同电影的结果有6种，

・•.P（甲、乙2位同学选择不同电影）号=|.

36.（2025•江西・中考真题）校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动.每轮均有四个完全相

同的盲盒，分别装着写有“幻方"、"数独"、"华容道〃、"鲁班锁〃游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个

盲盒，盲盒打开即作废.

⑴若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是（）

A.必然事件B.随机事件C.不可能事件

⑵若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有

"华容道"和〃鲁班锁”卡片盲盒的概率.

【答案】（1）B

屣

【分析】本题主要考查了随机事件、列表法求概率等知识点，正确列表成为解题的关键.

（1）直接根据随机括件的定义即可解答：

（2）将"幻方〃、"数独〃、”华容道〃、"鲁班锁"四个游戏分别记作力、B、C、D,然后列表确定所有等可能结

果数以及符合题意的结果数，然后运用概率公式求解即可.

【详解】（1）解：•.•随机抽取一个盲盒并打开，四个游戏均有可能，

•••随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有"数独”卡片的事件是随机事件.

故选B.

（2）解："幻方"、"数独"、"华容道”、"鲁班锁〃四个游戏分别记作/、B、。、D,

根据题意列表如下：

ABCD

AA,B力，CA,D

BB,AB,CB,D

CC,AC,BC,D

DD,AD,BD,C

则共有12种结果，两人恰好抽中装着写有“华容道"和"鲁班锁〃卡片盲盒的情况数为2.

所以两人恰好抽中装着写有“华容道〃和“鲁班锁”卡片盲盒的概率为5=7.

1Zo

37.（2025•甘肃平凉•中考真题）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成3个扇形，分别涂有“红、

白、蓝''三种颜色，转盘指针固定转动转盘，等转盘停止转动后，观察指针所落区域的颜色若指针落在区域

分界线上，则重新转动转盘.

⑴任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为;

⑵任意转动转盘两次（第•次转动转盘，等转盘停止转动后，再第二次转动转盘），用画树状图或列表的方

法求指针所落区域颜色不同的概率.

【答案】明

（2）|,见解析

【分析】本题考查几何概率，利用列表法求概率，正确的列出表格，熟练掌握概率公式，是解题的关键；

（1）直接利用概率公式进行计算即可；

（2）列出表格，利用概率公式进行计算即可.

【详解】（1）解：由图可知，任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为最

故答案为：

（2）列表如下:

第二次

红白蓝

第一次

红（红，红）（红，白）（红，蓝）

白（白，红）（£,白）（白，蓝）

（蓝，红）（福白）（蓝，蓝）

・••共有9种等可能结果，颜色不同的结果有6种,

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’‘尸（颜色不同）一§一§•

38.（2025・四川德阳•中考真题）2025年1月24日至2月16日，以“三星璀璨灵蛇献瑞”为主题的第十六屈

德阳灯会在玄珠湖公园盛大举行，设置"三星梦境”“德阳光华〃等五大主题板块.灯会结束后，主办方随机抽

取多名游客进行满意度调查（每人只能选择一项），用4、B、aD、E分别代表一大主题板块，整理得到

以下不完整统计表；

主题板块频数（满意人数）频率（所占比例）

A180036

Ba0.20

C75

D

hC

E

⑴直接写上4a、b、c的值；

（2）根据以上抽样调查结果，游客最满意的主题板块是什么？若本届灯会实际接待游客达20000。人，请估计

最满意此板块的人数：

⑶若灯会工作人员中有4名青年志愿者，其中有2名男性、2名女性，现随机抽取2名青年志愿者进行视频

采访，请利用画树状图或者列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率.

【答案】⑴a=100，b=145,c=0.29

⑵游客最满意的主题板块是力板块：当本届灯会实际接待游客达200000人时，估计最满意此板块的人数是

72C00人

（3）|

【分析1本题考查了列表法和树状图法求概率，统计表的综合运用，以及用样本估计总体.

（1）利用力板块的频数和频率求得样本容量，再求出〃、氏c的值；

（2）利用样本估计总体求解即可；

（3）利用树状图表示出所有可能，进而利用概率公式求出即可.

【详解】（1）解：180+0.36=500人，

=500X0.2=100,

/）=500-180-100-75=145,

筮=829；

（2）解：根据以上抽样调查结果，游客最满意的主题板块是力板块.

200000x0.36=72000（人）

答：当本届灯会实际接待游客达200000人时，估计最满意此板块的人数是72000人.

（3）解：画树状图如图：

开始

男男女女

/NZN/N/1\

男女女男女女男男女男男女

共有12种等可能结果，其中“1名男生和1名女生”的结果有8种，

••.P（一男一女）=^=|.

答：恰好是1名男生和1名女生的概率是g.

39.（2025•甘肃•中考真题）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成3个扇形，分别涂有"红、自、

蓝"三种颜色，转盘指针固定.转动转盘、等转盘停止转动后，观察指针所落区域的颜色.若指针落在区域

分界线上，则重新转动转盘.

⑴任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为:

⑵任意转动转盘两次（第一次转动转盘，等转盘停止转动后，再第二次转动转盘），用画树状图或列表的方

法求指针所落区域颜色不同的概率.

【答案】⑴3

【分析】本题考查几何概率，利用列表法求概率，正确的列出表格，熟练掌握概率公式，是解题的关键：

（1）直接利用概率公式进行计算即可；

（2）列出表格，利用概率公式进行计算即可.

【详解】（1）解：由图可知，任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为上

故答案为:

（2）列表:

第二次

红白蓝

第一次

红（红，红）（红，白）（红，蓝）

白（白，红）（白，白）（白，蓝）

蓝（盛，红）（蓝,白）（蓝,蓝）

・••共有9种等可能结果，颜色不同的结果有6种,

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’‘尸（颜色不同）一§一§♦

考点6概率与统计综合

40.（2025•四川资阳•中考真题）为丰富学生课外锻炼活动，某学校增设了力（足球）、B（篮球）、C（体

操）、D（田径）四个锻炼项目，每名学生只能选择其中的一项.为了解学生的选择情况，随机抽取部分学

生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.根据图中所提供的信息，解答下列问

⑴本次调查共抽取了名学生，并补全条形统计图；

（2）在扇形统计图中，求项目。对应的圆心角度数；

⑶已知选择项目。的学生是2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机抽取2名参加比赛，用画树状图

或列表法求抽到两名性别相同的学生的概率.

【答案】（1）80；条形统计图见详解

（2）72°

（3*

【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的关联，以及用画树状图或列表法求概率，解题关键是理解

题意，能结合两种图形获取有效信息.

（1）已知力项目所占圆心角度数为144。，可根据辞，先求出其占总人数的比例，再根据力项目人数为32

人，即可求出总人数；进而根据总人数求出C类人数，即可完成条形统计图：

（2）由（1）中C类人数，可先求出其占总人数的比例，再用比例与360。相乘即可求出对应圆心角的度数;

（3）首先画出树状图，由图可得所有等可能的结果数量，以及恰好两名性别相同的学生的结果数量，再根

据概率公式即可求解.

【洋解】（1）解：由图可知，本次被调查的学生共有：32+端=80（人）

C项目人数为：80-32-28-4=16（A）,完整条形统计图如下：

各项目人数的条形统计图

（2）C类对应的圆心角的度数为：言X360。=72。.

（3）画出树状图如下所示:

男1男2女I女2

男2女I女2男I女I女2男I男2女2男I男2女I

由上图可得，共有12种等可能的结果，其中两名性别相同的学生的结果有4种,

,恰好两名性别相同的学生的概率为：P=^=1.

JL4O

41.（2025•吉林长春•中考真题）长春市人民广场是中心景观类环岛型交通广场，以开阔的空何、精美的建

筑和多彩的绿化而驰名.甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场，它们各自从力、8、C三个出口

中随机选择一个出口驶出.用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率.

【答案吗

【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键.

先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可.

【详解】解：由题意得，可画树状图为:

开始

甲ABC

小/f\/1\

乙ABCABCABC

由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果数有3种，

这甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率是g=

42.（2025・四川南充・中考真题）为了弘扬优秀传统文化，某校拟增设四类兴趣班一4川剧班、B皮影班，C

剪纸班、。木偶班.学校的调研小组在全校随机抽取了部分学生进行问卷调查，调查问题是“你最希望增设

的兴趣班〃（四类中必选并只选一类），调研小组根据调查结果绘制出如下不完整的统计图.

⑴求问卷调查的总人数，并补全条形图.

（2）若该校共有800名学生，估计最希望增设"木偶班”的学生人数.

⑶本次调研小组共有5人，其中男生3人，女生2人，现从5人中随机抽取2人向学校汇报调查结果，求

恰好抽中一男一女的概率.

【答案】（1）100人，补全统计图见解析

（2）240人

屣

【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，用样本估计总体，树状图或列表法求解概率，

正确理解题意，读懂统计图是解题的关犍.

（1）由力川剧班得人数除以占比，即可求解问卷调查的总人数，然后由总人数减去4SC的人数求出。木偶

班人数，即可补全条形统计图；

（2）用样本估计整体的方法即可求解：

（3）先问出树状图得到所有等可能性的结果数，冉找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解

即可.

【详解】（1）解：问卷调查的总人数为：26・26%=100（人），

••.D木偶班人数为：100—26—24—20=30（人），

••・补全统计图：

（2）解：最希望增设“木偶班”的学生人数：800x-^=240（人）,

答：最希望增设"木偶班"的学生有240人；

（3）解：画树状图为:

开始

男男女女男男女女男男女女男男男女男男男女

由树状图可知一共有20种等可能性的结果数，恰好抽中一男一女的结果数有12种，

二恰好抽中一男一女的概率是非="

43.（2025・湖南长沙•中考真题）2025年5月18日，湖南省第三屈大中小学阅读教育论坛在长沙举行.论坛

聚焦美育与阅读融合.为探索美育与阅读融合的新路径，某校举行了以“美育与阅读融合''为主:题的知识竞赛,

竞赛成绩以等级式呈现，随机抽取了部分参赛学生的成绩进行统计，得到如下两幅待完善的统计图表.（力

代表优秀、4代表良好、C代表一般、。代表合格.）

等频频

级数率

A20m

B300.30

Cn0.44

D60.06

占、—

根据图表中所给信息，解答下列问题：

⑴本次调查随机抽取了名学生的成绩；表中m=,n=

⑵在扇形统计图中，“4等”所对应的扇形的圆心角为度：

⑶若该校八年级一班和二班恰好各有2名学生的参赛成绩是“力等〃，从这4名学生中随机抽取2名学生参加

以“美育与阅读融合”为主题的校级阅读分享活动，请用列表法或树状图法求选出的2名学生恰好来自同一个

班级的概率.