高考数学二轮复习专项突破（新高考版）空间几何体

ZHUANTISI

专题四立体几何

第1讲空间几何体

［考情分析］空间几何体的结构特征是立体几何的基础，空间几何体的表面积和体积是高考

的重点与热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏上.

考点一空间几何体的折展问题

【核心提炼】

空间几何体的侧面展开图

1.圆柱的侧面展开图是矩形.

2.圆锥的侧面展开图是扇形.

3.圆台的侧面展开图是扇环.

例1(1)“莫言下岭便无淮，赚得行人空喜欢.”出自南宋诗人杨万里的作品《过松源晨炊

漆公店》.如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为40km,山高为

40/15km,B是山坡SA上一点，且A8=40km.为了发展旅游业，要建设一条从A到月的环

山观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，下坡路段长为()

A.60kmB.12^6km

C.72kmD.12VBkm

答案C

解析该圆锥的母线长为寸(40巫)2+4()2=160,

所以圆锥的侧面展开图是圆心角为二［蓝4°=］的扇形,

如图，展开圆锥的侧面，连接A'B,

4；

P

SBA

由两点之间线段最短，知观光公路为图中的A'B,AfB=ylSA'2+SB2=^I6O2+12O2=200,

过点S作A'8的垂线，垂足为H,

记点产为A'8上任意一点，连接尸S,当上坡时，尸到山顶S的距高PS越来越小，当下坡

时，尸到山顶S的距离PS越来越大，

则下坡段的公路为图中的”用

由RtZ\SA'BsRtdHSB,

SB212（户

得HB=A<8=200=72（km）.

（2）（2022•深圳检测）如图，在三棱锥P-ABC的平面展开图中，AC=\[3,AB=\,AD=\,

n

A6_LAC,A6_LAO,ZCAE=3（）f则cosN尸C3等于（）

答案D

解析由题意知，AE=AD=AB=],BC=2,

在aACE中，由余弦定理知，

CE2=AE1+AC2-2AEACCOSZCAE

=l+3-2XlX小义乎=1,

：,CE=CF=\t而BF=BD="BC=2,

・••在ABCr中，由余弦定理知，

Bd+c产一B产4+1—23

CQSZ.FCB=2BCCF=2X2X1=4'

规律方法空间几何体最近距离问题，一般是将空间几何体展开成平面图形，转化成求平面

中两点间的最短距离问题，注意展开后对应的顶点和边.

跟踪演练1（1）（多选）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中

正确的是（）

A

A.CGGH

B.C。与E厂是共面直线

C.AR//F.F

D.G”与E尸是异面直线

答案ABD

解析由图可知，还原正方体后，点。与G重合，

即CQGH、

又可知CO与£尸是平行直线，即CO与£r是共面直线，A8与所是相交直线(点8与点产

重合)，G”与EF是异面直线，故A,B,D正确，C错混.

(2)如图，在正三棱锥P-/1AC中，N人P8=N8PC=NC出=3()。，PA=PB=PC=2,一只虫

子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，乂【可到4点，则虫子爬行的最短距离是()

A.3\[2B.3小

C.2小D.2啦

答案D

解析将三棱锥由附展开，如图所示，则/川知=90。,

所求最短距离为的长度，=2,

・••由勾股定理可得

方法二设两圆锥的母线长为/,甲、乙两圆锥的底面半径分别为

侧面展开图的圆心角分别为H],H2

।S/冗一/27r-

则nil由c-I=-29

S乙uni〃2心

2兀

吃爆=2.

由题意知〃1+〃2=2兀，

所以n\=寸，〃2=空*

所以2加门=争，27n*2=竽/,

得「=|/,r2=|/.

由勾股定理得，力1=针一彳=监,

5花鼻平/,

（2）（多选）（2022•新高考全国H）如图四边形ABCD为正方形，£D_L平面ABCD,FB//ED,

A4=EO=2F8.记三棱锥E-ACD.F—ABC,〃一ACE的体积分别为％,匕，3，则（）

A.匕=23B.V3=Vi

C.V3=Vi+V2D.2V3=3V,

答案CD

解析如图，连接交AC于O,连接OE,OF.

A

B

设A8=EQ=2/，B=2,

则AB=8C=CQ=AO=2,

FB=\.

因为ED，平面ABCD,FB〃ED,

所以FB_L平面48CQ,

所以％=Vt-ACD=1^4CzrXCDED=^X1X2X2X2=1,

11111?

V2=VF-ABC=^S^ABCFB=^XyABBCFB=^X-X2X2X1=不

因为EO_L平面44cO,ACU平面A4C。，

所以EDA.AC,

又AC_L8O,

且EOGBD=。，ED,BDU平面BDEF,所以AC_L平面8OEF.

因为OE,OU平面BDEF,

所以4C_LOE,ACLOF.

易知AC=8D=V^A8=25，

OB=OD=3BD=®

。产=、。炉+/加2=小，

OE=顺河丽=丽

EF=\BU+(ED—FB)2

=、(2商+(2_1)2=3,

所以E产=0七2+。尸，所乂OALOE.

又O£：n4C=O,OE,ACU平面4CE,

所以平面ACE,

所以V3=VF-ACE=^S^ACEOF

=；X；X2pX,x/=2,

所以g六2%,匕六匕，V5=V|+V2,2V3=3VH

所以选项A,B不正确，选项C,D正确.

规律方法空间几何体的表面积与体积的求法

(1)公式法：对于规则的几何体直接利用公式进行求解

(2)割补法：把不规则的图秒分割成规则的图形，或把不规则的几何体补成规则的几何体，不

熟悉的几何体补成熟悉的几何体.

（3）等体积法：选择合适的底面来求体积.

7

跟踪演练2（1）已知圆锥的顶点为S,母线SA,S3所成角的余弦值为鼻SA与圆锥底面所成

O

角为45。，若△SA3的面积为5正，则该圆锥的侧面积为（）

A.8即兀B.40

C.40V2nD.4O\/57C

答案C

7

解析由圆锥的顶点为S,母线SA,S3所成角的余弦值为《，

O

可得可/458=。1—©2=誓,

又aSAB的面积为5回，

可得会%2§由NASB=5仃，

即专以2乂隼一5行，可得S/A—44，

由SA与圆锥底面所成角为45。，

可得圆锥的底面半径为乎X44=2也，

则该圆锥的侧面积为兀X2亚X4小=42兀

⑵（2022.连云港模拟）如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2,则该

圆台的体积是（）

答案B

解析如图，设上底面的半径为尸，下底面的半径为R,高为儿母线长为/,

则2兀「=兀",2兀/?=冗・2,

解得「=＜，R=1,

/=2-1=1,

上底面面积S'

下底面面积S=nl2=n,

则该圆台的体积为以S+S，+小于~）h=

（171ny[3ly[3n

l卜+尹1力

3Xx2=24.

考点三多面体与球

【核心提炼】

求空间多面体的外接球半径的常用方法

⑴补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或长

方体中去求解；

⑵定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆同心,

找其垂线，则球心一定在毛线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可.

例3（1）（2022•烟台模拟）如图，三棱锥V-ABC中，区_L底面ABC,NB4C=90。，AB=AC

=VA=2,则该三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（）

A.（2一小）：1B.（2小一3）：1

C.（小一1）：3D.（小一1）：2

答案C

解析因为％_L底面ABC,AB,ACU底面ABC,

所以VALAB,VA1AC,

又因为N84C=90。，

所以48_LAC,AB=AC=VA=2,

所以三条互相垂直且共顶点的棱，可以看成正方体中共顶点的长、宽、高，因此该三棱锥外

接球的半径

/?=^X-\/22+22+22=V3,

设该三棱鞋的内切球的半径为r,

因为NZMC=90。，

所以BC=^AB2+AC2=yj22-i-22=2^/2,

因为%_LA8,VAA.AC,AB=AC=VA=2t

所以VB=VC=yJvA2+AB2=yl22^-22=2y/2,

由三棱锥的体积公式可得，

3x|x|x2X2-r+|x|x2V2X2V2X^.r=|x|x2X2X2=>r=^y^,

3—\/5

所以广：:小=［小一1）:3.

⑵（2022・新高考全国H）已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为35和4小，其顶点

都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A.10（）71B.128兀

C.144兀D.192兀

答案A

解析由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为|x坐X35=3,坐X4小

=4.

设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为0”。2,连接。。2（图略），则。1。2=1,其外接

球的球心O在直线上.

设球。的半径为R,当球心。在线段。。2上时，2=32+00仁42+（1-00）2,

解得0。=4（舍去）；

当球心。不在线段。。2上时，/?2=42+OO5=32+（l+OC>2）2,解得002=3,

所以R2=25,

所以该球的表面积为4冗2=I（）0兀.

综上，该球的表面积为10。兀

规律方法（1）求锥体的外接球问题的一般方法是补形法，把锥体补成正方体、长方体等求解.

（2）求锥体的内切球问题的一般方法是利用等体积法求半径.

跟踪演练3（1）（2022.全国乙卷）已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点

均在球。的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

A.|B.；

C坐D*

答案c

解析该四棱锥的体积最大即以底面截球的圆面和顶点。组成的圆锥体积最大.

设圆锥的高为〃(0</?<1),底面半径为广，

则圆锥的体积丫=；兀/2力=；兀([—a2)〃，

则S=|n(l-3A2),

令V'=£兀(1—3力2)=0,得/?=坐，

所以V=|TI(1-h2)h在(0,坐)上单调递增，

在(乎，1)上单调递减，

所以当力=乎时，四棱锥的体积最大.

(2)(2022・衡水中学调研)将两个一模一样的正三棱锥共底面倒扣在一起，已知正三棱锥的侧棱

长为2,若该组合体有外接球，则正三棱锥的底面边长为,该组合体的外接球的体

积为,

答案76%

解析如图，连接布交底面8C。于点。，则点。就是该组合体的外接球的球心.

设三棱锥的底面边长为

则CO=PO=R=冬，

得啦又坐〃=2,

所以。=#,R=啦，

所以，=条(啦)3=理].

专题强化练

一、单项选择题

1.（2022・唐山模拟）圆柱的底面直径与高都等于球的宜径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比

值为（）

A.1：1B.I：2

C.2：1D.2：3

答案A

解析设球的半径为r,依题意知圆柱的底面半径也是r,高是2r,圆柱的侧面积为2nr-2r

=4兀3，球的表面积为4兀户，其比例为1:I.

2.（2021・新高考全国I）已知圆锥的底面半径为小，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的

母线长为（）

A.2B.2^2C.4D.46

答案B

解析设圆锥的母线长为〃因为该圆锥的底面半径为，L所以2冗义陋=内,解得/=2吸.

3.某同学为表达对“新冠疫情”抗疫一线医护人员的感激之情，亲手为他们制作了一份礼物,

用正力体纸盒包装，并在正力体六个面上分别写了“致敬最美逆行”六个字.该正力体纸盒

水平放置的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如图是该正方体

的展开图.若图中“致”在正方体的后面，那么在正方体前面的字是（）

A.最B.美C.逆D.行

答案B

解析把正方体的表面展开图再折成正方体，如图，面“致”与面“美”相对，若“致”在

正方体的后面，那么在正方体前面的字是“美”.

4.已知正方体/WC。一ABCiG的棱长为2,则三棱锥A-BCQi的体积为（）

48

--C46

A.3B.3D.

答案B

解析如图，三棱锥A-BCOi是由正方体A5CD—4向GA截去四个小三棱锥

C-BiCiDi,Bi-ABCfC-ACD形成的,

又匕BCZf81GQ=23=8,

VvV-V&-ABC-^Df-ACD

C-BlClDl

114

-X-X23-

32=V

48

所

以匕84X-

-一

-33

5.（2022・河南联考）小李在课间玩耍时不慎将一个篮球投掷到一个圆台状垃圾篓中，恰好被上

底口（半径较大的圆）卡住，球心到垃圾篓底部的距离为5#6小垃圾篓上底面直径为2面，下

底面直径为18小母线长为13a,则该篮球的表面积为（）

A.1547U/2B.与％?

C.308M2D.616M2

答案D

解析球与垃圾篓组合体的轴截面图如图所示.根据题意，设垃圾篓的高为〃，则

h=y］（l3a>—（12a—94=4也&

所以球心到上底面的距离为木5”.

设篮球的半径为「，

则J=10a2+（i2〃）2=i54〃.

故篮球的表面积为4n户=616兀/.

6.（2022・湖北联考淀义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm）来判断降雨程度.其中小雨（〈10mm）,

中雨（10mm〜25mm）,大雨（25mm〜50mm）,暴雨（50mm〜100mm）,小明用一个圆锥形容

器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）

H—20()mm—*i

3()()mm

15()mm

A.小雨B.中雨

C.大雨D.暴雨

答案B

解析由题意知，一个半径为等=100(mm)的圆面内的降雨充满一个底面半径为等X^=

50(mm),高为150(mm)的圆锥,

|7rX5O2X15O

所以积水厚度d=----乂［心—=12.5(mm)，属于中雨.

71A1UU

7.(2022・八省八校联考)如图，已知正四面体A3CQ的棱长为1,过点6作截面。分别交侧棱

AC,AQ于E,尸两点，且四面体ABEr的体积为四面体A8CO体积的;，则破的最小值为()

B乎C.lD.申

当4J，

答案D

解析由题知VB-AEF=\vR-ACDy

)亚=亚

所以S^AEF—3^AACZ~3XX1X1X2—12'

记AE=htAF=c,

则［jcsin60°=害，即/?c=T.

则tr=Z72+c2—2Z?ccos60022bc—bc=bc=g,

当且仅当〃=c=当时取等号,

所以。即£尸的最小值为乎.

8.（2022・新高考全国I）已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同•球面上.若该球的体

积为36兀，且3W/W3小，则该正四棱锥体积的取值范围是（）

A[18,朗B母y]

c[%y]D.[18,27]

答案C

解析方法一如图，设该球的球心为。，半径为七正四棱锥的底面边长为4,高为力,

4

依题意，得367r

解得H=3.

由题意及图可得[14狗:

"二淀=不

解得1厂

1/=2尸一至

所以正四棱锥的体积V=\a2h

=歌0枭&-知3WW34）,

所以仆=$3_（=/（4一。“笈3S）.

令9=0,得/=2%，

所以当3〈/<2加时，V,>0；

当2%</W3小时，V'<0,

所以函数V=£（2一知3<々35）在[3,2佝上单调递增，在（2#,3小]上单调递减,

77

又当/=3时，V=—：

当/一2加时，V—3；

当/—3馅时，V—曾，

所以该正四棱锥的体积的取值范围是

方法二如图，设该球的球心为0,半径为R,正四棱锥的底面边长为〃，高为/?,

4

依题意，得36兀=?兀

解得R=3.

由题意及图可得1

[7?2=（/f2+（半¥

〃-2RF

解得J/

卜=2-一同，

又34/£3点,

所以该正四棱锥的体积V=ja2h

=歌一品=柒焉

-72X36-36-（218）

W72X36&+（2is）答

（当且仅当会=2—*,即/=2加时取等号），

64

所以正四棱锥的体积的最大值为中，排除A,B,D.

方法三如图，设该球的半径为R,球心为0,正四棱锥的底面边长为。，高为九正四棱锥

的侧棱与高所成的角为0,

依题意，得36%=）/?3,

解得及一3,所以正四棱锥的底面边长a—港/sin0,高/L/COS。

在△OPC中，作OEUC,垂足为E,

1_

则可得85<9=於是阴,

所以/=6cos

所以正四棱锥的体积

V=\a2h=1(V2/sin/9)2-/cos0

DJ

=j(6cosepsi/Ocos0=144(sin^cos2^)2.

设sin夕=/,易得£x,¥,

■乙J.

则)，=sin<9COS2^=r(1—r2)=r—?,

则)/=1-3产.令)/=0,得—噂,

所以当;</<乎时，_/>0；

当当琴时,〈°，

所以函数尸一户在&明上单调递增，在惇,明上单调递减.

又当尸当时，尸挈；当时，y=|；

当/=孚时，y=平，

所以*WyW手，所以与WVW号.

所以该正四棱锥的体积的取值范围是厚y].

二、多项选择题

9.（2022.武汉模拟）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,

下列结论正确的是（）

A.圆柱的侧面积为4兀/?2

B.圆锥的侧面积为2兀/?2

C.圆柱的侧面积与球的表面积相等

D.球的体积是圆锥体积的两倍

答案ACD

解析对于A,•・•圆柱的底面直径和高都等于2R,

，圆柱的侧面积SI=2TCR-2R=4T班2,故A正确；

对于B,•・•圆锥的底面直径和高等于2凡

，圆锥的侧面积为

S2=TTR7R2+4R2=小兀R2,故B错误；

对于C,圆柱的侧面积为SI=4TCR2,

球的表面积S3=4兀R2,即圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确；

4

对于D,球的体积为—=开/?3,

圆锥的体积为Vo=1n/?2-2/?=yn/?3,

即球的体积是圆锥体积的两倍，故D正确.

10.设一空心球是在一个大球（称为外球）的内部挖去一个有相同球心的小球（称为内球），已知

内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1,若某正方体的所有顶点均在外球面上且所有

面均与内球相切，贝U（）

A.该正方体的棱长为2

B.该正方体的体对角线长为3+小

C.空心球的内球半径为小一1

D.空心球的外球表面积为（12+6小）兀

答案BD

解析设内、外球半径分别为r,R,则正方体的棱长为2〃体对角线长为2R.,・??=小r,

又由题知R-r=l,

.小+19S+3

••/-2,K-29

・•・正方体棱长为5+1,体对角线长为3+小，

・••外接球表面积为4兀收=（12+6小）兀

11.如图，已知四棱台48CQ-A山1CQ的上、下底面均为正方形，其中AB=2啦，4山产，L

AAl=BBi=CC\=DDl=2,则下列叙述正确的是（）

..一.JLB....

A.该四棱台的面为小

B.M_LCG

C.该四棱台的表面积为26

D.该四棱台外接球的体积为瞥

答案AD

解析将四棱台补为如图所示的四棱锥尸一A8CO,分别取8C,SG的中点E,E1,

记四棱台A8CO—43iGn的上、下底面中心分别为Oi,O,连接ACA1C1,BDi,丛。”

40,OE,OP,PE,

由条件知4,Bi,CH。分别为四棱锥的侧棱阳，PB,PC,PD的中点，

则以=2AA|=4,OA=*AB=pAiBi=2,

所以OO\=^PO=^\jPA2—OA2=y）3,

故该四棱台的高为小，故A正确；

由%=PC=4,AC=4,得△B4C为正三角形,

则AAi与CG所成角为60、故B错误；

四棱台的斜高/=^PE=^PO2+OE2

=却（2小产+（近”年,

所以该四棱台的表面积为

(26)2+(啦)2+4X小半皿X华

=10+677,故C错误；

由△RAC为正三角形，易知O4=CM=OC=OG,OBi=ODi=OB=OD,

47r

所以。为四棱台外接球的球心，且外接球的半径为2,所以该四棱台外接球的体积为了义23

3

12.（2022・聊城模拟）用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状,

则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱.这两人截面称为斜圆柱的底面，两底面之

间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高.椭圆的面积等于长半轴长与短

半轴长乘积的兀倍，已知某圆柱的底面半径为2,用与母线成45。角的两个平行平面去截该圆

柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项正确的是（）

A.底面椭圆的离心率为学

B.侧面积为24班兀

C.在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为36兀

D.底面积为4限兀

答案ABD

解析不妨过斜圆柱的最高点。和最低点B作平行于圆柱底面的截面圆，夹在它们之间的几

何体是圆柱，如图，矩形八BCD是圆柱的轴截面，平行四边形8FQE是斜圆柱的过底面椭圆

的长轴的截面，

由圆柱的性质知ZABF=45°,

贝ijBF=^AB,

设椭圆的长轴长为2”，短轴长为2A,

则2〃=5-2仇即〃=让＞

所以离心率为0=?=乎，A正确；

作EG1.BF,垂足为G,则EG=6,

易知/E/?G=45°.则

又C£=AF=A3=4,

所以斜圆柱侧面积为S=2HX2X（4+6啦）一2兀X2X4=24，5mB正确；

由于斜圆柱的两个底面的距离为6,而圆柱的底面直径为4,所以斜圆柱内半径最大的球的半

径为2,球的表面积为47rx2?=16兀，C错误；

易知28=4,则人=2,a=2也，

所以椭圆面积为=4巾兀，D正确.

三、填空题

13.（2022.湘潭模拟）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，也叫做陀罗.陀螺的形状结构如图所示,

由一个同底的圆锥体和圆柱体组合而成，若圆锥体和圆柱体的高以及底面圆的半径长分别为

h\,hi，r,且hi=hi=r,设圆锥体的侧面积和圆柱体的侧面积分别为Si和S）,则自=，

答案坐

解析由题意知，

圆锥的母线长为/=5汗下

则圆锥的侧面积为Si=7trl=y[27ir,

根据圆柱的侧面积公式，可得圆柱的侧面积为

S2=2Tirli2=2nr,所以*二堂