高考数学一轮复习教案：数列通项（解析版）

第16讲数列通项

【知识点总结】

一、观察法

根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法归纳出其数列通项.

二、利用递推公式求通项公式

①叠加法：形如。,用=〃〃+/（〃）的解析式，可利用递推多式相加法求得4〃

②叠乘法：形如。0）（〃之2,〃wN"）的解析式，可用递推多式相乘求得

③构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列

构造成为等差或等比数列来求其通项公式.常用的技巧有待定系数法、取倒数法和同除以指数法.

④利用S〃与an的关系求解

形如了（5“，5〃_1）=月（々“）的关系，求其通项公式，可依据

S,（77=1）

a=<*，求出a

"吐2,〃EN）〃

【典型例题】

（多选）例1.（2022・全国•高三专题练习）数列｛〃”｝的前〃项和为S〃，4=1,〃,用=25“（〃£1<）,则有

）

A.S〃=3门B.｛S”｝为等比数列

1,71=1

c.%=2.3-D.。刁2y242

【答案】ABD

【详解】

依题意Q=1MM=2S”（〃WN）,

当〃=1时，%=2%=2,

当〃22时，an=2S…

4+1-4=2S”一2s“t=2an,所以%=H,

所以为=4・31=2・31（/注2）,

所以4寸2门心2・

当〃22时，S,=誓=3“T；当〃=1时，，=q=l符合上式，所以S“=3"T.

率=3,所以数列｛S,,｝是首项为1,公比为3的等比数列.

所以ABD选项正确，C选项错误.

故选：ABD

例2.（2022•全国•高三专题练习）已知数列｛q｝的首项6=1,满足--。“=（-：）”（〃eN）则。刈L

依题意”1,%一%=卜引，

所以〃刈8=4+(6-4)+(%-&)+•••+(〃刈8-a刈7)

2（1V

故答案为：--

例3.（2022•全国•高三专题练习）已知数列｛q｝满足4=1,且（//>2）,则数列｛〃“｝的

3\3/

通项公式为=.

【答案】—

【详解】

•・F=m（〃N2）,

・•・3Z,=3”%,i+l(让2),

即3'4-3"-%曰=1（〃之2）.又q=l,力吗=3,

・•・数列｛3"q｝是以3为首项，1为公差的等差数列，

/.y'alt=3+（〃-1）x1=〃+2,

・•・数列｛4｝的通项公式可=祟.

故答案为：爷.

例4.（2022・全国•高三专题练习）已知数列｛4｝的首项为1且满足+1）的（〃之2,〃cN）

求｛q｝的通项公式.

【详解】

由（〃+1）4=（〃一1卜=，得］=Q，

又4=g，所以当〃22时，

q=&.也.吐…竺.生〃=吧.1.9...2，，=1,

"an-\an-lan-3%%'H+\fl〃一1432

1

又〃=1也满足上式，所以%=而切；

例5.（2022.全国•高三专题练习）已知数列｛叫的前〃项和为S“，q=l,?+?+…宅+%■=〃（〃.⑵，

12n-\n

«eN\求数列｛《J的通项公式.

【详解】

解：因为4=1,3+与+…&+%=

I2〃-1n

所以1+幺=2,。,=2,又&+&+…殳+也=〃+1（**）,

2"12nn+\

（**）—（*）得巴出；=1，所以《一=〃+1，又4=1，%=2,

所以〃”=〃，〃eN*.

例6.（2022・全国•高三专题练习）在数列｛《,｝中，6=2,%川=2%+2,求%.

【详解】

解：因为-=24+2,

所以。用+2=2（。“+2）,而4+2=4,

串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关摭，解之为二，又合而为一

在某种玩法中,用小表示解下〃QE9,〃£N«）个圆环所需的最少移动次数，数列伍”｝满足m=l，且。产

2a-1〃为偶数，

c…:有则解下4个环所需的最少移动次可数为（)

21+2,〃为奇数，

A.7B.10C.12D.22

【答案】A

【分析】

根据通项公式直接求项即得结果.

【详解】

,12勺「1"为偶数，

因为数列｛〃"｝满足"1=1，且金=\个刈々物

2。”_]+2,〃为奇数，

所以«2=2</I-1=2-I=I,所以c〃=2a,+2=2x|+2=4,

所以cu=2zi3-1=2x4-1=7.

故选:A

【点睛】

本题考查根据数列通项求项，考查基本分析求解能力，属基础题.

3.（2022・全国•高三专题练习）已知数列｛可｝满足《=3,〃同=%+而可，则4=（）

A.4+—B.4——C.2+—D.2—

nnnn

【答案】B

【分析】

由。用―4=■1—-二，利用累加法得出明•

【详解】

111

由题意可得。i，=而可=/初，

….11111

所以。3一%=彳_彳，…，an~an-\=---7一一，

223n—\n

上式累加可得4-4=（%一4）+3-42）+…+（为一4-1）

又q=3,所以%=4一.

n

故选：B.

4.(2022・全国高三专题练习(文))已知数列(词满足q+2+。“=2%+1,且m=1,。2=5,则48=()

A.69B.105C.204D.205

【答案】D

【分析】

可将已知适当变形成为4+2=%-。”+1,可构造等差数列｛。用-可｝,利用累加法求得保

【详解】

设4+2+%=2。川+I,4+2一%+1=4“一可+1

故｛4讨-。〃｝构成以4为首项，1为公差的等差数列

%+14“=3I〃

故％8=(%8-47)+(47-46)+..+(%-4)+4=17+16+……+1+3x17+1

17(17+1)-八

---^+3x17+1=205

2

故选：D

【点睛】

若｛4｝满足4-，,i=/(〃)，可考虑用累加法求通项公式，其原理为

4=(%-的)+(%一凡-2)+……+(%—4)+%

=/(〃)+/(〃-1)+……+/。)+4,运算化简即可.

5.(2020・全国•高三阶段练习(文))在数列｛《J中，4=2,—=4+11]。+]｝贝壮皿=().

A.2+In2020B.2+20191n2020

C.2+20201n2020D.2020+In2020

【答案】A

【分析】

通过赋值，利用累加法，即可求得结果.

【详解】

因为q=2,外川=〃“+ln(l+：),

所以4+i-4=ln（〃+1）—In〃,

所以=ln2-lnl,

«3-«2=ln3-ln2,

a2020-^2019=In2020-In2019,

以上各式累加得以诩-6=ln2020-lnl,

即a202G=q+In2020=2+In2920.

故选:A.

【点睛】

本题考查利用累加法求数列的通项公式，属基础题.

6.（2022・全国•高三专题练习）已知数列｛&｝满足q=1,4=〃（。向-可），则数列｛4｝的通项公式为4=

（）

A.2n-\B.（四）C.n2D.〃

【答案】D

【分析】

依题意可得——，再利用累乘法计算可得；

%n

【详解】

解：由4=〃（％+「凡）,得（计1）4="+1,

凡.n+\a„na„.n-\an-2a,2、八

即3=—,则工=-3=-—ny=-=二：，"22,

%〃n-\an_2n-2an_yn-3q1

由累乘法可得冬=〃，所以q=〃,〃N2,

又％=1,符合上式，所以%=〃.

故选：D.

7.（2022・全国•高三专题练习）已知数列｛4｝满足q=；,%=袈**（〃*，〃eN,），则数列｛4｝的

J乙/1I1

通项4=（）

I1

A.B.

4//2-12/+1

11

C・（2〃-l）（2〃+3）D.++

【答案】A

【分析】

在接利用累乘法的应用求出数列的通项公式.

【详解】

।2〃一3

解:数列｛4｝满足4：a,=------a.(儿.2,〃wN*),

-31“2〃+1n

%2/7-5

整理得〃“-2+一

4.22n-\''q5，

1x3

所有的项相乘得：-

一(2〃+1)(2〃-1)*

整理得：让T

故选：A.

8.（2022•全国•高三专题练习）若工为数列也｝的前〃项和，旦2=2?-2,则％等于（）

A.2〃B.2"D.2,,+,

【答案】B

【分析】

£,〃二1

利用4=«〃之2求得知.

S”-S“T，

【详解】

〃=1时，％=24—2,《=2.

时，Si=2a”」-2,

a—Sn-S...=2a-2a1，a=2an.

所以数列｛4｝是首项为2,公比为2的等比数列,

所以4=2".

故选：B

9.（2（）21.安徽.高三阶段练习：文））数列｛4｝中的前〃项和S,=2”+2,数列｛1。员q｝的前〃项和为，,

则友=（）.

A.190B.192C.180D.182

【答案】B

【分析】

*

根据公式为=S,「SM计算通项公式得到4=：_「故么='一求和得到答案.

【详解】

当〃=］时，«,=Sj=214-2=4；

当心2时，q=S“—S〃T=2八+2-(2-'+2)=2〃-2^'=2”、

4,/z=1

经检验4=4不满足上式，所以。“二

2"T,〃22'

2，〃=1Tc19x(1+19)…

匕=1。及％,则2=,C，北0=2+—-^=192.

n-l,n>2202

故选：B.

10.（2022・全国•高三专撅练习）数列｛〃,,｝满庠4+2%+22+…+2"Tq=g则氏=（）

A，FB，FC2.3”TD，3-2M_,

【答案】D

【分析】

令〃=1可求得生的值，由由作差法可得出可的表达式，再对外是否满足为（〃22）的表达式进行

检验,即可得解.

【详解】

当〃=1时，则有4=；；

当〃22时，由q+2生+2~4+…+2"~+2''a“=§,①

可得4+20+2?/+・・・+2一%,=?，②

①一②可得2"一%“二：,所以，«„=—»4=:满足。“=不、7・

5.5•，33,乙

故对任意的nGN*，4=.

3・2

故选：D.

11.（2022.全国•高三专题练习）设数列｛a„｝的前〃项和为S.,若3%+5„,2=5田（〃23）,且％=।，/=3,

则“2021)

A.4041B.4039C.2021D.2019

【答案】B

【分析】

根据数列”“与S”的关系，可用数列｛q｝从第2项开始是等差数列，根据通项公式，即可求解

【详解】

由+Sn_2=S0+i(n>3)得3a”=S„+1-5,f-2(n>3),即%+%=26(〃N3),

所以数列M从第2项开始是等差数列，

又因为生=1,%=3,

所以为=2〃-3(〃22),所以%)21=4039.

故选：B

12.(2022•全国•高三专题练习)数列｛%｝的前"项和为若q=l,*=3S“(〃.J),则%等于()

A.3x4〃B.3x4〃+]

[l,(w=1)口,(〃=1)

CD

•3X4"-2,(〃..2)•13x4-2+1,(〃..2)

【答案】C

【分析】

先转化为递推关系再求解.

【详解】

由4+1=3S”可得：an=3sl5.2),两式相减得：《,+]-q；=3an,即%=4an，几.2,

又由4=1可得：%=3%=3,生工4q,

当儿.2时，a“=&x4"-2=3x4”-2,

综上『3x4”",

故选：C.

13.(2021・全国•高三专题练习(理))在数列｛/｝中，％=1,%+尸三p〃eN+，则可=()

，1

2n2〃八H+I-n+2

A.a=---B.a=---C.a„=---D.a=----

n"〃+ln"〃+l"2〃n"2/7+1

【答案】A

【分析】

对。N=会」变形可得一二=4&='+；,所以‘为以'=1为首项，公差为;的等差数列，即

2

2+。”4+124an2n4

可得解.

【详解】

在｛凡｝中，4=1,

2a,12+q11

由“向—tl可得----=~—=~+

2+4白22。“a„2

所以］,（为以'=1为首项，公差为;的等差数列,

%%2

〃+1

所以

5=I+（〃T）・；=2

2

所以“而

故选:A.

14.（2022・全国•高三专题练习）数列一昼,总上,…的通项公式可能是m=（

)

1

Ac-ir口㈠产

2〃+33〃+2

H

r（-Ifn（-D

3n+22〃+3

【答案】D

【分析】

根据题意，变形数列的前4项，然后归纳出通项公式.

【详解】

解：根据题意，数列的前4项为-上£

79H

-1_1

则有42x1+3="

11

4,=-------=—,

-2x2+37

-1I

a.=-------=—，

2x3+39

11

42x4+311

则数列的通项公式可以为〃“=上上.

2,?+3

故选：D.

二、多选题

15.（2022・全国•高三专题练习）设S”是数列｛小｝的前〃项和，且0=-1,an+l=SnSn+l,则（）

'•如=一击

一1,〃=1,

〃一In

C.数列J为等差数列

11I

D.—+—+-+—=-5050

>1》100

【答案】BCD

【分^5】

利用数列通项和前〃项和的关系求解.

【详解】

Sn是数列列”｝的前n项和，旦m=—1,。”+1=S”S“+i,

则S”+l—Sn=SnSn-t-1»

整理得-—-J

=一1（常数）,

所以数列!是以!=一1为首项，一I为公差的等差数列.故c正确;

1

所以不=_[_（〃-1）=_〃，故Sn=一

所以当，G2时，

“尸-1不适合上式,

n-\n

一1,〃=1,

故a11z，故B正确，A错误;

n----------,n>2,neN\

n-\n

所以—H---1——+...H—--=-(1+2+3+...+100)=—5050f

SS?S3S]0a

故D正确.

故选：BCD

16.（2022•全国商三专题练习）已知数列应｝的前〃项和为S”，S^-Sn+2an+\,数列

-----------r的前〃项和为那么下列选项正确的是()

A.数列甩+1｝是等比数列B.数列仅“)的通项公式为凡=2”-1

n

C.Sn=2-nD.

【答案】ABD

【分析】

根据题设，*5”的关系，可判断｛勺+1｝是否为等比数列，进而可得｛《,｝的通项公式，应用分组求和及等

比数列前〃项和得S”，再写出「一通项，应用裂项法求即可判断各选项的正误.

a・a.

【详解】

由题设知:则(。用+1)=2(q+1)且4=1,即&+1｝是等比数列；

:.ci=2W—1,且S”=q+。,+...+ci=————n—2"”—n—2,

"121_2

「2"111

乂II=1=I・-I

J*(2H-l)(2n+,-l)2a-l2n+,-l

.T।11111,1.

337r-\2""-12""一1

故选：ABD.

三、填空题

17.(2022・全国•高三专题练习)已知数列｛q｝,4=1,。向=a“+2M(〃wN),贝lj%=.

【答案】2"“

【分析】

由条件可得-4=2"T,由累加法可得答案.

【详解】

由。川=%+2”［即=2"T

an=(q_一4-2)+••••••+(•-4)+4

I_

=2"-2+2”-3+……+2°+1=1+=2n-'

1-2

所以。“二2"

故答案为：

18.（2021・河北•高三阶段练习）已知数列｛&｝的前〃项和记作S.,S“=〃2-3〃+2,则％=

2n-4,//>2

【答案】

0,〃=1

【分析】

=1

进行求解即可.

S-SnPn>2

【详解】

当〃=1时，4=*=0,

当〃22时，4=Sn-S,i=2〃-4,

当〃=1时，q=0,不符合上式.

2n-4,n>2,

所以，4

0./2=1.

2n-4,n>2

故答案为:

0,〃=1

19.（2021•山西省长治市第二中学校高三阶段练习（理））已知数列｛q｝的各项均为正数，其前〃项和

为S”，且满足d=24.5,,-1,则满足，”之奈的最大的正整数〃等于-

【答案】25.

【分析】

由=2%•S“—1,化筒整理得到S：-S3=1522）,求得，=而，进而求得〃22时，a”=册一册二T,

根据42上,得到/\正看,即可求解.

10\/n+y/n-\IO

【详解】

由题意数列｛〃“｝的各项均为正数，且满足/2=24.工-1,

当〃22时，可得⑸-S.T）2=2（S„-Sn.,）-Sn-i,

整理得S：—S：T=1（〃之2）,

又由S；-S：=l,所以数列｛S；｝表示首项为1,公差为1的等差数列，所以S；=〃,

因为数列｛%｝的各项均为正数，可得S“=C，

所以当"=1时，4=1,

当〃22时，an=S„-Sn_i=VJ?-VJTd,

由巴>—,即«—y/n-\>—,即—7=~2上,

"1010册+41-^-110

又由“cN+,所以〃<25,所以满足为之专的最大的正整数〃等于25.

故答案为：25.

20.（2022・全国•高三专题练习）已知数列也｝的前〃项和为S”且满足q+3S.S,i=O（〃N2）,q=；,

则S”=.

【答案】1

3〃

【分析】

利用/与S”的关系，替换为=，-3；1（32）,构造是等差数列，即可求得数列｛$,｝的通项公式.

【详解】

因为q=S.-Sn_l（n>2）,S,t-S,-+3s,5“=0,

所以《一止=3,所以卜是等差数列，公差为3,

又!='=3,所以J=3+3（〃—1）=3〃，5.=，

54七3〃

故答案为：--

3〃

21.（2022・全国•高三专题练习）若数列｛%｝满足为“=3q-8,且4=6,则数列乩｝的通项公式为4=

【答案】2-3rt-,+4

【分析】

由递推关系式可得。向-4=3（%-4）,构造数列｛q-4｝为等比数列，再利用等比数列的通项公式即可

求解.

【详解】

由4+1=34-8,则4+「4=3（4-4）,4-4二2

所以数歹ij｛4-4｝是以2为首项，3为公比的等比数列，

所以巴—4=2x3"、所以a“=2-3”T+4,

故答案为：23"+4

22.（2021•江西•高三阶段练习（文））若正项数列｛叫满足％=2,唠=4q；+4a“+l,则数列｛4｝的通

项公式是.

【答案】%=3.2J

【分析】

根据给定条件将原等式变形成=2。“+1,再利用构造成基本数列的方法求解即得.

【详解】

在正项数列｛qr｝中，a—=4a：+4a“+1=（24+1尸，则有为“=2〃“+1,

于是得。向+1=20+1）,而4+1=3,因此得：数列｛q+11是公比为2的等比数列，

则有4+1=3・21,即%=3・2J,

所以数列｛4｝的通项公式是为=3•2^-1.

故答案为：勺=3・2恒-1

23.（2021•全国•模拟预测（文））已知数列｛q｝的前〃项和为篦，且5“+2/=〃，贝心产.

【答案】1一停］

【分析】

利用4=；c、。求得数列｛a„｝的通项公式.

【详解】

当〃=1时，a+2a=1,«1=—,

］｝3

当〃之2时，Sn+2%=〃,S—+2az=口-1，

2I?

两式相减得3。“-2%=1,4=铲2+§,4-1=］（%-1）,

所以数列｛q「l｝是首项为6-1=-：,公比为:的等比数列,

则4一1二一12,所以4=］一—1.

故答案为：I-(|j

24.(2021,全国•高三专题练习(文))已知数列｛%｝满足卬=-2,且为“=34+6,则勺=

【答案】3"7-3

【分析】

根据—=34+6变形得%+3=34+3),可构造等比数歹「｛q+3),由等比数列的性质可求出

4+3=3”T,即可求得％.

【详解】

由勺川=3.+6可得:。向+3=3(%+3),因为q+3=l，0,所以｛%+3｝是以1为首项,3为公比的等

比数列，即。”+3=3"7,故为=3~-3.

故答案为：3.

【点睛】

本题主要考查利用构造法求数列的通项公式，以及等比数列的定义应用，属于基础题.

25.(2021,全国•高三专题练习(理))以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章

算术》一书中的“杨辉三角形”.

12345…2017201820192020

3579…403540374039

81216…80728076

2028…16148

此表由若干个数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和.若每行的第一个数构

成有穷数列｛4｝，则得到递推关系勺=+2〃々吗=1.则％=.

【答案】256

【分析】

首先利用数列的递推关系式的变换求出数列的通项公式，连一步求出结果.

【详解】

由有穷数列｛%｝，递推关系%=2《i+2”-2,

整理得：/=爵+；，

整理得：会—得=：，

所以数列(畀是以义为首项，:为公差的等差数列，

nq11/n1

所以吩=5+”1)二+“

整理得'=("+?2=(«+1).,

所以%=8x2$=2*=256,

故答案为：256.

26.(2021•甘肃•西北师大附中高三阶段练习)已知数列｛%｝满足4=2必—“(〃eV),则等的

1Un

最小值为.

【答案】V

【分析】

利用数列递推式，可得数列＜?｝是以10为首项，I为公差的等差数列，可得数列的通项，再利用函数

的单调性，即可求詈的最小值.

n

【详解】

解：''4=-4向="”"用S€N，)

•••数列:是以I。为首项'I为公差的等差数列

〃+2(〃+2)(〃+9)18,,

/.----=----------="+—+11

nannn

,♦)，=〃+，在(0,372)上单调递减，在即,-^)上单调递增

，〃=4时，胃取得最小值为学

故答案为：

四、解答题

27.（2022・全国•高三专题练习）（1）已知数列｛册｝满足：6=1,。,川二蜡方（〃£四），求,《〃｝的通项公

式;

(2)在数列｛%｝中,已知。尸3,(3〃+2)On+i=(3n-1)ana#0,求a”.

【答案】⑴“尸“；⑵吁小

【分析】

两边“取倒数”，得到一[一'=2",再利用累加法求解;

（1）对*:2%：+1

《1+1an

/3〃]

（2）由（3〃+2）6+产（3〃-1）0”得到^^二^^，然后利用累乘法求解.

【详解】

两边“取倒数“，得」一=出望

(1)对aw+i=

22+1《向巴

I

,即----=2"+

%彳

-L」=2“

4“an

1

/.//>2时，-----—=2"1—=2n~2

a„a„.

将以上各式累加得,

2(1-2"叫

---=2w-'+2n-2+...+2+2=-^-----^=2"-2,

an%1-2

所以，=2"-1,

%

所以当〃=1也满足，

2—1

所以""=/-[•

乙-1

a,』3〃-1

(2)因。#0,由(3n+2)(3〃-1)小，得----=------

a„3〃+2

3/?-4*_3〃-7_5%_2

.•后时，=

3/2-1'an_23〃-4'28'q5

逐项累乘，得%=2

%3〃一1

当n=\也满足,

6

3n-l

28.（2022•浙江•高三专题练习）（1）已知数列｛斯｝满足。|=一1,。”“=小+〃（二/）,N*,求通项

公式an;

(2)设数列｛〃”｝中，41=1,a,i=(l--)i/n-l(w>2),求通项公式4”.

n

【答案】(I)a=--(nGN*)；(2)a=-(〃WN*).

nnnn

【分析】

（1）由已知条件可得知+|一诙=拓匕一击,然后利用累加法可求出通项公式〃小

（2）由。〃=（1一,）扇可令十,然后利用累乘法可求出通项公式

n

【详解】

=

(1)•Un+\-Clu~n(n±1~)»

“3-2=有

1

。|一。3=3^4

4”-Cln-\=T7T-,

(/?-1)/?

以上各式累加得，all—ai=-^—+—+…+y—

1x22x3

=(T+(!-3+...+(工,)=］」.

223n-\nn

a”+I=1——,

n

—(n>2).

n

又时，«i=-1,符合上式，

*,a=——(〃WN*).

nn

(2)*•U\=1»Cln=(1---)〃”-1。仑2),

n

••---------,

an-\n

a”4,1an-2%ain-\n-2n-32

a>,=-----x------x------x…x—x—xai=------x-------x------x,x-x-xl=—.

aaaaa

n-\n-2n-32\nn-\n-232〃

又•；〃=1时，m=l,符合上式，(nGN*).

n

・全国•高三专题练习)已知数列｛｝满足四,

29.(20224q=Ga2=\ln+2an,〃eN,,求数列｛q｝的通

项公式.

【答案】二«-«TT(〃eN)

【分析】

将题中条件变形为也=呼2,再利用累乘法求出数列｛4｝的通项公式.

凡〃

【详解】

由Ga”+[=J〃+2a〃,得—,

a

n

所以当心2时，虫.-=叵半卓..,.£=正尸,

44%-11y/2J3小7—2nx/2

因为q=&,

所以《=6・+之2),

又因为"=1时，q=正满足上式,

所以4=6W〃+l(〃eN")

30.(2021.山东.济宁市教育科学研究院高三期末)已知数列｛q｝的前〃项和为S”，且4q=3S”*2.

(1)求数列｛q｝的通项公式；

(2)设"=a"+log2%,求数列｛〃“｝的前〃项和

【答案】

(1)勺=2x4"

⑵小义工

n3

【分析】

（1）根据所给条件先求出首项，然后优写S.T，作差即可得到｛q｝的通项公式；

（2）根据（1）求出也｝的通项公式，观察是由一个等差数列加一个等比数列得到，要求其前〃项和,

需采用分组求和法，即可求出前〃项和

（1）

・・・46=3S“+2,①

当k=1时,44=34+2,即％=2

当〃N2时，4〃“_[=3sM+2.②

由①一②得4%-&%=3%,即勺=4/7

・•・数列｛4｝是以2为首项，4为公比的等比数列.

・・・a“=2x4"T

（2）

由（I）知log?。〃=log2（2x4"T）=log222"T=2〃-1

=a”十log2a”=2x4"'+2/i-1,

.丁二2（J4）〃（l+2〃—l）2（4T）

2

・"-1-4+2--3-+n-

31.（2022♦全国•高三专题练习）已知数列乩｝的前〃项和为S.,且满足可+S.=〃+3,求数列｛q｝的

通项公式.

【答案】为=6J'+1

【分析】

I（1y_|

当〃=1时，得到4=2,当〃22时，得到与-1=3（61-1），从而得到可=1+1.

212,

【详解】

q+S'=〃+3①，

当〃=1时，4+S；=1+3解得q=2,

当〃22时，a”-+S”_]=〃-I+3②，

①减②得，+S,r-（4,_1+）=77+3-（/7-1+3）

化简得：a“=g《i+g，q一1二：（*一1）

则｛4-1｝是以R-1=1为首项，y为公比的等比数列，

所以4—1=仕「，即白『「'+1.

32.（2022.全国.高三专题练习）已知正项等差数列｛勺｝的前〃项和为5.，满足64二4-4”+2（〃£川），

4<2,

（1）求数列｛凡｝的通项公式:

（2）若2=（-1）%（4,％），记数列也｝的前〃项和1，求4.

【答案】（1）%=3〃-2；（2）-2.

【分析】

（1）当〃22时，由65.=q-4”1+2,得651=«1。+2,两式相减可得62=an・2d,从而可求出&=3,

当〃=1时，651-％,/+2,求出％,进而可出数列｛□“｝的通项公式；

（2）由（1）可得2=（-1）”（怆4+怆4+3从而可求出G

【详解】

解：（1）设等差数列｛《,｝的公差为d,则

由6S“=a屋an+i+2,得6\_,=an_x•4+2（〃N2）

相减得6（S,一Sg）=%（《川一凡一）即6q=q•2d（〃之2）,

又凡>。，所以d=3,

由6S1=%q+2,得6q=勺（4+3）+2,

解得q=1,（4=2舍去）

由4=q+（〃-l）d,得4=3〃-2；

(2)%=(-1)”1g(4.%)=(-1)”(1ga„+Ig%)

0=b、+b-,+/+•••+1.

=_lgq-lga2+lg«2+lg^-lgtz3-lg674+---lgtZ33-lg6T34

=-lg«1-Ig6f34=-lgl00=-2.

33.(2022・全国•高三专题练习)已知各项均为正数的数列｛《｝的前〃项和为S“，且2S”=a；+a”(〃eN)

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若a二〃疯:/口，求数列低｝的前〃项和人

【答案】(1)%=〃；(2)Tr=\—fL=.

【分析】

(1)根据2S”=q；+a“，得2S,“=a3+q“，两式作差可得数列｛〃“｝是以1为首项，1为公差的等差数

列，进一步可求通项；

(2)运用裂项求和来求和.

【详解】

(1)当〃=1时，2s>a；+q,即24=d+g,解得q=1或4=0(舍).

当〃之2时，2s0=a；+an,

2s“T…

两式相减得(4+4.1)(4,-*