高三大题优练3 曲线运动问题 学生版

大题优练3曲线运动问题

例1.(2020・山东卷・16)单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图甲所示的模型：U形

滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直凯道连接而成，轨道倾角为17.2。。某次练习

过程中，运动员以四=IOm/s的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面人8c。滑出轨道，速度方向与轨

道边缘线A。的夹角a=72.8。，腾空后沿轨道边乡彖的N点进入轨道。图乙为腾空过程左视图。该运动员可视为

质点，不计空气阻力,取重力加速度的大小g=10m/s2,sin728=0.96,cos72.8°=0.30o求：

(1)运动员腾空过程中离开AD的距离的最大值小

(2)M、N之间的距离心

【解析】(1)在M点，设运动员在A/3C。面内垂直A3方向的分速度为也，由运动的合成与分解规律得:

vi=v.wsin72.8°①

设运动员在ABC。面内垂直AD方向的分加速度为«i，由牛顿第二定律得：

mgcos17.2°②

由运动学公式得及4③

联立①式，代入数据得：d=4.8m。④

(2)在M点，设运动员在A8CO面内平行AO方向的分速度为£2,由运动的合成与分解规得：

V2=V.A/COS72.8°⑤

设运动员在ABC。面内平行A。方向的分加速度为6，由牛顿第二定律得：

mgsin17.2°=mai⑥

,二型

设腾空时间为3由运动学公式得：“⑦

£="+%尸⑧

联立①®@⑥⑦⑧式，代入数据得：L=12m。⑨

例2,现有一根长L=1m的刚性轻绳，其一端固定于。点，另一端系着质量6=0.5kg的小球(可视为质点),

将小球提至。点正上方的A点处，此时绳刚好伸直且无张力。不计空气阻力，取g=10m/s2。

(1)在小球以速度ri=4m/s水平向右抛出的瞬间，绳中的张力大小为多少？

(2)在小球以速度力=lm/s水平向右抛出的瞬间，绳中若有张力，求其大小：若无张力，试求绳子再次伸直时

所经历的时间。

(3)接(2)问，当小球摆到最低点时，绳子拉力的大小是多少？

【解析】⑴绳子刚好无拉力时对应的临界速度满足〃吆=〃苣土，解得v临界=＜而m/so因为也＞箕啮界,所以绳

2

子有拉力旦满足，叫+7i=〃解得Ti=3N。

(2)因为口勺格界，所以绳子无拉力，小球以电的初速度做平抛运动，设经过时间/后绳子再次伸直，则满足方

程f+(j—£)2=^2

其中x=vzf,y=；g~，解得r=0.6se

(3)当/=().6s时，可得x=0.6m,)，=1.8m,小球在。点右下方位置，且。点和小球的连线与竖直方向的夹角

x3

满足1211〃=1二］=币此时速度的水平分量与竖直分量分别为以=3=1m/s,vy=gt=6m/s

绳伸直的一瞬间，小球的速度沿绳方向的分量突变为零，只剩下垂直于绳子方向的速度：

-3=W—Mos广当m/s

接着小球以l，3为初速度绕着O点做圆周运动摆到最低点，设在最低点速度为火则由动能定理得

]1)y

mgL(I—cosa)=弓〃八2-^invr,又T-mg=nr^

273

解得T=景J。Ne

1.如图所示，倾角为37。的斜面长L=1.9m,在斜面底端正上方的。点将一小球以速度n)=3m/s的速度水平

抛出，与此同时静止释放在顶端的滑块，经过一段时间后将小球恰好能够以垂直斜面的方向击中滑块。小球和

滑块均视为质点，重力加速度g=10m*,求：

⑴小球从抛出到达斜面所用时间;

(2)抛出点O离斜面底端的高度；

(3)滑块与斜面间的动摩擦因数。

2.晓明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为用的小球，甩动手腕，使球在竖直

平面内做圆周运动，当球某次运动到最低点时，绳突然断掉。球飞离水平距离"后落地，如图所示，已知握绳

3

的手离地面高度为a手与球之间的绳长为犯，重力加速度为g,忽略手的运动半径和空气阻力。

、，&

，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，

kdH

(1)求绳断时球的速度大小y；

(2)向绳能承受的最大拉力多大？

(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多

少？最大水平距离为多少？

3.如图所示，餐桌中心是一个半径为，=1.5m的圆盘，圆盘可绕中心轴转动，近似认为圆盘与餐桌在同一水平

面内且两者之间的间隙可忽略不计。已知放置在圆盘边缘的小物体与圆盘间的动摩擦因数为川=0.6,与餐桌间

的动摩擦因数为心=0.225,餐桌离地面的高度为〃=0.8设小物体与圆盘以及餐桌之间的最大静摩擦力等于

滑动摩擦力，重力加速度g取lOm/s?。

是让更多普通群众能够体验雪车项目的魅力。如图乙所示，在倾角为夕的斜坡上有一雪车轨道由直线4B、半

圆BC、CO和四分之一圆弧。E构成，其中AB段轨道粗糙，其余轨道光滑。A8轨道沿斜面向下，B、C、D

在同一水平面上，其垂直于斜面的俯视图为图丙所示。在半圆CD最高点处轨道横截面为矩形，如图丁所示。

雪车和游客质量共为〃?，在长为L的直线轨道48上做初速度为0,加速度为。的匀加速直线运动，然后进入

圆弧轨道，无碰撞自由滑行。半圆3c半径为2R,CD半径为R,圆弧。七半径为4R。从£点沿切线方向滑出

轨道后，雪车底部继续紧贴斜面进行无摩擦运动，最终安全滑进缓冲区。缓冲区左边缘尸点离七点平行斜面

的水平距离为“，当地重力加速度为g,因轨道半径足够大，雪车和人可以视为质点，雪车底面始终和轨道底

面接触。求：

(1)雪车和人在半圆轨道CD的最高点时所受侧壁轨道的压力;

(2)雪车刚到缓冲区左边缘F点时速度的大小。

6.如图甲所示，鞋直平面内的光滑轨道由倾斜直轨道48和圆轨道8co组成，48和8CO相切于8点，OB

与0C夹角为37。，C。连线是圆轨道竖直方向的直径(C、。为圆轨道的最低点和最高点)，可视为质点的小滑

块从轨道AB上高H处的某点由静止滑下，用力传感器测出滑块经过圆轨道最低点。时对轨道的压力为巴

并得到如图乙所示的压力尸与高度”的关系图象，该图线截距为2N,且过(0.5m,4N)点。取g=10m/s2。

(1)求滑块的质量和圆轨道的半径。

(2)若要求滑块不脱离圆轨道，则静止滑下的高度为多少？

(3)是否存在某个“值，使得滑块经过最高点。飞出后落在圆心等高处的轨道上？若存在，请求出〃值；若不

存在，请说明理由。

答案

1.【解析】⑴设小球击中滑块时的速度为用竖直速度为方,由几何关系得：w=i/an37。

设小球下落的时间为，，小球竖直方向力=切

解得：r=0.4So

(3)竖直位移为)，，水平位移为X,由平抛规律得：)，=上汽工=的

设抛出点到斜面最低点的距离为近由几何关系得：〃=y+xtan37。

由以上各式得"=1.7mo

(2)在时间，内，滑块的位移为$,由几何关系得：5=/-——

cos37°

设滑块的加速度为小由运动学公式得：x=^aP

对滑块，由牛顿第二定律得：，〃gsin37。一//mgeos37。=〃也

由以上各式得〃=0.125。

2.【解析】(1)设绳断后球飞行时间为f,由平抛运动规律，竖直方向看:

水平方向有：d=vt

联立解得：v=廊。

(2)设绳能承受的最大拉力大小为F,这也是球受到绳的最大拉力大小，球做圆周运动的半径/?=//,根据牛顿

第二定律有：F-mg=m—

R

解得F=日■/〃gO

(3)设绳长为/,绳断时球的速度大小为/,绳承受的最大拉力不变，根据牛顿第二定律有：

F-ing=rn——

得,杰

绳断后球做平抛运动，竖宜位移为"一/,水平位移为大，时间为小根据平抛运动规律，竖直方向有：

d-l=2gfi

竖直方向有：x=v't\

联立解得：工=4度至

根据一元二次方程的特点，当x有极大值，为斯加=丝小

N3

3.【解析】(1)由题意可得，当小物体在圆盘上随圆盘一起转动时，圆盘对小物体的静摩擦力提供向心力，所以

随着圆盘转速的增大，小物体受到的静摩擦力增大。当静摩擦力最大时，小物体即将滑落，此时圆盘的角速度

2

达到最大,有：fm=n\N=mcor,N=mg

联立两式可得但^=2rad/So

(2)在题意可得，当物体滑到餐桌边缘时速度恰好减为零，对应的餐桌半径取最小值。设物体在餐桌上滑动的位

移为s,物体在餐桌上做匀减速运动的加速度大小为。，则。=〃2g=2.25m/s?

物体在餐桌上滑动的初速度w=c"=3m/s

由运动学公式得0—犷=一2加，可得$=2m

由几何关系可得餐桌半径的最小值为/?=正针=2.5m。

(3)当物体滑离餐桌时，开始做平抛运动，平抛的初速度为物体在餐桌上滑动的末速度必，，由题意可得：

v/2—vo2=-2av/

由于餐桌半径为父=也，，所以s，=r=L5m

可得叨'=1.5m/s

设物体做平抛运动的时间为，，贝加=将

解得7=0.4s

物体做平抛运动的水平位移为&=y〃=0.6m

由题意可得L=s'+sx=2.1m。

4.【解析】⑴根据题意4点到地面高度hc=R-Rsin37°=0.08m

从B点飞出后，滑块做平抛运动，根据平抛运动规律：h-hc^gt2

化简得f=0.3s

根据可知v«=3m/s

飞到C点时竖直方向的速度vy=gt=3m/s

因止匕lan0=—=1

即落到圆弧C点时，滑块速度与水平方向夹角为45。。

(2)滑块在DE阶段做匀减速直线运动，加速度大小。=工=

m

根据VI?-VD2=1CIXDE

在圆弧轨道最低处&一〃吆=川心

解得仆=100N,即对轨道压力为100N。

(3)滑块弹出恰好无碰撞从。点进入圆弧轨道，说明滑块落到C点时的速度方向正好沿着轨迹该出的切线，即

/

,匕

tana=—

%'

由于高度没变，所以以=B，=3m/s,a=37。

因此vo，=4m/s

对应的水平位移为AAC=VO7=1.2m

所以缩短的AB段应该是加入8=兀4(:一切c=0.3m。

5.【解析】(1)设匀加速进入轨道时的速度为力，根据运动学公式得匕2=2,4

设半圆C。最高点速度为P2,从B到C。圆弧最高点过程中，根据动能定理得:

-mgRsin0=gmvj一；〃诉

在最高点，对雪车和游客整体进行受力分析，根据牛顿第二定律得:

〃吆sine+b.M根三

R

解得外=网心一3〃?gsin。

R

讨论:

ImaL

①外3mgsin6>0,上侧壁给整体弹力方向沿斜面向下;

~R~

2maL

3mgsin=0,作用力为零;

/

2maL

3mgsin0<0下恻壁给整体弹力方向沿斜面向上。

~R~

(2)设E点速度为力，从8点到E点过程中，根据动能定理

mgsin0x4R=gmv1—gm\^

雪车整体离开轨道后做类平抛运动

水平方向以速度1，3做匀速直线运动，沿斜面以加速度"做匀加速直线运动

根据牛顿第二定律得：〃火sin。=〃

水平方向：d=vyt