勾股定理（章节复习）（知识梳理+32个考点+难度分层练 共74题）原卷版-2024八年级数学上册（北师大版）

勾股定理（知识梳理+32个高频易错考点）

口税考点分类目录指引_________________________________________________________

知识梳理技巧点拨.......................................................................2

知识点梳理01：勾股定理..............................................................2

知识点梳理02：勾股定理的逆定理......................................................2

知识点梳理03：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系.................................3

优选型考点练

考点1：利用勾股定理求两条线段的平方和（差）.........................................3

考点2：勾股定理的证明方法...........................................................4

考点3：以弦图为背景的计算题.........................................................5

考点4：用勾股定理构造图形解决问题...................................................6

考点5：求旗杆高度（勾股定理的应用）.................................................6

考点6：求小鸟飞行距离（勾股定理的应用）.............................................7

考点7：求大树折断前的高度（勾股定理的应用）.........................................7

考点8：勾股树（数）问题.............................................................8

考点9：判断三边能否构成直角三角形...................................................9

考点10：在网格中判断直隹三角形.....................................................10

考点11：利用勾股定理的逆定理求解...................................................11

考点21：勾股定理与网格问题.........................................................11

考点22：勾股定理与折登问题.........................................................12

考点23：求梯子滑落高度（勾股定理的应用）...........................................13

考点24：解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用）.......................................13

考点25：解决航海问题（勾股定理的应用）.............................................14

考点26：求河宽（勾股定理的应用）...................................................15

考点27：求台阶上地毯长度（勾股定理的应用）.........................................16

考点28：判断汽车是否超速（勾股定理的应用）.........................................17

考点29：判断是否受台风影响（勾股定理的应用）.......................................18

考点30：选址使到两地距离相等（勾股定理的应用）.....................................19

考点31：求最短路径（幻股定理的应用）...............................................19

考点32：勾股定理逆定理的实际应用...................................................20

难度分层拔尖冲剌......................................................................21

基础夯实............................................................................21

培优拔高............................................................................23

日外知识梳理技巧点拨_________________________________________________________

知识点梳理01：勾股定理

1.勾股定理：直角三角形两直角边4、8的平方和等于斜边。的平方.（即：/+〃=02）

2.勾股定理的应用：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其

主要应用是：

（1）已知直角三角形的两边，求第三边；

（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；

（3）求作长度为6的线段.

知识点梳理02：勾股定理的逆定理

1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长。、b、C,满足/+〃=c2,那么这个三角形是直角三角

形.

2.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：

（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c；

（2）验证与/+〃是否具有相等关系，若/+〃=c2,则△ABC是以NC为直角的直角三角形,

反之，则不是直角三角形.

3.勾股数：满足不定方程-+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显

然,以X、y、Z为三边长的三角形一定是直角三角形.

常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.

如果（。、氏。）是勾股数，当t为正整数时，以小、初、以为三角形的三边长，此三角形必为直角三

角形.

观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：

1.较小的直角边为连续奇数；

2.较长的直角边与对应斜边相差1.

3.假设三个数分别为。、b、c,且a〈b<c,那么存在/=b+c成立.（例如④中存在72=24+25、

92=40+41等）

知识点梳理03：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.

优选题型考点讲练

考点1：利用勾股定理求两条线段的平方和（差）

【典例精讲】（20-21八年级上•江苏•期末）如图，在Rt△力比中，ZC=90°,力8=6,则正方形力应'。与

正方形86%的面积之和为.

【变式训练】（20-21八年级上・III东青岛•期末）如图，在一次夏令营活动中，小明从营地月出发，沿北

偏东53°方向走了400nl到达8点，然后再沿北偏西37°方向走了300nl到达目的地C此时4。两点之间

的距离为I

（3）如图，将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，其中NDAB=90。，求证：a2+b2=c2.

证明：如图所示：连接BD,过点〃作BF1DE,交DE延长线于点“则BF=b-a请补全证明过程:

考点3：以弦图为背景的计算题

【典例精讲】（23-24八年级上-陕西西安・期中）如图，清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四

个全等的直角三角形拼出正方形ABCD的方法证明了勾股定理.连结CE,若CE=5,BE=4,则正方形ABCD

的面积为________

AB

【变式训练】（22-23八年级下-安徽马鞍山-期末）如图是用4个全等的直角三角形与I个小正方形镶嵌

而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49,小正方形面积为4,若用x,y表示直角三角形的两条直角

边长（x>y）,下列四个说法：①x2+y2=49：②x-y=2；③2xy+4=9；®x±y=9,其中正确的说

法是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.®®®®

考点4：用勾股定理构造图形解决问题

【典例精讲】（24-25八年级上•河南平顶山•期中）李老师家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图,

已知电梯的长、宽、高分别是lm.lm,2m,那么电梯内能放入下列木条中的最大长度是（）

A.3mB.2.5mC.2.4mD.2m

【变式训练】（24-25八年级上-陕西西安-阶段练习）请构图求出代数式G3+J（x—24尸+16的最小

值为.

考点5：求旗杆高度（勾股定理的应用）

【典例精讲】（23-24八年级上•陕西西安・期中）如图，小明想要测量旗杆P。的高度（已知旗杆直立于地

面，即，POA=90。），他将绳子拉到旗杆底端5m处力点，并在绳子上打了个结，然后向后退11米到达〃处,

发现此时绳子底端距打结处约7米，设法求出旗杆PO的高度.

【变式训练】如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地

方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处发现此时绳子底端距离打结处约1米，则

旗杆的高度是多少米？

考点6：求小鸟飞行距离（勾股定理的应用）

【典例精讲】（21-22八年级上-陕西-阶段练习）小红从家里出发向正北方向走80米，接着向正东方向走

150米，现在她离家的距离是米.

【变式训练】（21-22八年级上-全国-单元测试）校园内有两棵树，相距12m,一棵树高10m,另一棵树高

5m,一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞m.

考点7：求大树折断前的高度（勾股定理的应用）

【典例精讲】如图，一木杆在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部8米处，已知木杆原长16米，求木

杆断裂处离地面多少米？

【变式训练】由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断

前（不包括树根）长度是（）

A.8mB.10mC.16mD.18m

考点8：勾股树（数）问题

【典例精讲】（24-25八年级上•江苏南京•期中）阅读材料：勾股定理a2+b?=c2本身就是一个关于a、

b、c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解（a,b,c）通常叫做勾股数组，我国古籍

《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3,4,5”就是一组最简单的勾股数.为了进一步了解勾股

数的奥秘，数学刘老师给出下面的两个表格.（以下a,b,c为RtZkABC的三边，l.a<b<c）

表1表2

abcabc

3456810

5121381517

72425102426

⑴请你根据上述表格的规律写出勾股数：11、、;

（2）当a=2n+l（n为奇数，且nN3）时，若6=,c=时可以构造出勾股数（用含n的

代数式表示）；并证明你的猜想；

⑶构造勾股数的方法很多，请你寻找当a或b=20时，c=.（写出所有满足条件的O.

【变式训练】（22-23八年级上-江苏连云港•期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在

他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后,

变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，清你算出“生长”了2022次后形成的图形

)

C.2021I).1

考点9：判断三边能否构成直角三角形

【典例精讲】（23-24八年级上-陕西咸阳-阶段练习）下列各组线段中，可以组成直角三角形的是（）

A.V3>V4>V5B.0.7,2.4,2.5

C.32,42,52D.8,15,19

【变式训练】（23-24八年级上•四川达州•期末）如图，在△ABC中，AD1BC,AD=12,BD=9,

CD=5.

求:

（0△ABC的周长;

⑵判断△ABC是否是直角三角形？为什么？

考点10：在网格中判断直角三角形

【典例精讲】(23-24八年级下•辽宁鞍山•期中)如图，在4x4的正方形网格中，每个小正方形的边长都

⑴求aABC的周长；

(2)若点P为直线AC上任意一点，则线段BP的最小值为一

【变式训练】(23-24七年级上•江苏南京・期末)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三

个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：

(1)画线段AD||BC且使AD=BC,连接CD；

(2)线段AC的长为」AACD的形状为」

⑶若E为成的中点，则AE的长为

考点11:利用勾股定理的逆定理求解

【典例精讲】（23-24八年级下-天津南开-期末）如图,正方形ABCD中，点F为CD的中点，点E为BC上一

点,且CE=；BC,设CE的长为a（a>0）.

（1）用含有a的式子表示AF和EF；

⑵求乙AFE的大小.

【变式训练】（21-22八年级上•河南洛阳・期末）如图,在△ABC中，AB=6,AC=10,AD是BC边上的

中线，且AD=4,则BC的长为

考点21：勾股定理与网格问题

【典例精讲】（24-25八年级上•陕西西安•期中）如图,方格线中每个小方格的边长为1，在下面的方格

纸上画一条长为曲的线段.

【变式训练】（23-24八年级上-浙江绍兴•期中）如图1、图2中的每个小正方形的边长都是1,在图1中

画出一个面积是2的直角三角形；在图2中画出一条长度等于g的线段.

图I图2

考点22：勾股定理与折叠问题

【典例精讲】（22-23八年级上-陕西咸阳-期中）如图，在长方形ABCD中，AB=4cm,AD=5cm,在CD

边上取一点M,将△ADM折叠后点D恰好落在BC边上的点N处，则△MNC的面积为.

【变式训练】（22-23八年级F•浙江杭州-期中）（1）如图①，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点。落在

点£处，已知NBDC=56。.求NDFE的度数.

（2）如图②，将矩形ABCD沿AE折叠，点〃落在点边CD上的一、处.已知AD=4,AB=6,求线段EF的长.

图①

考点23：求梯子滑落高度（勾股定理的应用）

【典例精讲】（24-25八年级上-四川-期中）一架长5m的梯子，如图那样斜靠在一面墙上，梯子的底端离

墙1.4m,如果梯子的顶端下滑0.8m,那么他的底部滑行了（）

A.0.8mB.1mC.1.2mD.1.6m

【变式训练】（22-23八年级上•河南郑州•阶段练习）如图，一架云梯AB长为25米，顶端A靠在墙AC上,

此时云梯底端B与墙角C距离为7米，云梯滑动后停在DE的位置上，测得AE长为4米，求云梯底端B在水平方

向滑动了多少米？

AI

E[\

CBD

考点24：解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用）

【典例精讲】（24-25八年级上•广东深圳•期中）如图，一支铅笔放在圆柱形笔筒中，笔筒内部的底面直

径BC为9cm,内壁高为12cm,则这支铅笔的长度可能是（）

A.1.9cmB.12cmC.15cmD.18cm

【变式训练】（23-24八年级上-广东深圳・开学考试）如图，一个无盖长方体小杯子放置在桌面上,

AB=BC=6cm,CD=16cm；

⑴一只蚂蚊从力点出发，沿小杯子外表面爬到〃点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？

⑵为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷子的

最大长度是多少？

考点25：解决航海问题（勾股定理的应用）

【典例精讲】（（23-24八年级下•河南商丘・期中）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、

“海天”号轮船同时从港口村出发，“远航”号以每小时24nmile的速度沿北偏东35。方向航行，“海天”号

以每小时10nmile的速度沿北偏西55。方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于0,分处，则此

时“远航”号与“海天”号的距离RQ为nmile.

【变式训练】（23-24八年级下-广东惠州-阶段练习）如图，某港口位于东西方向的海岸线上.“惠州”号、

“中山”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“惠州”号每小时航行10海里，“中山”号每小时

航行7.5海里.它们离开港口2h后相距25海里.如果知道“惠州”号沿东北方向航行，能知道“中山”号

沿哪个方向航行吗？

考点26：求河宽（勾股定理的应用）

【典例精讲】（20-21八年级下-广西南宁•期中）去年某省将地处A,B两地的两所大学合并成了一所综合

性大学，为了方便A,B两地师生的交往，学校准备在相距2.732km的A,B两地之间修筑一条笔直公路（即

图中的线段AB）,经测量，在A地的北偏东60度方向、B地的西偏北45度方向C处有一个半径为0.7km的公

园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（参考数据行“1.732）

【变式训练】22-23八年级下・陕西延安•期末）如图，湖的两岸有A,B两棵景观树，在与AB垂直的BC方向

上取一点c,测得BC=5米，AC=13米.求两棵景观树之间的距离.

考点27：求台阶上地毯长度（勾股定理的应用）

【典例精讲】（20-21八年级上-四川达州-期末）如图所示的长方体的长、宽、高分别为3厘米、2厘米、4

厘米.若一只蚂蚁从A点出发沿着长方体的表面爬行到棱BC的中点M处.则蚂蚁需爬行的最短路程是

厘米.

【变式训练】（20-21八年级下-广西桂林-期末）某小区楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知

这种地毯每平方米售价为20元，楼梯宽为2m,则购买这种地毯至少需要元.

考点28：判断汽车是否超速（勾股定理的应用）

【典例精讲】（2122八年级上•四川眉山•期中）某市规定；小汽车在该市城市街道上行驶时，速度不得

超过60千米/时.如图，一辆小汽车在该市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪力

正前方30米处的C处，过了2秒后到达8处，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50米，请问这辆小汽

车超速了吗？为什么？若超速，则超速多少？

小汽车小汽车

By-----------------

、、、、、:

车速检测仪

【变式训练】（24-25八年级上-陕西西安-阶段练习）某条道路限速60km/h,如图，一辆小汽车在这条道

路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪力正下方5m的〃处，过了1s,小汽车到达「处，此时测

得小汽车与车速检测仪间的距离AC为13m.

A检测仪

一「

CB

小汽车小汽车

⑴求BC的长：

⑵这辆小汽车超速了吗？

考点29：判断是否受台风影响（勾股定理的应用）

【典例精讲】（2024八仔级上•仝国♦专题练习）如图，力城气象台测得台风中心在/城正西方向78的4

处，以每小时20的速度沿BC方向移动，力至IJBC的距离AD=30,在距台风中心50的圆形区域都将受到台风

的影响.

（1）台风中心经过多长时间将到达D点？

（2）月城受这次台风的影响有多长F寸间？

【变式训练】（23-24八年级上-陕西西安•期中）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区

受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径250km（即以台风中心为圆

心，250km为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段BC是台风中心从C市向西北方向移动到8市的

大致路线，月是某个大型农场，且ABJ.AC.若4。之间相距300km,力，〃之间相距400km.

⑴判断农场力是否会受到台风的影响，请说明理由.

⑵若台风中心的移动速度为25km/h,则台风影响该农场持续时间有多长？

考点30：选址使到两地距离相等（勾股定理的应用）

【典例精讲】（24-25八年级上-全国-课后作业）某地区要在公路AB上建一个蔬菜批发厂E,使得C,〃两

村庄到£的距离相等，已知AB=18km,DA=9km,CB=15km.口A_148于点力，CBJ.AB于点员贝iJAE

的长是（)

C.12kmI).13km

【变式训练】如图，在笔直的铁路上】、〃两点相距25km,C,〃为两村庄，DA=10km,CB=15km,DA1

AB于儿CB_LAB于H现要在/历上建一个中转站£使得G〃两村到£站的距离相等，求£应建在距/1

多远处？

考点31：求最短路径（勾股定理的应用）

【典例精讲】2025七年级上-江苏・专题练习）如图，一只蚂蚁想从圆柱形水桶外侧的/I点爬到内侧的月

点寻找食物.已知月点到桶口的距离AC=20厘米，6点到桶口的距离BD=16厘米，圆弧CD长15厘米.蚂

蚁爬行的最短路程是厘米.

【变式训练】（24-25八年级上•陕西渭南•期中）如图，一圆柱高4m,底面周长为6m,小虫在圆柱表面

爬行，从下底面上的点A处出发，爬到上底面上与点A相对的点B处，然后再沿另一面爬回A点，则小虫爬行

的最短路程为m.

a

考点32：勾股定理逆定理的实际应用

【典例精讲】（24-25八年级上-江苏宿迁•期中）在学校组织的研学活动中，需要学生自己搭建帐篷.7

图是搭建帐篷的示意图.在△ABC中，支架AD从帐篷顶点A支撑在水平的支架BC上，且AD1BC于点D,经

测量得：AB=2m,AD=1.2m,CD=0.9m.按照要求，帐篷支架AB与AC所夹的角需为直角.请通过计算

说明学生搭建的帐篷是否符合条件.

【变式训练】（23-24八年级上-江西吉安・期末）张明家有一块菜地如图所示，已知AB=3X,BC=4米,

CD=12米，DA=13米，且4B=90。，求这块菜地面积是多少平方米？

CD

口网难度分层拔尖冲刺_________________________________________________________

基础夯实

1.（24-25八年级上•陕西西安•阶段练习）松松同学学习了“勾股定理”之后，为了计算如图所示的风筝

高度CE,测得如下数据：①测得BD的长度为12m；（BD1CE）；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的

长为15m；③松松身高AB为1.6m,若松松同学想使风筝沿CD方向下降4m,则他应该往回收线（）

米.

2.（23-24八年级上•广东河源•阶段练习）图中数字表示对应正方形的面积，则图中正方形A、B、C、D

225

A.B.C.

3.;22-23八年级上•江苏宿迁-阶段练习）如图，四边形ABCD是边长为6的正方形纸片，将其沿MN折叠,

使点8落在CD边上的B'处，点力对应点为A；且B'C=2,则AM的长为.

4.（23-24八年级上•四川眉山•期末）如图，圆柱的底血周长是10cm,圆柱高为12cm,一只蚂蚁如果要

沿着圆柱的表面从下底面点力爬到与之相对的上底面点8那么它爬行的最短路程为.

5.（24-25八年级上•福建漳州•期中）如图，在修一条东西走向的公路AB时遇到一座小山，于是要修一

条隧道BC.已知A